JQX/进取芯 席明纳第17期（2025.10.23）

人船模型的拓展应用

JQX|Jin
一、小物块在光滑半圆形轨道上运动
半圆光滑槽质量为 $M$，半径为 $R$，置于光滑水平地面上。一个质量为 $m$ 的小滑块在槽内左上角由静止释放。求：
(1) $m$ 滑到最低点时的速度；
(2) $m$ 滑到最低点时所受支持力的大小；
(3) $m$ 对地的运动轨迹在最低点的曲率半径；
(4) $m$ 对地的轨迹方程；
参考解析
(1)根据动量守恒：$m v_1 = M v_2$。机械能守恒：$m g R = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} M v_2^2$
联立解得：$v_1 = \sqrt{\frac{2 M g R}{M + m}}, \quad v_2 = \frac{m}{M} \sqrt{\frac{2 M g R}{M + m}}$
(2)以槽为参考系，最低点时沿半径方向受支持力和重力：$F_{N} - mg = m\frac{(v_{1} + v_{2})^{2}}{R}$
(3)当研究轨迹为一般曲线时，利用曲率半径的概念：$F_{N} - mg = m\frac{v^{2}}{\rho} \quad (\rho < R)$
(4)以半圆轨道圆心为坐标原点建立直角坐标系，设小物块的横坐标为 $x$，半圆轨道向左发生的位移为 $\Delta x$，此时圆的方程为 $(x + \Delta x)^2 + y^2 = R^2$。
由系统水平方向动量守恒：$M \Delta x = m(R + x)$，得 $\Delta x = \frac{m(R + x)}{M}$。
将 $\Delta x$ 代入移动后的圆方程得：$\left(x + \frac{m(R + x)}{M}\right)^2 + y^2 = R^2$，为椭圆。
二、小物块在光滑斜面上运动
将质量为 $m$ 的小滑块沿倾角为 $\theta$ 的光滑三角形斜面静止释放，整个装置置于光滑水平地面上，求滑块落地时间。
为了解决这个问题，需要明确运动为匀变速直线运动（方法三可证明）。
方法一：
思路：根据人船模型，我们可以明确物体运动的初末位置，得到运动的位移。再求出物体运动的末速度，结合运动学公式求出时间。
根据人船模型：$x_1 = \frac{M}{M + m} \cdot L \cdot \cos\theta$
下落高度：$h = L \cdot \sin\theta$
几何关系：$x^{2}=x_{1}^{2}+h^{2}$
系统机械能守恒：$mgh = \frac{1}{2}mV_1^2 + \frac{1}{2}MV_2^2$
水平方向动量守恒：$m \cdot V_1 \cos\alpha = M \cdot V_2$
速度方向与位移方向关系：$\cos\alpha = \frac{x_1}{x}$
匀变速直线运动平均速度公式：$\frac{V_1 + 0}{2} \cdot t = x$
解得：$t = L \cdot \sqrt{\frac{M^2 \cos^2\theta + (M+m)^2 \sin^2\theta}{2 g (M+m) \sin\theta}}$
方法二：
思路：得到运动的位移后，可以明确加速度的方向为位移方向，由矢量合成求出加速度大小，结合运动学公式求出时间。
根据上一个方法的 $x_1$ 和 $h$，我们可以求出实际轨迹的倾角 $\alpha$，
根据加速度方向与轨迹方向一致和牛二的矢量三角形（见黑板中部左侧），可得：$\frac{ma}{\sin\theta} = \frac{mg}{\sin\left( \frac{\pi}{2} + \alpha - \theta \right)}$
再根据 $x=\frac{1}{2}at^{2}$ 可求出时间。
方法三（K2304吴尚达）：
思路：以斜面为参考系，滑块运动即为匀加速直线运动，引入惯性力列方程组求解。
对斜面，水平方向（换系引入惯性力 $Ma$ 后平衡）列式：$Ma = N \cdot \sin\theta$
对物块，垂直斜面方向（换系引入惯性力 $Ma$，垂直斜面方向平衡）列式：$N + ma \cdot \sin\theta = mg \cos\theta$
联立方程，可解得：$N = \dfrac{Mmg \cos\theta}{M + m \sin^2\theta}$ $a = \dfrac{mg \sin\theta \cos\theta}{M + m \sin^2\theta}$
可见 $N$ 于 $a$ 都是定值，可证运动是匀加速直线运动。
再结合斜面的对地位移，可求时间。
三、光滑圆柱在双斜面上运动（K2304吴尚达）
吴同学在分析斜面问题后，由提出了带有速度关联关系的双斜面问题，并提出了两种解法：

