深入了解物理世界的"规则"，《图解中学物理》日本牛顿出版社
物理是探索隐藏在自然界中的“规律”的学问。今天，人类正在利用自己发现的“规律”向茫茫太空发射探测器，让汽车在世界各地飞驰，并用智能手机交换着各种信息。如果认为“物理太难”而对其敬而远之的话，那你就会错过了解能够改变我们生活“规律”的机会，那是多么可惜啊！（对毫无好奇心，只进化到动物摄取食物的那类，这段话谈不上有说服力。你得说，学好物理考上好大学找到好工作，有高薪可以吃好穿好住好······还可能光宗耀祖。）
向上投出的球不会飞向遥远的宇宙而会落回地面，这是因为球被地球“拽着”的缘故。月亮围绕地球运转也是同样的道理。（现在觉得这是多么简单的道理，但当初学的时候的艰涩的阴影还在。）

1、力与运动

在宇宙空间里，一旦开始运动，就停不下来！
NANA1977年发射的太空探测器“旅行者”仍然在惯性定律的作用下航行，继续向太阳系之外挺近（惯性飞行）。
惯性定律是意大利的Galileo和法国的Descartes在同一时期提出的（伽利略首先发现的）。颠覆了人类2000年来一直坚信不疑的“常识”---Aristotle无力则静。
不过伽利略认为，“如果没有外力作用的话，运动的物体将保持圆周运动”。笛卡尔给出更准确的结论，“如果没有外力作用的话，运动的物体将保持直线运动”。
正因为有外力作用于汽车，汽车才能加速行驶和转弯。（而匀直或静止是不需要的，如果也没有摩擦和引力的话。）
（牛顿第二定律是）能预知未来运动趋势的基本定律。
在失重的宇宙中，如何测量体重？宇航员坐到压缩的弹簧上，如果知道弹簧产生的力与运动员的加速度就可以计算其质量。（可以用简谐振动的周期来算呢？$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$）
跳伞的时候，地球也在被跳伞的人拽着。60Kg的人下降了1000米，地球上升不到氢原子核直径的十万分之一。

如果没有万有引力月亮大概会根据惯性定律沿直线飞出去，而实际上月亮被地球紧紧吸引着，就像链球被运动员抓在手里旋转而不会飞离一样。
与惯性定律的路径相比，月球在不断“坠向”地球。高速运动的月球在不断向地球“坠落”的同时，与地球的距离却几乎保持不变。（向心加速度的一种推导方法可以解释这个。[?]）

1920年美国发明家Goddard提出利用火箭开展月球之旅的可能性，遭到《纽约时报》的严厉批评，被认为根本不可能。当时普遍认为“只要不向后推动空气，飞行器就不会向前飞行”。（离子发动机）（也不能总是批评那个“亩产万斤粮”的报纸，话说曾任英国皇家学会会长的开尔文勋爵就坚信比空气密度大的“飞机”不能飞起来。）
获诺贝尔物理学奖的小柴昌骏曾在一所中学担任过讲师，据说他在这所学校里曾提到过一个问题：“如果没有摩擦力，将会发生什么？”这个问题设想的答案是：“白纸”。如果没有摩擦力的话，铅笔会在纸上滑动而无法写下文字。

物体缓慢运动时，空气阻力与运动速度大致成正比，物体快速运动时，空气阻力与速度的平方成正比。也就是说，物体的运动速度越快，空气阻力越大。如果没有空气阻力，雨滴会一直加速下落，临近地面的速度甚至高达每小时200千米。（现在小的雨滴不超过1.6km/h）
牛顿力学标志着现代物理学的出现。在哈雷的一再劝说（资助）下，1687年出版了《自然哲学的数学原理》（法国物理学家库仑于1785年在《电力定律》提出库伦定律。）
白色光是无数色光聚集而成的光。（折射是分散开，就如人找到自我一样吧。）

