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备忘

用张景中院士的“教育数学”理论开展超常的“数学教育”实践,姜平老师在给少30的学生进行“从正弦到三角函数”的拓展讲座⋯⋯

通过纪老师的“正弦及其简单性质”一课,同学们应该了解到张景中院士重新构造的正弦定义,“边长为1的菱形面积定义为sinA”,也已经知道一些特殊角度的正弦值,比如(0° 90° 180°)...
角度的正弦值只与角度有关,逻辑上有点像是物理上物质密度的概念,一个角度的正弦值与边长与所在图形无关,就如一杯水一滴水的密度都是1g/cm^3,而0.8g/cm^3可能是煤油的密度,还可能是酒精的密度,就如上节课提到sin(\pi-\alpha)=sin\alpha(互补角的正弦值相同)。

实验目的
(开始学生对在机房里做数学实验很是不解;GSP软件的操作基础差别很大)
本次实验的目标是自己动手制作出间隔为1°的正弦函数表。
在测量工具相对落后的年代,正弦有着广泛的应用,这种算法极大推动了历史的进步。想要讲这个工具普及到使用的级别,不可缺少的时一张正弦值表。
公认的第一张三角函数表-弦长表是由托勒密制作,今天我们按照被被改造和简化了的方法重复前人的工作。

原理用具
性质1:两角和正弦
sin(\alpha+\beta)=sin\alpha\cdot sin(90^\circ-\beta)+sin\beta\cdot sin(90^\circ-\alpha)
利用面积法证明。(之前已经学习了正弦定理,并会用sinA=\frac{a}{c} sinB=\frac{b}{c},此处和传统正弦定义交叉贯通)
性质2:正弦勾股定理
\alpha+\beta=90^\circ
sin^2\alpha+sin^2(90^\circ-\alpha)=1
由此,指导一个锐角的正弦就可以计算出其余角的正弦,本次实验的正弦表未知量可以压缩到(0,45°)。
性质3:二倍角
sin2\alpha=2sin\alpha\sin(90^\circ-\alpha)

性质4:两角差正弦
sin(\alpha-\beta)=sin\alpha\cdot\sin(90^\circ-\beta)-sin\beta\cdot\sin(90^\circ-\alpha)
类比两角和正弦的面积法证明。

实验步骤
1、通过前面得出的公式,我们可以求出那些特殊角的正弦?
(对于30°等特殊角要先避开勾股定理的直接运用,或者鼓励学生用两种方法,强化之前的公式运用)
2、两种方法求解sin15^\circ
3、更具提示计算sin18^\circ
4、计算sin3^\circ sin\frac{3}{2}^\circ sin\frac{3}{4}^\circ
5、估算sin1^\circ
6、制作正弦值表sin1^\circ sin(\alpha+1^\circ)

精细化调整
sin12^\circ  sin36^\circ sin5^\circ

物理的折射定律、简谐振动等都与正弦相关,如果没有正弦我们要用怎样的语言描述物理的规律?数学用简单彰显力量~

姜平、纪璇、邱发文 @Education Mathematics

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