上图是2011年杨振宁先生在香港浸会大学演讲[?]PPT的一张截图，年近九十的他还记得七十多年前自学到向心加速度的事情，作为教师深知对加速度的直觉和向心加速度向量运算结果的冲突是一个普遍的认知现象，正如杨先生提到的那样，对向心加速度求解的理解也是很好的提升机会。

①重新思考这个问题（deriving formula for centripetal acceleration）也是受胡茗淞同学分享的一种旋转类比方法的启发，以匀速转动物体为参考点进行向量平移，向心加速度a、角速度$\omega$和线速度v分别和等速圆周运动的线速度v、角速度$\omega$和半径r对应，$v=\frac{\Delta r}{\Delta t}$，$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$，既然$v=\omega r$，那$a=\omega v$。（$\vec{a}=\vec{\omega}\times\vec{v}$是$\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}$关于时间的求导...）
关于角速度的矢量方向，满足右手螺旋定则，大拇指方向为ω方向，而线速度和向心加速度类比电磁感应部分的手则...

我接触的最常见的方法是矢量三角形和几何三角形相似：
②这离不开用弧长近似弦长。$\Delta l\approx \Delta s =v \Delta t$，$\frac{\Delta v}{\Delta s}=\frac{v}{r}$，$\frac{\Delta v}{v\Delta t}=\frac{v}{r}$，$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v^2}{r}$；
③或者用弧长$\Delta s =r\Delta\theta=r\omega\Delta t$近似弦长，$\frac{\Delta v}{r\omega\Delta t}=\frac{v}{r}$，$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\omega^2r$；
④也可以用正弦近似求弦长，$l=2rsin(\frac{\omega\Delta t}{2})\approx r \omega\Delta t$；
⑤当然完全可以在矢量三角形中直接求解，$sin(\frac{\omega \Delta t}{2})=\frac{\frac{1}{2}\Delta v}{v}$，$\frac{\Delta v}{\Delta t}=\omega v$...
⑥在矢量三角形中用余弦定理，
$\Delta{v}=\sqrt{2v^2-2v^2cos(\omega\Delta t)}=\sqrt{2}v\sqrt{1-cos(\omega\Delta t)}=\sqrt{2}v\sqrt{2sin^2\frac{\omega\Delta t}{2}}=2vsin\frac{\omega\Delta t}{2}$
$\Delta v=v\omega\Delta t$，$\frac{\Delta v}{\Delta t}=v\omega$...

和前面不同，另一个思路是从运动叠加的角度推导向心加速度：
⑦这里可以顺便练习一下余弦的近似计算，$\frac{r}{cos(\omega \Delta t)}-r=\frac{1}{2}a\Delta t^2$，$cos(\omega \Delta t)\approx 1-\frac{(\omega \Delta t)^2}{2}$，$\frac{1}{2}a\Delta t^2=r\frac{\frac{1}{2}\omega^2\Delta t^2}{1-\frac{1}{2}\omega^2\Delta t^2}$...
⑧同样是运动叠加，用勾股定理近似计算也可，$\frac{1}{2}a\Delta t^2=\sqrt{r^2+(v\Delta t)^2}-r$，简化处理，$\frac{1}{2}a\Delta t^2=\frac{(\sqrt{r^2+(v\Delta t)^2}-r)(\sqrt{r^2+(v\Delta t)^2}+r)}{\sqrt{r^2+(v\Delta t)^2}+r}=\frac{v^2\Delta t^2}{\sqrt{r^2+(v\Delta t)^2}+r}$，$\frac{1}{2}a=\frac{v^2}{2r}$...
⑨对于上面的处理，孙浚豪同学是用移项后平方，高阶无穷小量消项。$\frac{1}{2}a\Delta t^2+r=\sqrt{r^2+(v\Delta t)^2}$，$ar\Delta t^2+r^2+(\frac{1}{2}a\Delta t^2)^2=r^2+v^2\Delta t^2$，$ar=v^2$

⑩用速度矢量的正交分解可关联到简谐振动，$v_x=\omega r cos(\omega t)$，$v_y=-\omega r sin(\omega t)$，分别对时间求导得$a_x=-\omega^2 r sin(\omega t)$，$a_y=-\omega^2 r cos(\omega t)$，$a=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$，和通常的极限法分析$\Delta v$向心不同，这里可以直接得出加速度方向指向圆心的结论。