四、小物块在斜面、抛物线轨道的轨迹方程
与求半圆轨道模型类似，当小物块移动 $\Delta x$ 时，轨道会相应移动 $\Delta x \cdot m/M$ 的位移，也就意味着，小物块在原有轨道的轨迹被进行了压缩。
所以，直线轨道压缩后，轨迹方程为斜率更大的直线，抛物线轨迹被压缩后，轨迹方程依然为抛物线，而圆形轨道轨迹方程被压缩后为椭圆。
而且，这个求解的方法，只需要水平方向动量守恒，对初速度、轨道内部是否粗糙都没有要求，也就是说轨迹方程都不变。

【下期预告】
初探变分法，运用变分法重新审视最速降线问题，并证明摆线的等时性。

JQX/进取芯 席明纳第16期（2025.10.16）

从费马原理到最速降线

JQX|Xiao

1.伯努利与最速降线
在 17 世纪，约翰·伯努利（Johann Bernoulli）在思考最速降线问题时，受到了光学中“费马最短时间原理”的启发。费马指出：光线在传播时，总是选择一条能使它从出发点到达目标点所需时间最短的路径。
通过这一原理可推导出斯涅尔定律。当光从一种介质进入另一种介质时，传播速度发生变化，光线发生折射，而其入射角和折射角满足：$\frac{\sin\theta_1}{v_1} = \frac{\sin\theta_2}{v_2} = \text{C}$
其中$v_1,v_2$ 分别是光在两种介质中的速度。伯努利的关键思想是把物体下滑的路径与光的传播类比。伯努利设想：把空间分成由折射率不同的介质组成的一层层的结构。若把粒子在重力场中下滑的路径比作光线在不同介质中的传播，那么下滑路径的不同高度就好比不同折射率的层。物体下落的速度$v$ 取决于高度$y$，由能量守恒有$v \propto \sqrt{y}$，由于光总是沿着时间最短的路径传播，所以如果粒子的运动路径与光相同，那么它的轨迹就是最速降线。根据斯涅尔定律：$\frac{v}{\sin\theta} = \text{C}$，带入机械能守恒方程，于是得到最速降线的微分关系：$\frac{\sin\theta}{\sqrt{y}} = k$。

2.摆线方程证明

按照伯努利的说法，他一眼就看出这是摆线的方程。下面引用马克·莱维的方法对这个公式进行证明。设想一个在天花板上滚动的轮子，轮缘上的一点 P 描绘出一条倒置的摆线。轮与天花板的接触点 C 是这一瞬间的瞬时旋转中心。此时，点 P 的运动相当于以 C 为支点的圆周运动。 圆的切线与半径垂直 ，摆线在 P 点的切线垂直于 PC。 PC 与圆的直径构成直角三角形，斜边是圆的直径。通过相似三角形关系，可以得到：$y = (\text{D}) \cdot \sin^2\theta$于是立刻有：$\frac{\sin\theta}{\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{\text{D}}} = \text{C}$这正是伯努利得到最速降线方程的关键条件。因此，摆线满足$\sin\theta/\sqrt{y}$为常数的性质。几何与物理在此奇妙地契合——摆线的几何构造，正体现了自然界中“时间最短”的运动规律。