不用很大的劲也能投出时速200千米的棒球。
地球自转使赤道表面的速率为1700km/h（0.463km/s）（爱因斯坦的相对性原理否定了“绝对参考系”（绝对空间）。 任何物理学实验都无法区分静止和匀速直线运动的参考系，一切物理学规律在惯性系中等价。 爱因斯坦把相对性原理推广到一切参考系，指出物理定律在一切参考系中都具有相同的数学形式，这就是相对性原理。）

即使速率（speed 标量）没有增大或减小，速度的方向（行进方向）发生变化，也叫作加速运动。也就是说，加速运动时指速度（velocity 矢量）发生变化的一切运动。

（伽利略的假想实验）将重物和轻物系在一起下落会如何？（自相矛盾）
（伽利略）通过斜面实验发现了“自由落体”（自由落体不自由，就如学生在学校里学习的自由学习是在家长、老师的要求和监督下进行的。）
在伽利略之前，人们一直持有的是亚里士多德的看法，认为天上世界和地上世界是完全不同的两个世界，当时流行的天动说，认为天体的基本运动是以地球为中心的圆周运动，而地球上的物体，其本性是要回归到地球的中心（自然运动）。也就是说，（伽利略之前）当时根本就没有地球吸引物体的重力的概念。
即使没有重力，乒乓球和炮弹也有差别。
“重量”是会因场所不同而改变的一个量。同一物体在地球上和月球上不同，空间站上，任何物体的重量都会为零。重量是作用在物体上的重力的大小。（是不是说示重呢）
“质量”则是表示“让一个物体运动起来的难度（加速难度）”的一个量。

（1586年，荷兰的斯蒂文在《静力学基础》一书中最早提出力的分解与合成原理）
产生摩擦力的原因主要是彼此接触的两个物体表面上原子相互间存在着作用力，而且同接触面的凸凹不平也有关系，不过，摩擦力的机制十分复杂，现在还没有完全搞清楚。
观测位置不同，可以有惯性力，也可以没有惯性力。（-ma）
地球是靠万有引力将大量尘埃聚集起来形成的。
离心力和万有引力的合力才是地球表面上物体所受的重力。除赤道和两极，物体下落的方向并不是指向地心，而是指向稍微偏离中心的某个位置。

点光源的发光强度也是符合平方反比定律的。小电珠发出的光想象为是从电珠发出的无数光线。（场线，这是万有引力同光的类似之处。）（引力场线和灯泡发出的光束有的一比）
抛出的球在它被抛出的一瞬间就开始了“下落”。月球的运动在万有引力的影响下时时刻刻都在改变行进的方向。实际的轨迹时时刻刻都要低于没有万有引力时的直线路径，也就是说，月球总在“下落”。
空间站内部并非没有万有引力。圆周运动也是一种加速运动。（前面也提到，这个说法很好。）

空间站内“无重力状态”，也许叫做“无重量状态”更好一些。
椭圆运动是比圆周运动更自然的天体运动。圆形轨道下落的幅度与地面下降的幅度相等。物体的速度无论稍微慢一点还是稍微快一点，物体下落的幅度和地面下降的幅度保持一致的平衡都会被打破，结果，物体运动的轨道变成椭圆。
棒球手感受到来自棒球的一种“动势”的撞击，棒球的速度决定了运动的动势，质量也是决定运动的动势的一个重要因素。（类比电动势，运动势是一个不错的概念。）在物理学中衡量运动动势大小的量叫做“动量”。

用力学术语来说，能量可以说是“能够产生力，使物体运动的潜在能力”。能量是“能够做功的潜在能力”。
（就如上图，向量差的形象描绘，生活中的杠杆的图示，下图也很清晰、准确。）（很佩服地喜欢日本的教参资料）

接近光速的速度加法运算：$v=\frac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1v_2}{c^2}}$

2、气体与热
吸盘之所以能吸附在墙上，是因为被分子“摁着”的缘故。
如果分子和原子在某一温度下完全停止运动（?从量子力学角度也不是完全静止，那样的话位置就能确定了），从严格意义上说是“变成无法再降低能量的状态”。
研究认为，宇宙诞生之初，大爆炸时，宇宙的温度超过普朗克温度，我们已知的物理定律就会失效。这个普朗克温度$1.4\times10^{32}K$就是温度的上限。

