JQX/进取芯 席明纳第37期（2026.10.15）
物理中的调和平均
/引题：双层介质视深问题
当我们俯视水面的时候，入射角与折射角都很小，这时折射定律可做小角近似 $\sin\theta \approx \tan\theta$。当从折射率为 $n_0$ 的环境中俯视厚度分别为 $h_1, h_2$、折射率分别为 $n_1, n_2$ 的双层介质时，根据折射定律和几何规律，利用光线在两个介质中水平偏移量的总和等于成像光线的水平投影，在两个介质中总视深满足 $\frac{h_0}{n_0} = \frac{h_1}{n_1} + \frac{h_2}{n_2}$。若人在空气中观察（$n_0 = 1$），则等效视深直接为 $h_0 = \frac{h_1}{n_1} + \frac{h_2}{n_2}$，这其中的形式在数学上称为调和平均数，而这种形式在物理中还有许多例子（比如变压器，原线圈$n_0$，副线圈$n_1$，$n_2$，对应电阻$R_1$,$R_2$，对原线圈来说等效电阻$\frac{n_0^2}{R_0}=\frac{n_1^2}{R_1}+\frac{n_2^2}{R_2}$），下面就相关退化式样一一举例。
1. 电阻并联
在电阻并联电路中，各支路电势差严格相等，干路总电流等于各支路电流之和 $I = I_1 + I_2$。由欧姆定律 $I = \frac{U}{R}$ 约去公电压 $U$，即得等效总电阻的调和平均形式 $\frac{1}{R} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}$，化简为 $R = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$。
2. 电阻串联
在电阻串联电路中各处电流恒定，总端电压等于各分段电压之和 $U = U_1 + U_2$。若以表征导电能力的电导 $G = \frac{1}{R}$（满足 $U = \frac{I}{G}$）描述，约去电流 $I$ 后，等效电导呈现调和平均形式 $\frac{1}{G} = \frac{1}{g_1} + \frac{1}{g_2}$，化简为 $G = \frac{g_1 g_2}{g_1 + g_2}$。
3. 电容串联
电容串联时因静电感应使各极板电荷量处处相等，两端总电压等于各电容分压之和 $U = U_1 + U_2$。由电容定义式 $U = \frac{Q}{C}$ 约去电荷量 $Q$，得到等效电容的调和平均形式 $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$，化简为 $C = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$。
4. 弹簧串联
轻质弹簧首尾串接时内部各处张力处处相等，外力拉动下的总伸长量等于各段形变量之和 $x = x_1 + x_2$。由胡克定律 $x = \frac{F}{k}$ 约去拉力 $F$，得到等效劲度系数的调和平均形式 $\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$，化简为 $k = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$。
5. 电感并联
自感线圈并联时各支路两端瞬时感应电动势相同，干路总电流变化率等于各支路之和 $\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}I_2}{\mathrm{d}t}$。由电磁感应规律 $U = L \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}$ 约去电动势 $U$，得到等效自感的调和平均形式 $\frac{1}{L} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2}$，化简为 $L = \frac{L_1 L_2}{L_1 + L_2}$。
6. 等路程往返平均速度
质点在单程路程为 $S$ 的两地间往返，去程速度为 $v_1$，返程速度为 $v_2$。全过程平均速率为总路程与总时间之比 $\bar{v} = \frac{2S}{t_1 + t_2}$，将分段时间 $t_1 = \frac{S}{v_1}, t_2 = \frac{S}{v_2}$ 代入并约去路程 $S$，即得往返平均速度满足调和平均公式 $\frac{2}{\bar{v}} = \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}$，化简为 $\bar{v} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$。
7. 等质量物体平均密度
将密度分别为 $\rho_1, \rho_2$ 的两种物料按相同质量 $m$ 均匀混合（不考虑体积收缩）。混合物总体积为各组分体积之和 $V = V_1 + V_2 = \frac{m}{\rho_1} + \frac{m}{\rho_2}$，由平均密度定义 $\bar{\rho} = \frac{2m}{V_1 + V_2}$ 约去质量 $m$，即得等质量混合时的平均密度呈现调和平均值 $\bar{\rho} = \frac{2\rho_1 \rho_2}{\rho_1 + \rho_2}$。
8. 双星逆向公转共线时间间隔
两星体绕中心天体在不同轨道上反向公转，公转周期分别为 $T_1, T_2$。逆向相向运动的相对角速度为各自标量之和 $\omega_{\text{相对}} = \omega_1 + \omega_2$，相遇时转过的相对角位移为 $2\pi$。由 $(\omega_1 + \omega_2)t = 2\pi$ 代入 $\omega = \frac{2\pi}{T}$ 并约去 $2\pi$，即得相遇时间间隔满足调和平均形式 $\frac{1}{t} = \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2}$，化简为 $t = \frac{T_1 T_2}{T_1 + T_2}$。