3. 最速降线圆心速度分析
摆线是由于轮子滚动时轮子上的一点形成的，那么当轮子如何滚动时，滚出的摆线轨迹与小球沿最速降线下滑时刚好吻合，或者说小球沿最速降线下滑时，对应的圆的圆心速度大小是多少？
物体在摆线上的运动可以看成由两部分组成，分别是是圆心的平动速度和相对于圆心的转动速度。如图中所示，其中平动速度水平向右，转动速度沿圆周运动的切线方向。由几何关系可知：$2v_0\sin\theta = \sqrt{2gy}.$根据摆线方程：$y = D \sin^2\theta = 2R \sin^2\theta$.以及机械能守恒：$v = \sqrt{2gy}$.可以得到$v_0 = \sqrt{gR}$，其中$v_0$ 与g、R均为常数。这说明最快下落的路径对应轮子上一点匀速转动过的轨迹。

下期预告：静止在光滑地面的光滑半圆形轨道、抛物线轨道、斜面，当有小球滑下，小球的运动轨迹是什么样的？斜面模型下，下滑的时间能否求解？下节课，金师带你探索这类问题的求解方法，敬请期待！

JQX/进取芯 席明纳第15期（2025.9.17）

斜抛运动的最远距离

JQX|Jin
一、平抛结论的斜抛延伸
平抛有两个二级结论：
1. 某点速度的反向延长线过水平位移中点
提示：通过速度角、位移角正切值关系证明。
2. 某点位移的延长线过竖直分速度的中点（如黑板图1）
- 法一：通过三角形相似，结合速度角、位移角正切值关系证明。
- 法二：qiusir 提出了一个平均速度法（帅）。平均速度的定义是$\vec{v} = \frac{\vec{x}}{t}$，这是一个矢量式，也告诉我们位移的方向与平均速度的方向相同。竖直方向上，平均速度为$\frac{gt}{2}$，所以在这个方向上过竖直位移中点。
那么，在斜抛运动中，这两个条件是否成立？
成立，但有一个前提：我们要将斜抛运动沿初速度方向和竖直方向斜交分解。此时运动变为沿初速度方向的匀速直线运动和自由落体运动，在这个分解方法下，两个二级结论依然成立，证明方法与平抛运动相同。
二、向地面斜抛的最远距离
当离地高度$h$一定，以某一大小确定的速度抛出小球，求角度为多少时射程最远，射程为多少？
最基本的方法是假设角度，列出射程与角度的函数解析式，求极值。
这里讲解一个三角形面积法：
- 射程的表达式：$x = v_0 t \cos\theta$
- 落点速度矢量三角形的面积：$s = v_0 \cos\theta \cdot gt$
- 由上两式可得：$s = gx$
因此，矢量三角形面积最大时，射程最大。
根据动能定理，小球落地时末速度大小确定（因初速度大小为定值），则**末速度与初速度垂直时**，速度三角形面积最大，射程也最大。
确定方向后，可根据初末速度大小求出矢量三角形面积，进而求最大射程。
三、从斜面上斜抛的最远距离
以某一大小确定的速度从斜面上某点抛出小球，求角度为多少时射程（落到斜面上）最远，射程为多少？
- 法一：解析式法
解析式法依然可解，但计算难度较大。
- 法二：三角形面积法与关键结论
三角形面积法可用，依然满足$s = gx$（$x$为射程的水平位移），但需讨论：本题末速度大小不确定，射程最大时，是否依然为初末速度方向垂直呢？
我的证明思路（较复杂）：
对于速度三角形，沿位移方向连接$AB$，根据结论（前文平抛延伸的二级结论），$B$为$CD$中点，则$\triangle ABC$的面积为$\triangle ACD$的一半。又因$AC$大小确定、$\angle ABC$角度大小确定，根据几何关系（用圆周角证明），当$AB = BC$时面积最大，射程也最大（如图中所有“×”角相等）。
由此可得到结论：**当入射方向为竖直与斜面的角分线方向时，射程最大**。
同理，图中两个“·”角也相同，则$\angle CAD$为直角。
肖老师和qiusir的巧妙观点：
假想某一落点为射程最远点，该点与出发点的高度差为某一定值（因假想点确定），则该落点对应的速度应满足“向地面斜抛最远距离”的结论（末速度与初速度垂直）。
斜面上任意一个落点，都有与之对应的高度$h$下斜抛最远的速度角度关系（但该角度不一定是唯一解，因其他$h$对应的角度也可能落到该点）；当$h$最大时，有且仅有一组解，此即为射程最大点，故末速度与初速度必垂直。
有了角度关系后，再根据位移几何关系（利用斜交分解）可求得最远射程，计算难度不大(见图片）。

