“蝴蝶”齐飞

         王晓龙

           指导教师 邱发文

“蝴蝶定理”的内容要求CF与ED与弦AB有交点，这就限制了弦CD与EF的范围，为了让“蝴蝶定理”再放光彩，两个简单的推论产生了：

定理1：过圆的AB弦中点M，引任意两条弦CD和EF，直线CF与ED与直线AB交于P，Q两点，则有：MP=MQ(图二)。

 这两个推论解除了“蝴蝶”身上的枷锁，使蝴蝶真正地飞上了天空。

随着任识的增多，了解了椭圆的我们又对其产生了浓厚的兴趣。数学爱好者总是追逐着命题的变化与延伸。椭圆与圆的联系不可谓不紧密，于是我开始有了进军椭圆的想法。令人高兴的是，“蝴蝶定理”在椭圆中仍然成立。

定理3：过椭圆的AB弦中点，作任两弦CD和EF,直线CF和ED交直线AB于P,Q两点，则有：PM=MQ（图四）。

这奇妙的蝴蝶在椭圆中安家落户了，好像是一只精心培育的变种蝴蝶，万分妩媚。         

在高兴的同时，我还想到了其它一些东西，圆与椭圆本质上是一种二次曲线，而是不是二次曲线都有类似性质呢？经过反复验证，我得到了以下定理：

定理4：在二次曲线c中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CF与ED交直线AB于P，Q，则有：PM=MQ

于是，这只变种蝴蝶又找到两个漂亮的胞妹，与它一起飞翔。

偶尔看了本校同学写作的一篇小议论文，讨论了双圆蝴蝶定理，我受这一推论的影响，又推出了几个美妙的结论，被我称为“双蝶定理”。

双蝶定理1：对于有心曲线说，如果与 关于中心位似，则任作一条l交于四点，过中点M作分别交于 ，直线分别交l于P1P2Q1Q2，求证：（图5, 6）。

无意中发现当两圆圆心不重合时也有类似的结论,于是再进一步,又有一只Butterfly诞生了.

双蝶定理2：如果l交二次曲线于中点且与中点重合于一点设为M，过M作八点，直线（图7, 8）

（只在图中各点在如图位置时定理成立）

双碟一同飞舞，真是美丽无比。

面对着多姿多彩的蝴蝶，我们不禁陶醉于其中了，但是对蝴蝶定理的探索还远远没有结束。勤劳的人们是决不会停步不行的。

冯伟的论文中已经把蝴蝶中的一个圆变成了两个圆，我又好奇地开始了更远的探索，结果是令人欣慰的。

多蝶定理1：对于n个同心圆，有类似“双蝶定理”的结论（图9，n=3时）

多蝶定理 2：对于  个圆心共线的同心圆有类似“双蝶定理”的结论（图10，n=3时）

（只在图中各点在如图位置时定理成立）

蝴蝶家族的越来越多了，真可为称为万蝶齐飞，艳丽无比。

蝴蝶仍被身上的几条丝带捆在“中点”的条件上，但数学爱好者却解开了这几条丝带，使蝴蝶的姿态更加美丽。

坎迪定理虽然摆脱了中点条件的约束，但是三线交于一点的条件仍然使六个点的位置互相制约，经过尝试，我发现了一个更为普遍的定理，被我称为“蝶后定理”。

蝶后定理1：AB，CD，EF为圆的三条两两相交的弦，CD，EF交AB于N，M，CF，ED交AB于P，Q，则有：

既然已有“椭蝶”的存在，我又把眼睛盯在了二次曲线上。由于这次的六个点是任意的，所以我从帕斯卡六边形定理中得到了启发，推出了一个极为普通的定理：

蝶后定理2：六边形ACEBDF是一个帕斯卡六边形，CD，EF交AB于N，M，CF，ED交AB于P，Q，则有

    于是，就把任意二次曲线上的任意六点蝴蝶定理推出来了。

蝴蝶定理这一古老的命题，已经繁衍出了一系列结论，成为一个庞大的蝴蝶家族。而对其的探索并没有结束，蝴蝶王国的奥秘仅仅揭去了第一层面纱，更多的Butterfly一定会飞上数学的天空，为这古老而又闪光的家族再添上一道美丽的光环。

                                 王晓龙

                                                99．3．13第二稿

参考文献：

1．《几何画板实验通讯》  《广义蝴蝶定理》冯伟

2．《中学生数学》89年    《蝴蝶定理史话》徐品方