1712年英国技术人员托马斯·纽科门首次研制成可供实用的蒸汽机。1769年技术人员詹姆斯·瓦特成功制造出效率更高的蒸汽机，从而开启了蒸汽机时代。
在通常情况下，把水加热为水蒸气后，体积会增大1700多倍。
波义耳也曾致力于永动机的研制，他设计了一款利用毛细现象的“波义耳永动机”（下图），永动机不能（持续）转动的原因[?]。

永动机是能够独立运转并源源不断地对外做功的设备，虽然地球在太阳的重力作用下一直围绕着宇宙空间运转，但地球并没有施加某种力让物体运转。

用汽车周围温度为20℃的空气加热让沸点15℃的液体沸腾产生蒸汽带动活塞。要想让蒸汽机再次做功，必须把蒸汽冷却为液体，因此，就需要温度低于液体15℃的空气。但汽车周围并没有这么低温度的空气。也就是说，这款汽车并没有地方可以散热。如果用冰箱这类的装置，就需要使用电等能量。
归根到底，上图这类汽车蒸汽机不能恢复到最初的状态而反复做功。
“热量可以从高温物体转移到低温物体，但不能自发地反向移动。”“即使能量的形式发生了变化，但其总量保持不变。”
“在众多的物理学领域中，热力学是最强大的理论。”“尽管不能破坏热力学定律，但可以巧妙地回避。”

3、波
救护车的警笛与宇宙膨胀之间令人意外的共同点
声源移动时，波长也将改变。
光在水中发生折射事因为光速变慢的缘故。

波长越长越容易发生衍射，但更准确的说法是，是否容易发生衍射在很大程度上取决于缝隙的宽度，以及障碍物与波长的比例。波长较短的光穿过与其波长相应的极小的缝隙时，也会大幅度地衍射。
声音还包括不是疏密波的振动，钢柱中能传播一种叫做s波的声音。

电磁波是一种能够激发电子振动的波。
红外线是分子在振动或旋转时产生的；可见光、紫外线和X射线是原子中的电子从上轨道落入下轨道时产生的；γ射线则是原子核从兴奋状态（激发态）返回到稳定状态时产生的。所有这些情形都伴随有带电荷粒子的运动，因而能够发出电磁波。

（按约定，电磁波的振荡方向是指电场的振荡方向。）
光在非金属物体表面上反射所产生的反射光大部分是振动方向平行于反射表面（物体表面）的偏振光。水面上的反射光，从某种意义上说已经不是原来的入射光。水分子吸收了入射光之后，在瞬间又再发光。反射光其实是无数水分子重新“再出发”的光。水分子中的电子在吸收了入射光之后，发生振荡，振荡电子再出发的事与其振荡方向相一致的偏振光。
振荡的电子发出的光总是沿着垂直于振荡方向的横方向进行的最多，而没有沿着纵向方向进行的光。电场和磁场总是交替地产生，振荡电流发出的电磁波，总是沿着垂直于电流振荡的横向方向进行的最多。就类似于浮在水面的小球上下振动而产生沿水面方向的水面波。

折射光线和反射光线垂直时，反射光是100%偏振光，满足此条件的入射角叫布儒斯特角。（$tan\theta=n$，入射光与水面夹角36°）
在地下传播的地震波分为Primary wave（初波），是纵波；Secondary wave（二次波）6.5km/s，是横波，比P波传播慢3.5km/s。（地震波的破坏主要是S波）（类似的，P型半导体指的是半导体掺入杂质后，产生了大量空穴，空穴的英文单词：Positive hole,其中Positive有正电的意思；同理，N型半导体指的是半导体掺入杂质后，产生了大量电子，其中Negative有负极的意思）
（穿越逆境，抵达繁星。）
任何复杂的波都客户以分解为许多“简洁波形”。
波之间的“碰撞”与物体之间的“碰撞”有很大的不同。（光和波一样，传播上具有独立性。）
多亏了反射，我们才能看到物体。