后记1：包络线法
为准备本节课内容，我最初研究了“基本运算”和“三角形面积”两种方法，已觉完善；但后续qiusir发给我俊豪β同学的抛体运动题目，其中一题核心内容与我讲授的相同（默契十足），且俊豪要求用三种方法求解，这促使我进一步研究，得出第三种方法——包络线法。
包络线的定义：指与给定曲线族中的每一条曲线至少在某一点相切，且在该点附近与曲线族中相邻曲线保持密切接触的曲线，可理解为“一簇曲线中最外侧点的连线”。

斜抛运动的包络线表达式：对于初速度大小恒定、方向任意的斜抛运动，包络线的表达式为

$$y = -\frac{g}{2 v_{0}^{2}} x^{2} + \frac{v_{0}^{2}}{2 g}$$

该表达式可通过“求所有确定$x$对应的$y$的最大值（以$\tan\theta$为变量）”推导得出（推导过程不难，请自行查阅资料）。
利用包络线法求斜抛最远距离：求解包络线与斜面的交点，该交点对应的射程即为最大射程。

后记2：张耘铭原创题目
课后，K2304班张耘铭同学原创了一道有趣的题目：
从某一平面斜抛一个带电小球，已知速度大小和方向，环境中存在一匀强电场（大小、方向可变，即小球运动的加速度未知，但为匀变速运动）。
(1) 试求其返回该平面时的最小速度。
(2) 若已知加速度大小为$a$，速度与平面夹角为30度，求返回平面最小速度时的位移。
方法不唯一，请思考吧！

【下期预告】
硬核证明两点之间直线最短——变分法在高中物理中的简单应用

JQX/进取芯 席明纳第14期（2025.9.11）


向量的点乘、叉乘及向量的起源
K2304 蔡智远
一、向量还是矢量?
向量与矢量之争源自“vector”一词引进时的不同翻译，不过二者其实无本质差别，皆意为“有方向的量”，在港台等地的教材中，已将二者统一为“向量”，依 qiusir的看法，我们实则也应统一为“向量”，所以下文我将统一使用“向量”。不过物理研究中，出于实用的角度，有些向量并不能在空间中随意平移，如特定某个作用点上的力，那么这也算是物理和数学中向量的小有区别。

二、从物理实用角度推导向量点乘的公式
向量的点乘，得到的结果一般称作数量积或者内积，在物理学中应用十分广泛，最典型的便是力、位移与做功的关系。那么我们为什么要将数量积的公式定义为 $|\mathbf{AB}| |\mathbf{AC}| \cos \angle (\mathbf{AB}, \mathbf{AC})$，或者放到坐标系里的 $x_1 x_2 + y_1 y_2$ 呢，那么接下来我将以力和位移以及做功的关系来简单推导一下：
首先我们要明确这一公式要满足哪些条件，或者说想要推导出这个公式，要从哪些“公理”开始。现在假如我们有一个力 $\mathbf{F}$，在其作用下，物块儿分别走过了 $\mathbf{x}_1$，$\mathbf{x}_2$ 两段位移，那么这个力在两段位移上分别做的功一定等于这个力在总的位移上做的功，即 $\langle \mathbf{F}, \mathbf{x}_1 \rangle + \langle \mathbf{F}, \mathbf{x}_2 \rangle = \langle \mathbf{F}, \mathbf{x} \rangle$ 同理，如果物块走过 $\mathbf{x}$ 的位移，同时有两个力 $\mathbf{F}_1$，$\mathbf{F}_2$ 作用于它，那么这两个力分别的做功之和，一定等于这两个力和力所做的功，即 $\langle \mathbf{F}_1, \mathbf{x} \rangle + \langle \mathbf{F}_2, \mathbf{x} \rangle = \langle \mathbf{F}, \mathbf{x} \rangle$

