多用电表欧姆档倍率的研究
JQX|Jin
这个示意图通过更换电源的方式进行了换挡。但是存在一个明显的问题：欧姆档只有一个欧姆调零旋钮，这个电路图的两个滑动变阻器可能不符合实际。那实际欧姆档的改变倍率的原理是什么呢？
二、更换欧姆档的原理
我们知道中值电阻为欧姆表的内阻，数值的表达式为$R_{\text{中}} = \frac{E}{I_g}$。我们可以通过考虑中值电阻的倍数关系，来获取实际欧姆表的倍率。
那么，我们就有如下两个角度可以改变倍率
1.改变电源电动势 $E$。一般多用电表会有多个挡位，其倍率相差1k，不可能单纯依靠增加电源个数来实现电动势的改变。这里提供一个思路：我们可以对电源使用电阻并联，进而获得等效电动势$E’ = \frac{R}{r+R}E$来改变电动势的大小。这个方案理论可行，但实际使用过程中电源的内阻变化会显著影响倍率，并且这个倍率的影响不会由欧姆调零进行抵消。所以一般不采用改变电源电动势的方式实现倍率切换。
2.改变表头满偏电流 $I_g$。这个是常用的方法。我们以一道例题加以练习：
【例题1】一同学利用所学物理知识制作了具有多种倍率的欧姆表，内部结构原理如图所示，电流计通过两个电阻改装成两个不同量程的电流表，然后再通过调节滑动变阻器，就能实现倍率可调为“x1”或“x10”的欧姆表，其电路原理图如图所示。则下列说法正确的是（ ）
A．开关接1时欧姆表的倍率更低 B．开关接1时欧姆表的倍率更高
C. $9R_1 = R_2$ D. $R_1 = 9R_2$
【答案】AC
在这类问题中，一般滑动变阻器（欧姆调零）与电源直接串联。
我们增加一个误差分析：
(1)如果使用较长时间后，电源电动势几乎不变、内阻增大。再次实验，完成欧姆调零后进行电阻测量，那么电阻的测量值？
答案：不变。（增加的内阻被欧姆调零找回。）
(2)如果使用较长时间后，电源电动势变小、内阻增大。再次实验，完成欧姆调零后进行电阻测量，那么电阻的测量值？
答案：偏大。（实际欧姆表的内阻会变小，而中值电阻刻度不变。）
到这里，感觉欧姆表换挡的原理与设计逻辑已基本清晰，但是，一道2022年湖南卷的高考题让笔者陷入了新的思考：
三、实际欧姆档的原理
我们先来看这道高考题：
【例题2，2022 湖南卷】小梦同学自制了一个两挡位（“$\times 1$”“$\times 10$”）的欧姆表，其内部结构如图所示，$R_{0}$ 为调零电阻（最大阻值为 $R_{0\text{m}}$），$R_{s}$、$R_{m}$、$R_{n}$ 为定值电阻（$R_{s}+R_{0\text{m}}<R_{m}<R_{n}$），电流计 $\text{G}$ 的内阻为 $R_{\text{G}}(R_{s}\ll R_{\text{G}})$。用此欧姆表测量一待测电阻的阻值，回答下列问题：
（1）短接①②，将单刀双掷开关 $S$ 与 $m$ 接通，电流计 $\text{G}$ 示数为 $I_{m}$；保持电阻 $R_{0}$ 滑片位置不变，将单刀双掷开关 $S$ 与 $n$ 接通，电流计 $\text{G}$ 示数变为 $I_{n}$，则 $I_{m}$ _________$I_{n}$（填“大于”或“小于”）；
（2）将单刀双掷开关 $S$ 与 $n$ 接通，此时欧姆表的挡位为 _________（填“$\times 1$”或“$\times 10$”）；
（3）若从“$\times 1$”挡位换成“$\times 10$”挡位，调整欧姆零点（欧姆零点在电流计 $\text{G}$ 满偏刻度处）时，调零电阻 $R_{0}$ 的滑片应该 _________调节（填“向上”或“向下”）；
（4）在“$\times 10$”挡位调整欧姆零点后，在①②间接入阻值为 $100\,\Omega$ 的定值电阻 $R_{1}$，稳定后电流计 $\text{G}$ 的指针偏转到满偏刻度的 $\dfrac{2}{3}$；取走 $R_{1}$，在①②间接入待测电阻 $R_{x}$，稳定后电流计 $\text{G}$ 的指针偏转到满偏刻度的 $\dfrac{1}{3}$，则 $R_{x}=$ _________$\Omega$。
【答案】 大于 $\times 10$ 向上 $400$
这道题对欧姆表的换挡原理进行了深度考察，倍率更换的原理，也是对表头满偏电流的改变。但是，内阻的改变，竟主要通过定值电阻进行调节；滑动变阻器（欧姆调零）的位置，竟然放在了改变满偏电流的调节路径上！
那么，真实的多用电表电路是什么样的，欧姆倍率更换的原理，到底是如何实现的？
笔者在网络上查到了实验室常用的J0411型多用电表线路图。
这里W2为校准电流计度数的变阻器，在出厂前用于调试。