为什么电车的声音在晚上听得很清楚?
声波也具有像是光一样的折射现象（太阳光从外太空斜射入大气层，会像下偏折）。
白天，地面在太阳的照射下温度升高，贴近地面的空气也被地面加热变暖.由于声音在越热的空气中 传播速度越快，这样一来，声音就会向上传传播，所以声音在白天不容易传到远处。与此相反，进入夜晚后，高空的空气温度比地面空气温度高，这样一来，声音在高空中的传播速度就会变快，与白天相反，会向地面弯曲，结果，声音就很容易传到远处，我们也就能听到白天听不到的声音。

在宇宙空间无法看到通过眼前的光。天空为何是蓝色?晚霞为何是红色?

光的波长越短，越窑易受到空气分子的散射。这就意味着，太阳光中的紫色光和蓝色光窑易受到散射，当我们朝天窑的某个方向望去时，就会有比较多的蓝色或紫色光来到我们的眼睛。我们的眼睛对蓝色光比紫色光更敏感，所以天空看起来是蓝色的.

当出现晚霞时，太阳西沉正位于地平线附近的方向。这时，太阳光必须在大气层里通过更快的距离才 能够到达我们的眼睛。在太阳光进入大气层以后，由于蓝色光的波长比较短，容易被空气分子散射，其中的蓝色光在远处早早地就被散射衰黯掉了，在到这我们眼睛的太阳光中已经几乎没有什么蓝色光，我们看见的自然便是红色。

激光也是由驻波产生的。激光是由许多波长完全一致的光叠加而成的光。

4、电与磁
电与磁是非常相像的“兄弟”（没见到哪个双胞胎起名带电和磁的）
因电子移动受阻而产生热。沿着导线流动的电子与导线内的原子发生碰撞，其行进受到阻碍。这时，原子会振动，即产生热。电子的动能转化为热能。Joule heat.导线温度升高后，原子振动的更加剧烈，电子更容易撞击，即电阻更大。

电流以环形流动的话，则生成“磁铁的种子”。
超导电磁铁，即便关闭电源，线圈也能保持强大的磁场。
在日本，东部地区是50Hz，西部地区则是60Hz。东京使用了德国的发电机，打吧啧使用了美国的发电机。（海因里希·鲁道夫·赫兹）
（电介质是能够被电极化的绝缘体。在静电场中，电介质内部可以存在电场，这是电介质与导体的基本区别。）物质保存电的能力称为“介电常数”，介电常数$\varepsilon$越高，意味着物质越容易存储电。
物质产生磁的能力称为磁导率$\mu$，铁等容易变成磁铁的物质具有很强的磁导率。
$c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$（真空的磁导率和真空的介电常数乘积不）

5、原子和光
如果光只是波，那就应该看不到稍远处的烛光。（光波随距离稀疏过快。）一个光子所携带的能量并不会随着光渐行渐远而减弱，而是保持不变。

电子在原子中有固定“住所”，如果认为“电子也具有波的性质”，就能够完美解释。

太阳中发生核聚变反应，质量之和大概减少了0.7%···爱因斯坦在1905年的相对论中提到$E=mc^2$
核裂变式核能发电的基础，反应后总质量大概减少0.08%

光（电磁波）就像一个个的“能量包”。
微观世界是由波支配的。

1934年，汤川秀树预言了把原子核结合在一起的力，就是“核力”。（短程力）

（快中子）（B班童鞋班服上是元素周期表上的元素，没有人选比结合能最大也是最稳定的Fe）

物理学的历史也是“力的统一”历史。艾萨克·牛顿17世纪创建的万有引力定律把作用于天体的力和地上的力统一起来了；詹姆斯·麦克斯韦在19世纪创立了电磁学，指明电力和磁力可以作为“电磁力”统一处理。