由此我们可以推出这个公式的第一个性质，及计算结果对于两个向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 都是线性的，从某种角度来说，就是这个运算要遵循“分配律”，同样的两个向量中的任意一个扩大一定的倍数，最终的结果也一定扩大同样的倍数。
其次，假如物块现在受到一个力 $\mathbf{F}$，走了一定的位移 $\mathbf{x}$，那么只要力与位移的夹角固定，那么不论其在空间中的绝对位置，或者方向是什么样的，那么最后做功的量都是一样的

由此我们可以得出第二条性质，这一运算的结果仅与向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 的相对位置有关，与绝对位置无关，这样我们可以同样推出这一运算符合类似“交换律”的规律。由此我们可以来进行推导一下这一公式的必然形式：
现在我们假设平面直角坐标系中有两个向量，那么按照我们的运算法则，可以进行如下的化简

将两个向量正交分解，并通过性质一进行一下分配，可以拆出4个式子：

把系数提出，括号里保留单位向量，可以得到如上的式子。此时根据性质二，我们还可以推出互相垂直的两组单位向量，进行数乘运算之后结果必然为零，推导过程如下：

假设我们现在有互相垂直的两个向量，将其中一个反向处理（等同于乘上系数-1），那么由性质一可知，最终结果会变成原结果的相反数，而由性质二可知，这两次运算向量的相对位置不变，也就是结果相同，那么一个数的相反数等于它本身，这个数必然为零。
那么所以原先的计算式子只剩下了同向的两组单位向量进行运算的那两项，也就是 $x_1 x_2 \langle \rightarrow, \rightarrow \rangle + y_1 y_2 \langle \uparrow, \uparrow \rangle$，如果我们规定相同单位向量之间的运算为一，那么就能得到最后的结果，及两个向量的数量积为 $x_1 x_2 + y_1 y_2$

三、关于叉乘的应用
向量的叉乘，是在19世纪由吉布斯定义的，其定义为 $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ 的结果为一个向量，大小 $= |\mathbf{u}| |\mathbf{v}| \sin \angle (\mathbf{u}, \mathbf{v})$，其方向为，将右手的四指向 $\mathbf{u}$ 的方向，并向 $\mathbf{v}$ 旋转四只手指，此时大拇指的方向即为运算方向，或者在右手系中，食指指向 $\mathbf{u}$ 的方向，中指指向 $\mathbf{v}$ 的方向，此时大拇指的方向也为运算方向。或者在右手系中，食指指向 $\mathbf{u}$ 的方向，中指指向 $\mathbf{v}$ 的方向，此时大拇指的方向也为运算方向由此我们可以将高中阶段电磁学中，使用到的几个公式写成标准的叉乘形式：

以上4个公式便是最常用到的，分别对应左手定则，右手定则和右手螺旋定则，其真实形式便是含有叉乘的公式。这里着重说一下洛伦兹力的公式，因为我们在计算带电物体在磁场与电场中的运动时经常使用到配速法，其本质便是叉乘的运算符合乘法的分配律。

即通过上图中的运算，使水平方向一个非运动产生的洛伦兹力时刻与重力相等，让另外一个水平方向的速度做匀速圆周运动，再将两种运动叠加起来，进行我们所需的运算。同样的，假如我们有某一个力，其大小，与速度的关系不是线性的，那么配速法就不再适用，具体推导如下：

这时如果进行速度的分解，则会出现一个消不掉的中间项，会使最后配出来的运动额外多出来一个无法合成的运动，也就是配速法会在这种情况下失效，这一点只有在了解到叉乘具体的运算公式法则才能明晰，否则的话容易超范围误用配速法。叉乘的本质上是一种简化的运算，麦克斯韦在推导电磁定律的时候，最初的原始公式一共有几十条，后来由吉布斯等人利用叉乘工具简化，才有了现在的4条公式。
同时理查德费曼曾经说过，我们所在的世界有叉乘“这是一个十分幸运的奇迹”，因为只有在三维空间，七维空间，十五维空间，这一类 $(2^n - 1)$ 维空间中才有叉乘，其余的空间中都是没有叉乘的，而诸如七维空间和十五维空间中的叉乘，其运算法则极为繁琐，所以我们有幸生在了三维空间，才有了如此简洁的运算工具。

