梯度、散度、旋度与光速的推导
JQX|Xiao
我们首先铺垫三个概念：梯度、散度和旋度。它们本质上都是对空间里的物理量求导，为了方便，我们首先要引入nabla算子 $\nabla$，它的定义是$ \nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) $。
先说梯度，符号是 $\nabla f$，它的定义为：$ \text{grad} f = \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) $。这个最直观，比如你在爬一座山，当前位置最陡峭的上坡方向就是梯度，它的大小就是坡度有多陡。
再说散度，符号是 $\nabla \cdot \mathbf{F}$，用纳巴拉算子表示是：$ \text{div} \vec{F} = \nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} $。散度就是看一个地方的东西是往外喷还是往里吸。比如水龙头往外喷水，这里的散度就是正的，是个源头；如果是下水道漏水，散度就是负的。如果水流平稳穿过，进去多少出来多少，那散度就是0。
最后是旋度，符号是 $\nabla \times \mathbf{F}$，是个叉乘。它描述的是空间里某个地方有没有打转。如果你在河里放个小纸风车，要是河水各处流速不一样让风车转起来了，那说明这个地方的旋度不为0。
在物理（尤其是麦克斯韦电磁学方程组）中，经常会用到这两个推论：
- 梯度的旋度恒为零：$\nabla \times (\nabla f) = \vec{0}$
(一座山的高度场本身不会形成漩涡。) - 旋度的散度恒为零：$\nabla \cdot (\nabla \times \vec{F}) = 0$
(一个纯粹的漩涡场，是没有源头也没有漏斗的，它是闭合的。)
下面我们来看麦克斯韦方程组的微分形式：
高斯电场定律，$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$。意思是说电荷 $\rho$ 是电场的源头，正电荷往外发散电场，负电荷往里吸电场，$\varepsilon_0$ 是真空介电常数。
高斯磁场定律，$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$。右边是0意味着磁场没有源头，永远是闭合的圈圈，或者说宇宙里没有单极磁铁。
法拉第定律，$\nabla \times \mathbf{E} = -\partial \mathbf{B}/\partial t$。左边是电场的旋度，右边是磁场随时间的变化。这里与高中的法拉第定律相同，磁场如果随时间变化，它周围就会产生涡旋的感生电场。
麦克斯韦-安培定律，$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \partial \mathbf{E}/\partial t$。同样，在电场发生变化的时候会在空间产生感生电场，这里有两种方法，要么通电流 $\mathbf{J}$，要么有随时间变化的电场。这里的 $\mu_0$ 是真空磁导率。
首先假设在一个什么都没有的纯真空里，没电荷（$\rho=0$），也没电流（$\mathbf{J}=0$），这方程组会变啥样？
前两个变成了 $\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$ 和 $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$。
后两个变成了 $\nabla \times \mathbf{E} = -\partial \mathbf{B}/\partial t$ 和 $\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \partial \mathbf{E}/\partial t$。
两个方程互相嵌套：变化的磁场生出电场，变化的电场又生出磁场。电场磁场互相激发，在空间中像波一样一直传下去。
我们拿第三个真空方程 $\nabla \times \mathbf{E} = -\partial \mathbf{B}/\partial t$ 开刀，左右两边同时取旋度，左边变成 $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})$。
学过高中数学的我们都知道：$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) – \nabla^2 \mathbf{A}$。因为在真空里电场的散度是0（上面第一个真空方程），所以左边就只剩下一个 $-\nabla^2 \mathbf{E}$。这个 $\nabla^2$ 就是对空间求两次导数。
右边本来是求时间导数后再取旋度，但数学上空间和时间的求导顺序是可以换的，所以我们可以先把磁场取旋度，再去求时间导。而磁场的旋度 $\nabla \times \mathbf{B}$ 在第四个真空方程里已经有了，等于 $\mu_0 \varepsilon_0 \partial \mathbf{E}/\partial t$。
把这个代进去，右边又要对时间求一次导，所以就变成了 $-\mu_0 \varepsilon_0 \partial^2 \mathbf{E}/\partial t^2$。
把左右两边拼到一起，两边都有负号直接约掉，我们就得到了一个纯粹关于电场的完美等式：$\nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \partial^2 \mathbf{E}/\partial t^2$。
所有在空间里传播的波，比如声波水波，它们的基础波动方程长得都是 $\nabla^2 u = (1/v^2) \partial^2 u/\partial t^2$ 这样的格式，这里的 $v$ 就是波的传播速度。
对照一下麦克斯韦推出来的电磁波方程，你会立刻发现 $1/v^2$ 对应的恰好就是 $\mu_0 \varepsilon_0$。把速度 $v$ 单独解出来，就是 $v = 1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$。
$\mu_0$（真空磁导率）和 $\varepsilon_0$（真空介电常数）这两个常数，在实验室里早就被分别精准测出来了。麦克斯韦把这两个数字代进去开个根号一算，出来的波速大约是 $3 \times 10^8$ 米每秒。
跟当时天文学家计算出来的光速简直一模一样。于是麦克斯韦直接断言：光就是电磁波。
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