万物产生自“弦线”和波动？超弦理论把相对论和量子论整合到一起。
（物理教材的比较阅读完成了一些）
·[?]（日本）图解中学物理
·[?]（日本）浜島清利:热·电磁·原子
·[?]（日本）浜島清利:力学·波动
·[?]（日本）跟着物理学家学物理
·[?]（台湾）物理教材比较阅读(翰林)5
·[?]（台湾）物理教材比较阅读(泰宇)4
·[?]（台湾）物理教材比较阅读(三民)3
·[?]（台湾）物理教材比较阅读(龙腾)2
·[?]（台湾）物理教材比较阅读(南一)1

试着用gemini的学习辅导来学习
麦克斯韦（James Clerk Maxwell）是一位非常了不起的科学家，物理学家们常把他与牛顿和爱因斯坦并列。麦克斯韦最伟大的贡献把电和磁彻底“统一”在了一起。这组方程是以麦克斯韦命名的，但将它们提炼为现代教科书里那种简洁、对称的4个矢量方程形式的人，主要是英国物理学家、工程师亥维赛（Oliver Heaviside）
一、麦克斯韦方程组（积分形式）
1、高斯静电定律（有电荷的地方就有电场线“喷”出来或“吸”进去。）
$\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$
2、高斯磁定律（磁场线总是闭合的，没有起点也没有终点。这也意味着世界上不存在磁单极子。）
$\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0$
3、法拉第电磁感应定律（那个负号代表产生的电场总是试图阻止磁场的变化。）
$\oint_L \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$
4、安培-麦克斯韦定律（磁场可以由两种方式产生：一是电流I，二是变化的电场。这是麦克斯韦最伟大的补充，正是这一项预言了电磁波的存在。）
$\oint_L \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$
这四个方程就像是一场双人舞：变化的磁场产生电场，变化的电场又产生磁场。它们互为因果，循环往复。

二、麦克斯韦方程组的微分形式，两个核心概念：散度（Divergence）和旋度（Curl）。它们不再描述整个区域，而是描述空间中每一个点上的电磁场是如何变化的。我们可以把这四个方程看作是电磁场的“局部基因图谱”：
1、电场的散度（高斯定律）（描述电荷如何产生电场）
$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$
$\nabla \cdot \$（读作del dot）散度衡量的是向量场从一个点“发散”出来的程度。
电荷密度ρ是电场的源头。正电荷就像喷泉（散度为正），负电荷就像漏斗（散度为负）。
2、磁场的散度（高斯磁定律）（描述磁单极子不存在）
$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$
磁场的散度永远为0，这意味着磁场没有起点也没有终点，磁场线总是闭合的。
散度（Divergence）：想象水管里的水。如果一个地方有喷头在喷水，那里的散度就是正的，这一点就像是一个“源头”（Source）；如果有排水口，散度就是负的，这一点就是一个“汇”（Sink）。
$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$，向量场F偏导数的运算。
一个向量场通过闭合曲面的通量等于该曲面所包围体积内的散度的体积积分。$\oint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \int_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV$

3、电场的旋度（法拉第定律）（描述变化的磁场如何产生旋转的电场）
$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$
$\nabla \times$（读作 del cross）是旋度，它衡量的是向量场在一个点附近“打转”的程度。
变化的磁场（磁场对时间的导数）会在周围感生出一个旋转的电场。
4、磁场的旋度（安培-麦克斯韦定律）（描述电流和变化的电场如何产生旋转的磁场）
$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \left( \mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right)$
磁场的“旋涡”有两个来源：一是电流密度，二是变化的电场。
旋度（Curl）：想象水面上有一个小木片。如果水流让小木片原地转圈，说明那里的水流旋度不为 0。
$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \mathbf{j} + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \mathbf{k}$
旋度和斯托克斯定理（Stokes' Theorem）密切相关，后者表示曲线围成的闭合环路上某向量场的线积分等于该曲面上的旋度的曲面积分
$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}$
我们已经讨论了散度（源头）和旋度（旋转），你觉得如果一个向量场的散度和旋度在空间中每一处都被确定了，这个场是不是就被唯一确定了呢？（这涉及到一个著名的物理定理——亥姆霍兹定理）。
三、张量形式
$\partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\nu$
张量形式的麦克斯韦方程组是更为一般的表达方式，通常用于相对论框架下。
洛伦兹力方程:$\frac{d\mathbf{p}}{dt}=q\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\right)$
虽然不完全是麦克斯韦方程的一部分，但洛伦兹力方程描述了电磁场对带电粒子的作用。
四、范例
1、均匀带电球体、球壳、无限长带电导线和无限大带电平面的电场，利用对称性，选取高斯面，球面、圆柱面、药丸盒
ChatGPT对于环形电流中心处磁场，竟用“安培定理”（安培环形定理）给出一堆的顾左右而言它的解释，让它出图示，竟然也给出看着很正确的东西，当然，当你发现问题后，它会告诉你用比奥-萨伐尔定律···