重新整理了这些对应试的意义不大，除了顺便用一下物理中偶尔用到的近似计算，大多数学生只关心结论就可以应付了，但对知识认知的层次是不同的。通常的中学物理教学，不仅对积分和导数的应用过分延后，对向量（矢量）的运算更是脱节，而且意识上的重视明显不够。

美国科学促进会(AAAS)1985年启动2061计划（哈雷彗星2061年会再次光临地球），帮助美国人提高科学、数学及技术素养，“美国历史上最显著的科学教育改革之一”
，号称“终极的科学计划”
。“既然数学对理解自然科学等具有中心重要地位，因而我们再次强调需要把数学与这些学科以综合的方式去教。综合的方法表明，一个现象的数学描述具有阐明和加强的效果。”

直接用加速度是位置矢量关于时间的二阶导数运算不香吗？有时更一般的方法反而会降低认知难度。
$sin\theta=\frac{y}{r}$，$cos\theta=\frac{x}{r}$
$\vec{v}=vsin\theta \hat{x}-vcos\theta \hat{y}=v\frac{y}{r}\hat{x}-v\frac{x}{r}\hat{y}$
$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}$，$\vec{a}=\frac{v}{r}(v_y\hat{x}-v_x\hat{y})$
$\left|\vec{a}\right|=\frac{v}{r}\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\frac{v^2}{r}$
更一般：
$\vec{r}(t)=rcos\theta(t)\hat{x}+rsin\theta(t)\hat{y}$
$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=r(-sin\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\hat{x}+rcos\theta(t)\frac{d\theta}{dt}\hat{y}$
对于等速圆周运动，$\frac{d\theta}{dt}=\omega=const.$
$\vec{v}=\omega r(-sin\theta(t))\hat{x}+rcos\theta(t)\hat{y}$
$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=-\omega^2 r(cos\theta(t))\hat{x}+sin\theta(t)\hat{y}$
$\left|\vec{a}\right|=\omega^2 r$
前面是对向心加速度的推导，而对它的理解大多局限在直接应用的层面，在FloatHeadPhysics频道上看到更直观的逻辑：
半径不变速度加倍，相同两个位置的速度变化量同样加倍，而所需要时间则因为速度加倍而减半，所以速度变化量应该是平方倍；同理，速度不变半径加倍，相同位置（角度）的速度变化量不变，而由于弧长加倍速度不变，所需时间加倍，那速度变化率减半。

特地找到杨振宁演讲的原视频截取了关于向心加速度的一段。因为战乱等原因，数学教授的儿子也没有学过高中物理，但似乎不妨碍他日后在物理学上的贡献。而现在的小朋友似乎学的有点多...

1937年杨振宁的父亲到西南联大教书，一家人搬到昆明。1938年高二的杨振宁参加大学入学考试（同等学力报考），报考化学系也要求考物理，没有学过高中物理的他借了一本高中物理学在家自学了一个月，觉得物理学很有意思，比化学还有意思，一考入西南联大立刻从化学系转到物理系。

另，
发现有用$F_g$表示重力的，我觉得这样非常方面，和$F_f$、$F_n$等表示一致，比用W表示更统一，特别是和万有引力常数G区分开。至于向心加速度，$a_n$、$a_c$都可以，我更习惯弹力用$F_N$，而向心力用$F_n$，都是normal...
关于是匀速圆周运动还是等速圆周运动，个人更偏向台湾那等速圆周运动的称谓...

首先，感谢邱sir这次和我提议将这堂课整理一下并放到网站上。其实我心里还是有些惶恐，毕竟感觉自己这样普通的一堂课，放到网站上可能无法给大家提供太多借鉴意义，不过就当作是为自己做个记录吧。

这堂课最开始设计的是磁铁和小铁块在铝管中的对比实验，首先让小铁快在铝管中落下，然后让以为同学在铜管中吹一口仙气，发现铁块可以在铜管中缓慢的落下。其实是我偷偷的把铁块换成了磁铁，那么为什么磁铁的下降速度就会变慢呢，带着这个问题，进入了本节课的学习。