四、哈密顿与四元数
最后的这一块，我想讲一下，向量真正的起源以及点乘和叉乘的真正由来。首先我们先要讲到一个概念，就是复数即 $a + b i$ 这种，由一个实部和一个虚部组合起来的数，就是复数也是叫二元数。复数天生就与向量有着极强的关联，因为由复数定义出的负平面中，可以表示任意的平面向量，并可以借由此研究平面中的旋转和运动等等。
后来有一位数学家叫做哈密顿，被称为是英国迟来了一百年的牛顿继承人，他构想，既然二元数可以描述平面中的旋转，那么三元数可不可以描述立体空间中的旋转等等，于是他便开始构想三元数，即 $a + b i + c j$，由一个实部和两个虚部组成，其中 $i$ 和 $j$ 的平方都等于-1，但 $i \neq j$。然而三元数体系是有很大的问题的，也就是 $i$ 乘以 $j$ 无法计算，无论是等于-1还是其他的数值都不合理（这只是简单的解释，实际上还涉及到数集是否是封闭等问题）哈密顿也因此觉得三元数去描述立体空间是做不到的，他又思考了很久这个问题，终于想到在三元数的基础上再加一个虚部，构成四元数，并且符合以下的运算法则：

于是便有了四元数 $a + b i + c j + d k$，同时，哈密顿在研究立体空间时令实部等于零（在后来的研究中，实部也被用来描述时间轴了），剩下的纯虚四元数，每一个虚部都是平权的，正好可以对应空间中的 $x, y, z$ 三个坐标轴，于是哈密顿便将实部命名为了 scalar，即标量，三个虚部合在一起命名为了 vector，即向量，这才是向量真正的起源。
也就是说我们可以将一个向量描述为 $a_1 i + a_2 j + a_3 k$，$i, j, k$ 分别对应在空间坐标系中的坐标，这时候我们去研究这样一个纯虚四元数的乘法，可以得到如下的结果：

按照四元数的运算法则，我们发现结果的实部的相反数正好就是两个向量的内积，虚构正好就是叉乘所对应的结果，而这才是向量点乘与叉乘的真正由来。而之所以在三维，七维，十五维等空间中才有叉乘，也正是因为只有四元数体系，八元数体系和十六元数之类的体系是稳定的，能够构建出来的，那么我们所生活的世界有如此精妙的运算法则，又何尝不是一种幸运呢？

JQX|Jin

【下期预告】

斜抛运动的最远距离，是高中物理抛体模型的经典难题。除了正交分解，还有更巧妙的解法吗？下一期，金师将聚焦斜交分解法，从平抛运动的二级结论出发，推导并梳理斜抛最远距离的多种求法。敬请期待！

JQX/进取芯 席明纳第12期（2025.7.9）

基尔霍夫定律、叠加定律、戴维南定理

JQX|Jin
一、基尔霍夫定律
可以理解为电路中 “节点电流” 和 “回路电压” 的两条规则
电流定律：电路中任何一个节点，流进去的电流总和等于流出来的电流总和。
电压定律：电路中任何一个闭合回路，电源提供的总电压等于回路中所有电阻 “消耗” 的电压之和（电流流过电阻，降电势）。
二、叠加定律
多个电源同时给电路供电时，某段电路的电流（或电压），等于每个电源单独供电时（其他电源短路）在这段电路产生的电流（或电压）加起来的结果（比如两个电池一起工作，效果等于先算第一个电池的电流，再算第二个的，最后相加）。
三、戴维南定理
一个复杂的含电源电路，对外接的用电器来说，可以简化成一个 “等效电池”：这个等效电池的电压等于电路两端不接用电器时的电压（开路电压），内阻等于把电路里所有电源断路（我们高中一般都是恒压电源，如果是恒流源，需要将电源短路）后，两端的等效电阻。
例题分析
例 1：求通过三个电阻的电流