9. 柯尼希定理与约化质量
根据柯尼希定理，双质点系统的总动能可分解为随质心平动动能与相对质心动能之和 $E_k = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v_c^2 + E_{k,\text{相对}}$。将相对质心的速度用两物体相对速度 $v_r = v_1 – v_2$ 展开后，相对动能整理为单体形式 $E_{k,\text{相对}} = \frac{1}{2}\mu v_r^2$，其中约化质量满足调和求和 $\frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}$，化简为 $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$。
10. 水平桌面滑块连接体系统
质量为 $M$ 的滑块在光滑水平桌面上经桌角定滑轮连接竖直悬挂的质量为 $m$ 的小物块。联立水平方向牛顿方程 $T = Ma$ 与悬挂方向方程 $mg – T = ma$ 消去加速度，解得轻绳张力为 $T = \frac{Mm}{M+m}g = \mu g$，张力大小严格等于约化质量乘以重力加速度。
11. 阿特伍德机
轻质定滑轮两端分别竖直悬挂质量为 $M$ 与 $m$ 的两重物。联立运动方程 $Mg – T = Ma$ 与 $T – mg = ma$ 消去加速度，解得轻绳张力加倍为 $T = \frac{2Mm}{M+m}g = 2\mu g$，该张力精确等于两物体静止重力 $G_1 = Mg, G_2 = mg$ 的标准调和平均数 $\frac{1}{T} = \frac{1}{2}(\frac{1}{G_1} + \frac{1}{G_2})$。
12. 水平双物块弹簧振子系统
光滑水平面上质量为 $m_1, m_2$ 的两物块由劲度系数为 $k$ 的轻弹簧连接，质心保持静止。由两物块受力方程得相对位移微分方程 $\ddot{x} = -k(\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2})x = -\frac{k}{\mu}x$，双体相对振动等效为单端固定于质心的约化质量单振子，其振动周期为 $T = 2\pi\sqrt{\frac{\mu}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{m_1 m_2}{(m_1 + m_2)k}}$。
13. 双弹簧双物块振动系统
两弹簧由跨过两定滑轮的轻绳相连，下端分别悬挂质量 $m_1, m_2$。轻绳张力处处相等使两弹簧总伸长等于各自伸长之和，等效刚度为串联形式 $k_{\text{等效}} = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$；两端质量相对运动惯性由约化质量 $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ 决定，系统振动固有频率直接由刚度与约化质量共同给出 $\omega = \sqrt{\frac{k_{\text{等效}}}{\mu}} = \sqrt{\frac{k_1 k_2(m_1 + m_2)}{(k_1 + k_2)m_1 m_2}}$。
14. 光学透镜成像
凸透镜成像的高斯物像公式 $\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}$ 可变形为 $2f = \frac{2uv}{u+v}$，表明二倍焦距等于物距与像距的调和平均数，结合均值不等式可直接导出物与实像间最小距离定理 $u+v \ge 4f$；而两薄透镜密接贴合时，偏折光线的光焦度直接相加 $\Phi = \Phi_1 + \Phi_2$，其等效复合焦距同样满足调和平均关系 $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$，化简为 $f = \frac{f_1 f_2}{f_1 + f_2}$。
15. 宏观超长单摆系统
当单摆摆长 $L$ 达到地球半径 $R$ 的宏观量级时，摆线偏角 $\alpha \approx \frac{x}{L}$ 与指向地心的引力偏角 $\beta \approx \frac{x}{R}$ 共同提供指向中轴的恢复力，等效回复力常数为 $k_{\text{等效}} = mg(\frac{1}{L} + \frac{1}{R})$。系统的等效摆长满足调和求和 $\frac{1}{L_{\text{等效}}} = \frac{1}{L} + \frac{1}{R}$，振动周期为 $T = 2\pi\sqrt{\frac{1}{g(\frac{1}{L} + \frac{1}{R})}} = 2\pi\sqrt{\frac{LR}{(L+R)g}}$，在 $L \to \infty$ 时极限周期为舒拉周期 $T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}} \approx 84.4\text{ min}$。
16. 天体双星系统与
质量为 $m_1, m_2$ 的两星相距 $L$ 绕公共质心公转，轨道半径反比于质量。将半径 $r_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2}L$ 代入向心力方程 $G\frac{m_1 m_2}{L^2} = m_1 \omega^2 r_1$，向心力项化简为 $F = \mu \omega^2 L$，其中约化质量满足 $\frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}$；该双星系统完全等效为中心固定总质量 $M = m_1 + m_2$，由虚拟单体 $\mu$ 在半径为 $L$ 的轨道上运行的开普勒单体模型。
JQX|Xiao
下期预告：
36期金师带领我们领略了拉格朗日点的代数之美，下期我们继续从几何角度拆解L4，L5点等边三角形的成因，同时在旋转参考系引入有效势能曲面，结合科里奥利力分析稳定性问题。
