JQX/进取芯 席明纳第10期（2025.5.30）
JQX|Xiao
两个质量分别为$${{m}_{1}}$$、$${{m}_{2}}$$的两个星体，初始时静止，之间相距$$L$$，它们仅在万有引力作用下相互吸引，它们将在多久后相遇？
方法一：用能量和积分推导
根据能量守恒：$$\frac{1}{2}\mu {{\left( \frac{dr}{dt} \right)}^{2}}-\frac{G{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{r}=-\frac{G{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{R}$$，分离变量求积分得：$$\frac{dr}{dt}=-\sqrt{\frac{2G{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{\mu }\left( \frac{1}{r}-\frac{1}{R} \right)}$$，积分求时间（从 $$r=R$$ 到$$r=0$$）：$$t=\int_{0}^{R}{\frac{dr}{\sqrt{\frac{2G{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{\mu }\left( \frac{1}{r}-\frac{1}{R} \right)}}}$$，解这个积分得到：$$t=\frac{\pi }{2\sqrt{2}}\cdot \sqrt{\frac{{{L}^{3}}}{G({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}}$$
方法二：双星问题椭圆轨道：两个星体相互接近的过程可看作是在双星问题中，两个星体以系统质心为共同得焦点沿着各自得椭圆轨道运动，周期公式为$$T=2\pi \sqrt{\frac{{{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}} \right)}^{3}}}{G({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}}$$，当离心率趋近于1，既半长轴趋近于半焦距时，椭圆退化为直线，即为本体模型，相遇时间为半个周期，带入公式得$$t=\frac{\pi }{2\sqrt{2}}\cdot \sqrt{\frac{{{L}^{3}}}{G({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}}$$。
方法三：等效为单体问题：两个星体得相对位置坐标为$$\vec{r}(t)={{\vec{r}}_{1}}(t)-{{\vec{r}}_{2}}(t)$$，以$$\vec{r}(t)$$方向为正，对两个星体分别列牛顿第二定律：$${{m}_{1}}{{a}_{1}}=F(r),{{m}_{2}}{{a}_{2}}=-F(r)$$。相对加速度为：$$a={{a}_{1}}-{{a}_{2}}=\left( \frac{1}{{{m}_{1}}}+\frac{1}{{{m}_{2}}} \right)F(r)$$，引入约化质量$$\mu =\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}$$，$$\mu \ddot{r}=-\frac{G{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{r}^{2}}}$$。此时双体问题转为单体问题，可根据开普勒第三定律求周期，方法与上述方法相同。
方法四：引入等效质量。设想质心处有一个等效天体M，将$${{m}_{2}}$$对$${{m}_{1}}$$得引力等效为M对$${{m}_{1}}$$得引力。有：$$\frac{G{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{r}^{2}}}=\frac{GM{{m}_{1}}}{r_{1}^{2}}$$，其中$${{r}_{1}}=r\cdot \frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}$$，$${{r}_{1}}$$为$${{m}_{1}}$$到质心距离，r为两颗星体之间的距离。则此时可以在不引入双星周期公式和约化质量得情况下求得$${{m}_{1}}$$到达质心作用时间，将这个问题带入第三种方法即可。$$T=2\pi \sqrt{\frac{{{\left( \frac{{{r}_{1}}}{2} \right)}^{3}}}{GM}}$$，时间为半个周期，解得$$t=\frac{\pi }{2\sqrt{2}}\cdot \sqrt{\frac{{{L}^{3}}}{G({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}}$$。
关于双星问题双椭圆轨道周期推导，可以将双星问题等效为质量为$$\mu =\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}$$得质点，在质量为M得引力作用下沿椭圆轨道运动得过程，即可得到双星轨道公式$$T=2\pi \sqrt{\frac{{{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}} \right)}^{3}}}{G({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}}$$。