一、感生电场与感生电动势
1820年，奥斯特发现了电流的磁效应；1831年，法拉第发现了电磁感应。同一年，麦克斯韦出生。麦克斯韦被誉为是牛顿与爱因斯坦时代之间最伟大的物理学家。1862年到1863年，麦克斯韦提出了麦克斯韦方程组，它被认为是物理学中最优美的方程组。1879年，麦克斯韦离世，伟大的经典物理也随之落幕，但同一年，爱因斯坦出生，标志着现代物理革命的开始。
麦克斯韦的四个方程组分别描述了电和磁的高斯定律、法拉第电磁感应定律（即变化的磁场产生电场）、以及麦克斯韦-安培定则（即变化的电场产生磁场）。
麦克斯韦认为，变化的磁场所产生的电场与我们之前学习过的静电场不同。变化的磁场产生的电场像水中的漩涡一样，没有明确的起点或终点，因此被称为涡旋电场。
如果在涡旋电场中放入一个金属导体，导体中的自由电子将会定向移动，形成涡旋电流，简称涡流。根据法拉第电磁感应定律，磁通量的变化会产生感应电动势。磁通量由磁感应强度B和横截面积S共同决定。我们之前学习的导体切割磁感线就是改变磁通量中的S。类似地，改变磁感应强度B也会产生感应电动势。通过磁场变化产生的电动势称为感生电动势，而通过导体切割磁感线产生的电动势则被称为动生电动势。

感生电动势源自磁场变化，而动生电动势源自导体切割磁感线。感生电动势中是电场力做功使电子加速，而动生电动势则是洛伦兹力做功使电子加速。尽管二者的产生原因和所用的非静电力不同，看起来它们是完全不同的两种电动势，但二者却巧妙地都符合法拉第电磁感应定律。

二、电子感应加速器
现代科技中经常需要用到高速运动的电子，电子感应加速器就是利用电磁感应来加速电子的装置。为了弄清楚一些关键问题，我们需要明确以下几点：

1.磁场发生变化时，感应电流的方向是怎样的？ 可以直接用楞次定律来判断。
2.是什么力使电子加速？ 这肯定不是洛伦兹力。首先，洛伦兹力不能使静止的电子加速；其次，洛伦兹力本身不做功。因此，电子加速的唯一可能原因是电场力的作用。
3.感应电场的方向与电子的运动方向相反，而与感应电流的方向相同。 洛伦兹力在此起到束缚电子做圆周运动的作用，所以感应电场的场强应该增强，这样洛伦兹力才能与电子的速度匹配。
三、涡旋电场与静电场
涡旋电场与静电场在产生方式、电场线特点、场强方向等方面有显著不同。比较特别的一点是，由于涡旋电场的电场线是闭合的，因此涡旋电场没有电势的概念。否则，就会出现类似“孙子比爷爷还大”的矛盾。
四、涡流
1.涡流的热效应
在使用电磁炉时，我们常发现食物加热后，电磁炉的面板却没有变热。那么，电磁炉是如何隔空加热食物的呢？电磁炉内部有一个线圈，交变电流通过线圈时，产生变化的磁场。这变化的磁场在空间中激发出感应电场，铁锅中的电子在涡旋电场中运动形成涡流，涡流的热效应加热了食物。
如果这个猜想是正确的，那么如果我在电磁炉上方放一个线圈，也应该能产生感应电流。如果我在线圈中放一个小灯泡，是否会亮呢？通过实验验证，果然小灯泡亮了。
那么，如果将锅换成非金属的材料呢？如果是塑料锅，它不能提供自由电子，因此无法产生涡流，也就无法加热食物。

2.真空冶炼炉
显然，如果把食物换成金属，是可以加热的。这种方法虽然不能应用于烹饪，但在工业生产中却有广泛应用。真空冶炼炉便是利用了这一原理。顾名思义，真空冶炼炉可以在真空环境中工作，而真空意味着没有火。那么，没有火如何完成金属冶炼呢？真空冶炼炉通过高频交流电源的线圈在炉内产生变化的磁场，使炉内的金属加热。
3.涡流的磁效应
在这里，我让同学们回答探测器的原理。大家非常配合，并清晰地给出了回答。探测器运用了涡流的磁效应。之前，我曾有个误区，以为是涡流产生的磁场再次在探测器中产生涡流，引起警报。实际上，涡流产生的磁场在探测器中产生了干扰，从而引发警报。探雷器和安检门也应用了相同的原理。
4.防止涡流的方法
为了减少涡流的影响，可以采取几种方法：一种是增大铁芯的电阻率，另一种是使用绝缘的硅钢片来替代整块硅钢铁心。
五 电磁阻尼
1.阻尼摆
如何让阻尼摆尽快停下来？
加入磁铁后，阻尼摆快速停下来的原因是什么？
如何减小铝片的阻尼？这里可以结合减少涡流的方法，例如减少电阻率或将铝片切割成带狭缝的形状。