很正确的样子
2、推导光速
在没有任何电荷和电流的真空中，麦克斯韦方程组表现出高度的对称性：
$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$
$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$
$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$
$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$
对法拉第定律取旋度
$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla \times \left( -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right)$
使用矢量恒等式展开左边
$\nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathbf{B})$
代入真空条件和安培-麦克斯韦定律
$-\nabla^2 \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \left( \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right)$
得到电场波动方程
$\nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}$
类比经典物理中波动方程通式$\nabla^2 f = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 f}{\partial t^2}$
结合推导结果得出光速$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$
五、注释
1.$\nabla$(Del/Nabla)是一个算子，通常被称为Nabla算子，是一组操作指令。像一个“多功能工具刀”，在三维空间中指向函数变化最快的方向。用于计算梯度（Gradient）、散度（Divergence）和旋度（Curl）。
2.$\Delta$(Delta)是一个预定义的变化量，通常代表“差值”。
在微积分中，它也代表拉普拉斯算子，$\Delta=\nabla^2$，用来衡量一个场在某一点与其周围平均值的差异。

AI画图，让我想起求师得最初的slogan，a Question a Chance!不是不是应该改成A Question An Apple

同学知道我不怎么参加集体活动，关于看话剧，这几天非正式提过几次，串场过程中课代表小鹿童鞋穿着戏服跑回来邀请，再不去说不过去啊，特地让肖老师陪我去。手机比较旧，早早没电了，还好，两个班都拍到了。

