五 23

最近在讲电场,翰铮同学分享他看学习心得,说有老师用“臭脚丫”类比电荷,臭味是看不见的那种物质...后来在日语班上课,还特地让打篮球的苏同学拖鞋,如果付出闻点味道的代价就能很好理解“field”倒也合算。
后来我觉得用榴莲代表带电物体可能更好,有人对榴莲的味道喜欢的不得了,而有人则唯恐避之不及,相当于同一点正负电荷受力相反...
尽管我本人不曾吃过榴莲,很多年前还写过关于它的心得:
@qiusir:榴莲似乎可以用来形容一种人,粗硬多刺的外表却裹着柔软丰实的心。不少人被其外表所拒,而能触及其内在的也未必受得那气味,但对敢能享食者来说却多有水果之王之美誉.
@qiusir:有的知识也如榴莲,不畏其表不惧味,能敢食之方知其美味.

电场和引力场中的势能问题是另一个难点。在学习这件事上,也很能体现困难源自美德(深究悉讨)...
1、引力势能

2、重力势能
以地面为零势面(通常是以保存力为零的位置为零势面,这里是为了表达式简洁和方便,就如通常以地面为参照物一样)

如果物体在地球表面附近,h

R,

所以有

,也就是有心力场局部近似为匀强的引力场。
3、电势能
类比万有引力

和库仑定律

不难得出对于异种电荷间的电势能和引力势能具有相同表达式,

(此处Q,q仅指电量大小)
如果考虑到电荷的正负问题,以及r的方向问题,库仑定律更一般表达

,Qq是包含电性正负的...(

)

电势能的表达式:

由电势的定义式

,也就方便得出点电荷的电势决定式:

如此容易理解,正电荷的电场电势为正,负电荷的电场电势小于零;负电荷在负电荷电场的电势能大于零...对等量异种电荷中垂线为零势能面,除了用电场力方向理解,用

理解更直接...

套用点电荷电势的方程,可以得出关于两个关于y轴对称的点电荷在平面某点的电势:

电场是保守力场...电场线方程和等势面方程互为共轭调和函数(不懂,安排远卓等同学暴力求解去了)...

根据上年的两个方程,用GeoGebra的曲线“序列”就可以绘制上图了...
另,最近这里[
?]发现这张图,按照这里物理量表达习惯略微做了修改(日语教材中,U代表势能,而电势用V表示):

关于电势的高低,用地势的高低类比,而等势面和地里的等高线类同...
三 01

几年前我曾编过一道题目,竖直平面光滑轨道上,求小球从2r等高处静止释放上升的最大高度。起初不少学生不理解为什么不能到达圆形轨道最高点,因为那并不违反能量守恒,后来有学生陆续能计算出

,最后为数不多的学生能继续计算,斜上抛的运动学角度或者求出抛体最高点动能再用机械能守恒,计算出

...
前一阵子注意到高三模拟的一道题目和上面很像,但我当时记错了数据,有两位学生(远卓等,他觉得后面的结论很神奇,也期待他们的论证)算出复杂的分数...

昨天在推上看到@TaRoS_physics分享的结果,以前没有留意到30°(落到水平点最外点)、45°(落到中心对称点)、60°(竖直点)有这么好的结论。就让侯课代表检验一下并找找规律,当然我自己也没有闲着...
关于满足机械能守恒的竖直平面圆周运动的脱离点与落点角度等疑惑,今天用电脑计算了一下,不仅原来结论很完美,似乎还有小的发现,落到圆周上的点是脱离点和竖直面的3倍角,等我要发布的时候发现@hakuryu27071454也给出了一样的结论,我如费赖登塔尔所言的reinvent...

如果从编题练手的角度,从

高度释放的小球数据较好,一方面最大的高度是

,另一方面小球是从与竖直60°角处分离,并恰能落回最低点...

update:
关于这个问题的证明,一种是通过解析的方法(也留意到@YS55749378的耐心证明,估计明天我学生中能有好的结果),我当然倾向物理的思路,不仅是证明,更试图找到更通俗的解释。先是把三倍角还原成四倍再转化为两倍角的对称,然后建立新的坐标系并对速度和加速度分解...

,

,

另,根据分离条件,即重力法向分力提供向心力,

代入,

得出

...

很遗憾并没有发现预料的简洁结论。如果不从四倍角度看,也可以通过作出圆心关于分离点竖直方向对称点和分离点连线的垂直方向的直线和圆周交点即是落点位置;或圆心关于分离点竖直方向对称点与分离点连线和圆的交点与圆心连线的直径上的另一点即为落点...下面算是更好的简化。

当然,如果单纯几何构造的角度看也算简单:
1、构造过分离点A的竖直直线,也是重力方向,与圆相交B点;2、连接B与圆心的直线;3、过分离点A做垂线,与圆相交C即为落点。也是A关于直线的对称点。

还是感觉有比上面的论证更简洁的见解,也检验了一下,上述结论也是抛物线曲率圆(密切圆,Osculating circle)的一般性质(之前竟然没有注意原来的圆形轨道不过是原本抛物线的密切圆而已)。那椭圆和双曲线呢,估计原本的竖直方向会变成指向引力中心的方向?原来这是个普适的结论:过分离点与圆锥曲线对称轴的平行或垂线和密切圆相交,然后分离点与连接交点和密切圆圆心(曲率中心)的垂线与密切圆的交点即是回归点。(也是分离点和回归点与密切圆圆心夹角还是4α)

附高一七班王远卓的证明:

附(物理和数学上并不困难的问题,学生主动想到更一般的探索的愿望和努力值得留名)
晨西设定释放点距离圆形轨道圆心高度h,则脱离点与竖直夹角

,如此设定结果简洁;浩睿设定释放点距离地面高度为半径n倍,则上升最大高度为

...
二 18

土拨鼠洞穴的一个入口是比另一个高不少的(挖洞挖出的土基本上是堆到一侧),这可是利用了伯努利原理以保证有足够的氧气流通,这是自然选择的结果吧,相信也有其他动物进化出如此的本领。以前留意过,地下通道的设计可以借鉴[
?]...

蝙蝠和海豚以相同的方式进化了回声定位。有研究表明,它们有200个基因以相同的方式独立发生了变化...物种的进化,某种程度上是物理定律的选择...

一直以为电源的符号的长线段是代指充当正极的碳棒,看资料才知道,电池符号的灵感来自 19 世纪初伏打电池的外观。
(1780年,意大利科学家伽伐尼提出动物是由电驱动的,电流计(galvanometer)正是以伽伐尼命名的。伏特对抽搐的青蛙腿很感兴趣...1799年伏特鼓捣出了电池的雏形。)

"Everything is interesting if you go into it deeply enough."---Richard Feynman