W1为欧姆调零的变阻器。x1/x10/x100倍率的换挡原理与高考题中的原理无异。
值得注意的是，x1k倍率的挡位，使用了9v电池。（多用电表需要安装1.5v和9v的两个电池，不安装9v电池x1k欧姆档无法工作）。
也就是说，真实的多用电表，变阻器（欧姆调零）的位置，确实放在了改变满偏电流的调节路径上，并且，不仅是改变满偏电流，也使用了增大电源电动势的方式进行倍率增大（x1k）。
至此，多用电表的欧姆档的内部结构与工作原理已真正解释清楚。
但是，之前的误差分析的问题，如果放在这个电路图中考查，结论还是否适用？
(1)如果使用较长时间后，电源电动势几乎不变、内阻增大。再次实验，完成欧姆调零后进行电阻测量，那么电阻的测量值？
答案：偏小。（增加的内阻不能被欧姆调零找回，调零时需要减小表头等效量程才能满偏，导致内阻增大，而中值电阻刻度不变。）
(2)如果使用较长时间后，电源电动势变小、内阻增大。再次实验，完成欧姆调零后进行电阻测量，那么电阻的测量值？
答案：偏大。（实际表的内阻会变小，而中值电阻刻度不变。）
四、多用电表的交流挡分析
交流挡经过线路图左上角的二极管进行整流后，送入表头进行直流电压测量，并将其刻度按正弦交流有效值标定（这里测量的原理并不是因为测量了电功，因二极管半波整流后平均值与有效值成固定比例关系，为了方便度数，标定为有效值）。
【难点突破】为什么只有2.5v交流挡的刻度与其余交流挡不同，呈非线性？
根据线路图，整流二极管使用了2CP11型号，根据资料，2CP11的正向导通压降约为0.6V（硅管），电压较小时二极管导通电阻分压不可忽略，故呈非线性。而高压交流挡位加在二极管两端的电压远大于导通压降，二极管工作在线性区间，非线性影响可忽略，故刻度近似均匀。
五、拓展练习：电压表改装的欧姆表
【例题】某同学为了将一量程为3V的电压表改装成可测量电阻的仪表—欧姆表。
(1)先用如图a所示电路测量该电压表的内阻，图中电源内阻可忽略不计，闭合开关，将电阻箱阻值调到3kΩ时，电压表恰好满偏；将电阻箱阻值调到12kΩ时，电压表指针指在如图b所示位置，则电压表的读数为______V，由以上数据可得电压表的内阻$R_V = $______kΩ；
(2)将图a的电路稍作改变，在电压表两端接上两个表笔，就改装成了一个可测量电阻的简易欧姆表，如图c所示，为将表盘的电压刻度转换为电阻刻度，进行了如下操作：将两表笔断开，闭合开关，调节电阻箱，使指针指在“3.0V”处，此处刻度应标阻值为______（选填“0”或“∞”）。再保持电阻箱阻值不变，在两表笔间接不同阻值的已知电阻，并找出对应的电压刻度，则如图b所示位置处对应的电阻刻度为______kΩ；
(3)若该欧姆表使用一段时间后，电池内阻不能忽略且变大，电动势不变，但将两表笔断开时调节电阻箱，指针仍能满偏，按正确使用方法再进行测量，其测量结果将______（选填“偏大”、“偏小”或“不变”）。
【答案】(1) 1.50 6 (2) ∞ 2 (3)不变
六、肖老师的一道好题
在本次席明纳开始时，肖老师分享了一道好题。
在光滑地面上，一门大炮，不含炮弹质量为M，发射一颗炮弹质量为m，炮弹出膛瞬间，大炮反冲后退，二者相对速度为u。如果固定大炮，炮弹出膛速度为v，假设火药释放能量相同，发射过程中的热量损耗相同，试比较u和v的大小。
方法一（常规方法）：
假设有效的输出能量为E，对于固定大炮，有定大炮情形，全部能量转化为炮弹动能：$E = \frac{1}{2} mv^2$；解得$v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$。
对于可动大炮情形，有 $\begin{cases} E = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} M v_2^2 \quad (1) \\ m v_1 = M v_2 \quad (2) \end{cases}$
解得$u = v_1 + v_2 = \sqrt{\frac{2E(M+m)}{Mm}}$，可得$u > v$。
（这里qiusir把质量联想成电阻并联，得到$\frac{M+m}{Mm}$大于$m$）
方法二（资用能）：
资用能是相对质心动能，表达式为$E_{\text{资}} = \frac{1}{2} \mu u^2$，其中$\mu = \frac{Mm}{M+m}$为约化质量。
因此地面光滑时$E = \frac{1}{2} \mu u^2$，相比固定时$E = \frac{1}{2} m v^2$，显然$u > v$。
金老师推荐的不错的题目
更帅的是
如果电源内阻变大，欧姆调零，测量值偏小