2.磁铁在铜管中的下落

这一现象与阻尼摆的原理相似。磁铁上方的铜管中存在一个闭合回路，当磁铁下降时，回路中的磁通量减小。这时，可以将该回路等效为一个磁铁，它与铜管中下降的小磁铁相互吸引。同理，下一个实验中，如果铜管下方设置一个闭合回路，等效的磁铁将与小磁铁相互排斥。两者共同作用，阻碍小磁铁的运动。这种现象称为电磁阻尼。
其实，也可以通过考虑铜管中带电粒子受到洛伦兹力的影响来解释这一现象，或者直接应用楞次定律中的“来据去留”原则进行判断。电磁阻尼和电磁驱动的原理都符合楞次定律，意味着安培力总是阻碍导体之间的相对运动。
六：电磁驱动
既然电磁阻尼可以阻碍相对运动，那么这种“阻力”也可以转化为动力。在课堂上，我演示了如何通过旋转的磁铁带动铝框的运动，同样，让同学们参与回答，感觉他们逐渐进入状态，回答也变得更加清晰有条理。
最后，我介绍了一个电磁驱动的小应用：磁控连续体微型机器人。这种机器人利用外部磁场控制体内大约2毫米大小的机器人进行手术操作，其操作精度远超人工手术。

七：课后感悟
课后回想起来，准备过程虽然很匆忙，也有些紧张，但在课堂上却觉得自己自然了很多。过程中有几个小小的细节值得一提：
1.小磁铁实验的意外
最开始的那个小磁铁从铜管中下落的实验，我竟然忘记带小磁铁。虽然提前准备了很久，但还是出了这样的事故。在讲解时，我临时调整了内容，提出：“那么我们能不能让这个铁块缓慢地从铜管中落下呢？”即我把原计划要演示的实验放到了后面。这时，我的师妹悄悄从后面把磁铁送了过来。想起有一年春晚，赵本山和宋丹丹的小品《小崔说事》，赵本山上台时忘了拿包，场下的工作人员都非常紧张，但宋丹丹及时上前与小崔互动，吸引了观众的注意，给了赵本山挽回的时间。或许一堂课也有类似的情况，首先要保证课堂的连贯性。后来与同事们交流时，大家竟然没有发现我忘记带磁铁这个小意外，他们反而认为我本来的安排就是这样。
2.阻尼摆实验
在讲解阻尼摆时，学生提出增大电阻率来减小涡流。其实我原本并没有想到这一点，但恰好可以与之前讨论的涡流防止方法相结合。不过，学生没有提到应该将铝片剪成带狭缝的形状来减小涡流。我开玩笑说：“这位同学可能觉得铝摆不是自己的，不能随便剪。”

3.电磁阻尼在医学中的应用
在课的最后，我提到如何解决现代医学中手术操作难度高、容易受误差影响的问题。有学生回答说，可以利用电磁阻尼来提高手的稳定性。尽管这个想法的可行性尚待验证，但我觉得它真的很有创意。也许将来，电磁阻尼技术真能应用到手术操作中，提高手术精度。
4.课堂互动的改进
课上，每个同学回答问题时都需要申请麦克风，然后由负责的老师把麦克递给他。这样由老师来回传递麦克风耽误了不少时间，而我课上设计了十几个提问。在课开始时，我就考虑到这个问题。后来，当一位同学回答完问题后，我说：“麦克就放在你那里，由你开始传递。”这样就不需要老师来回递麦克风。更重要的是，学生们不再只是被动地接受提问，而是开始主动选择下一位回答者，课堂的参与度也更高，学生们从被动的听众变成了组织者。在后续的回答中，我也发现学生们渐渐进入状态，回答问题变得更流畅。
5.周三的课和交通事故
周三的课，我对周二的试讲仍然不太满意。周二晚上，我还出了点交通事故。当交警到达现场时，我发现对方与我都是内蒙古人。那对夫妇人很好，看到我年轻，觉得我和他们的孩子差不多大，他们还安慰我说：“谁的车都会出点事故，没关系的。”虽然发生了事故，但由于对方态度很好，我的心情没有因此太差。第二天还要上课，但我感到安慰的同时，也感受到一种平和。

课后，我收到了专家的赞扬，这可能是我教学生涯中得到的最大赞誉了吧。专家认为感生电动势应该被放入本节课中，并且赞赏我在电磁阻尼部分的解析图。
在课前，邱sir、我的师父王国勇老师、新疆部的唐亮老师，以及金老师给了我很多建议。由于他们的建议和帮助实在太多，难以一一列举，但每次在公开课后，听到各种想法、教育见解和教育理念，我都觉得自己有很多需要学习的地方。