10班：威尼斯商人





10班剧组

4班：红岩

JQX/进取芯 席明纳第22期（2025.12.09）

从麦克斯韦方程组到光速

JQX|Xiao

一、波动方程
对于一个机械波，想描述它在空间的分布，它的方程为：$D(x) = A \sin \frac{2\pi}{\lambda} x$。如果这个机械波以速度 $v$ 向右传播，则 $t$ 时刻的波函数为：$D(x,t) = A \sin \left[ \frac{2\pi}{\lambda} (x - vt) \right]$，引入周期 $T$ 可变形为：$D(x,t) = A \sin \left( \frac{2\pi x}{\lambda} - \frac{2\pi t}{T} \right)$。
简化为：$D(x,t) = A \sin (kx - \omega t)$
其中 $k = \frac{2\pi}{\lambda}$，称为波数。由此得到波的传播速度为：$v = \lambda f = \left( \frac{2\pi}{k} \right) \left( \frac{\omega}{2\pi} \right) = \frac{\omega}{k}$
二、麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组包含以下四个方程：
1. $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q}{\epsilon_0}$
2. $\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$
3. $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \frac{d\Phi_B}{dt}$
4. $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$
其中第一个是电场的高斯定律，第二个公式说明了磁场无源，第三个是法拉第电磁感应方程，第四个是一般形式的安培环路定律。前面三个我们都比较熟悉，下面我们对第四个方程进行一下解释：
安培环路定律的一般形式为：$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I$。但是科学家们发现了这样的矛盾：假设有一个平行板电容器连着两根导线，正在充电。我们对其中一根导线取一个高斯环路，可以求出它的磁场环路积分。但是现在的问题是等式右面的电流 $I$ 应该怎么选择？
我们认为电流是指“通过环路所围成的截面”的电流。但是这个截面我们可以任意选择：比如我们可以选择一个平面使这个导线穿过它；或者选取一个曲面，**就像吹起的泡泡糖**，让它把电容器的一个极板包含进去。这样我们发现一个问题：选的第二个曲面（泡泡糖）并没有电流穿过它，但是我们明明选取的高斯环路没有变，也就是说虽然没有电流，但是等式右边一定有什么东西**替代**了这个电流。我们把这个电流叫做**位移电流**。
根据高斯定律：$\Phi_E = E \cdot A = \frac{Q}{\epsilon_0}$，我们对它求导可以得到：$\frac{d\Phi_E}{dt} = \frac{1}{\epsilon_0} \frac{dQ}{dt} = \frac{1}{\epsilon_0} I$。
得到电流大小：$I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$，我们称这个电流大小为位移电流，它反应了电场的变化会产生磁场。空间中的磁场可以由两部分产生，一部分由电流产生，一部分由变化的电场产生。当空间中既有电流，又有变化的电场，就是如下的表述形式：$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 (I + I_d) = \mu_0 I + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$
三、麦克斯韦方程组推导光速
1. 麦克斯韦方程组（真空环境）。先考虑真空中没有电荷 ($Q=0$) 和电流 ($I=0$)。这时麦克斯韦方程组的积分形式如下：
1. 电场高斯定律：$\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = 0$
2. 磁场高斯定律：$\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$
3. 法拉第电磁感应定律：$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \frac{d\Phi_B}{dt}$
4. 安培-麦克斯韦定律：$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$
2. 建立一阶偏微分关系：假设电磁波沿 $x$ 轴传播，电场 $E$ 沿 $y$ 轴，磁场 $B$ 沿 $z$ 轴，即 $E = E_y = E_0 \sin(kx - \omega t)$ 和 $B = B_z = B_0 \sin(kx - \omega t)$。
利用法拉第定律计算电场等式左右两边，可得：$\frac{\partial E}{\partial x} = - \frac{\partial B}{\partial t}$ —— (式 1)
利用安培-麦克斯韦定律（选取 $xz$ 平面回路）：
计算磁场环路积分与电通量变化率（位移电流），可得：$- \frac{\partial B}{\partial x} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t}$ —— (式 2)
3. 代入波动方程
计算电场和磁场对空间 $x$ 和时间 $t$ 的偏导数：
$\frac{\partial E}{\partial x} = k E_0 \cos(kx - \omega t)$ 且 $\frac{\partial E}{\partial t} = -\omega E_0 \cos(kx - \omega t)$
$\frac{\partial B}{\partial x} = k B_0 \cos(kx - \omega t)$ 且 $\frac{\partial B}{\partial t} = -\omega B_0 \cos(kx - \omega t)$
4. 比较系数
代入法拉第定律关系式：
由 $\frac{\partial E}{\partial x} = - \frac{\partial B}{\partial t}$，代入可得：$k E_0 \cos(\dots) = - [-\omega B_0 \cos(\dots)]$。化简得：$k E_0 = \omega B_0$，整理得到：$\frac{E_0}{B_0} = \frac{\omega}{k} = v$
由 $- \frac{\partial B}{\partial x} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t}$，代入安培定律关系式可得：$- k B_0 \cos(\dots) = \mu_0 \epsilon_0 [-\omega E_0 \cos(\dots)]$。化简得：$k B_0 = \mu_0 \epsilon_0 \omega E_0$，整理得：$\frac{E_0}{B_0} = \frac{k}{\mu_0 \epsilon_0 \omega}$
联立求解：$v = \frac{k}{\mu_0 \epsilon_0 \omega} = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0 (\omega/k)} = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0 v}$即：$v^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$
解得：$v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} = c \approx 3.00 \times 10^8 \text{ m/s}$(c=299792458m/s)