昨晚回家赶上下雪，出地库拍了这张“风雪夜归”的照片；一早取车，去地库的路上差点滑倒，上班路上看天边的云很特别，后悔没能下桥找个开阔的地方认真拍一拍，错过了朝霞，希望有晚霞等候。

偶尔听家人转述谁谁退休了，有时间了没身体了，后悔云云···不知道我以后会不会也后悔。就目前状态来想，那些后悔的人估计是忘记了之前勤勉工作带来的快乐吧，把一时不适的情绪放大了而已。不过也难说，十年八年后我也会归为此类呢。

还有半个小时下班，看窗外的云有点泛红就提前下楼转转了···虽然没有看到想象中的火烧云，但是遇到海辰他们排球社的，一起在这打了一会，气氛很好，或许这才是一天最期待的晚霞呢。
这学期三个班的工作量还是有点重，读书的时间压缩不少，连认真写个小文章的时间都没有，这里都成了微博了呢。

进入十二月份，要开始读读书笔记了~~~

学校要迎什么检还是申什么校，不好推脱，正好也稍微梳理一下，上图头像者是参与求师得数位学习助教、课题主持、学长分享或管理等贡献的，并不包括上千的学员。
另，中午跑步，忽然想起多年前，曾有王姓同学热心参与求师得的活动，但在大厅张贴的海报上漏了她的头像。至今记得她的失望和委屈，也想起她同学近乎讥讽的询问。下午特地从以前的视频截取了她的头像，尽管她未必会看到这里，至少我心会安一点。即便我们已经很认真搜寻记忆和检索资料，难免还会有所遗漏。

一朝相遇两度倾心十载华年二十寒暑几多惊奇一声叹息刹那就是永恒了哈哈哈~~~

“求师得”作为面向全国的师生协作的数位学习型组织，立足东北育才，也得到沈阳市教育局和教育研究院的支持。

1997年在全国率先开设“动态数理”选修课，对蝴蝶定理的系列推广在国内外产生很大反响（cut-the-knot.org论文引用），系统构造动态数理范例激发学生的“再创造”认知。

2000年创办求师得教育实验室（qiusir.com），其中“动态与创造社区”的“画板联盟”一度成为两岸三地最具影响力的画板讨论区，著名数学家张景中院士作为实验室名誉顾问先后三次为求师得题字、题词。

2014年开始，在台湾鄹景平先生的支持下，秉承“让助学发热、让自学发光”的宗旨，推行“以己为师、自求自得”的理念，在全国中学率先有组织进行慕课先修。老师和学生一起学、学生和老师一起教（WE to ME and ME to WE）。求师得数位学习（qiutopia）跨越了理念和实践的鸿沟，实现了专业的学科知识教学与鲜明的教育个性的现实整合。

2016年和沈阳市教育局、教育研究院合作在全市范围内开展数位学习，也有上海、江苏、安徽和吉林等地学生参与在线选修。

截止2024年暑期，求师得数位学习活动面向全国连续开展十年二十个假期，《动态数理》在线选修和《数字讲述》慕课先修等学习活动有超千人次参与，数百人获得数位学习课程证书，帮助越来越多学生实现了“带着慕课证书上大学”的小目标。

后屯已被下洼子吞并了。其实呢，我早就没有故乡了······

想到最近在追的《豺狼的日子》片头曲，特地去重拍了花圃里的这朵没能绽放的玫瑰。这带刺的花赶上今冬的第一场雪，如此时运难说是不幸还是幸吧。


和那甘愿虚度的人生相比，这永远无法绽放的花又怎么谈得上是不幸呢~~~
This Is Who I Am

some flowers, never get to bloom and see the day
有些花，永远无法绽放与见到阳光
some flowers, are content to wish their lives away
有些花，甘愿虚度一生
some may rise
有些可能崛起
some may fall
有些可能衰落
but only, you may ever see me true
但唯有你，能真正看清我
so only, you can tell that this is who I am
所以唯有你，能分辨这就是我
this is who I am
这就是我
you know me like a river knows how to flow
你了解我，就像河流知晓如何流淌
my body is the story you were always told
我的身体是你一直听闻的故事
the sun may rise
太阳可能升起
the sun may fall
太阳可能落下
but only , you may ever see me true
但唯有你，能真正看清我
so only , you can tell that this is who I am
所以唯有你，能分辨这就是我
this is who I am
这就是我
······
sun rises to sun set
从日出到日落
this is who I am
这就是我