法一：基尔霍夫定律
$I_1 + I_2 = I_3$
$2 - 4I_1 - 2I_3 = 0$
$-4 - 3I_2 - 2I_3 = 0$
解得 $I_1 = \frac{9}{13} \, \text{A}$，$I_2 = -\frac{4}{13} \, \text{A}$，$I_3 = -\frac{5}{13} \, \text{A}$
法二：叠加定律（以计算 $I_1$ 为例）
若将 $4 \, \text{V}$ 电源短路，有：$I_1' = \frac{5}{13} \, \text{A}$
若将 $2 \, \text{V}$ 电源短路，有：$I_1'' = \frac{4}{13} \, \text{A}$
则 $I_1 = I_1' + I_1'' = \frac{9}{13} \, \text{A}$ ，结果一致。

例 2：求通过电阻的电流

法一：基尔霍夫定律
$-3 - 1 \times I_1 - 2 \times I_2 + 2 = 0$
$-2 + 2 \times I_2 - 2 \times I_3 = 0$
$I_1 = I_2 + I_3$

解得 $I_1 = -1$，$I_2 = 0$，$I_3 = -1$
法二：叠加定律
略，将电源短路，但内阻保留。

例 3：分析电路三个电阻的连接关系

法一：电势点法
如黑板图，同一导线电势相等，则每个电阻都是在 1、2 电势之间，为并联关系。
法二：移动负载法（捏点）
把最上方的导线捏成一个点，中间的电阻自然相当于移动到两侧电阻中间与之并联，为并联关系。
法三：基尔霍夫定律
最下层：$\varepsilon - R_1 I_2 = 0$
1、2 回路：$-R_2 I_3 + R_1 I_2 = 0$
2、3 回路：$R_3 I_3 - R_3 I_4 = 0$
推导得 $R_1 I_2 = R_2 I_3 = R_4 I_3$ ，可知为并联关系。

例 4：不平衡电桥的计算

求流过 $R_5$ 的电流大小
法一：基尔霍夫定律
电流关系方程
$I_1 = I_2 + I_5$
$I_4 = I_3 + I_5$
电压关系方程
$I_1 R_1 + I_5 R_5 - I_3 R_3 = 0$
$I_2 R_2 - I_4 R_4 - I_5 R_5 = 0$
$I_1 R_1 + I_2 R_2 - E = 0$
解得流过 $R_5$ 的电流为 $0.5 \, \text{A}$
法二：戴维南定理
我们可以将 $R_5$ 两端断开，把其他所有部分想象成一个等效电源，这样，我们就能把电路简化为电源和 $R_5$ 的串联。
按照戴维南定理，我们将 $R_5$ 断开后，$R_5$ 两端的电压即为等效电源的电动势，计算可得 $E = 5 \, \text{V}$。再将电源短路（保留内阻），剩余的电阻（$R_1$、$R_2$ 串联与 $R_3$、$R_4$ 串联后并联）即为等效电源的内阻，$r = 7 \, \Omega$。
这样，我们可以直接将 $R_5$ 串入这个等效电阻中，求得电流为 $0.5 \, \text{A}$。

拓展例题（2025年高考物理 甘肃卷压轴题）
在自动化装配车间，常采用电磁驱动的机械臂系统，如图，$ab$、$cd$ 为两条足够长的光滑平行金属导轨，间距为 $L$，电阻忽略不计。导轨置于磁感应强度大小为 $B$，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，导轨上有与之垂直并接触良好的金属机械臂 1 和 2，质量均为 $m$，电阻均为 $R$。导轨左侧接有电容为 $C$ 的电容器。初始时刻，机械臂 1 以初速度 $v_0$ 向右运动，机械臂 2 静止，运动过程中两机械臂不发生碰撞。系统达到稳定状态后，电流为零，两机械臂速度相同。

(1) 求初始时刻机械臂 1 的感应电动势大小和感应电流方向；
(2) 系统达到稳定状态前，若机械臂 1 和 2 中的电流分别为 $I_1$ 和 $I_2$，写出两机械臂各自所受安培力的大小；若电容器两端电压为 $U$，写出电容器电荷量的表达式；
(3) 稳系统达到稳定状态后两机械臂的速度。若要两机械臂不相撞，二者在初始时刻的间距至少为多少？
解析：
(1) $E = B L v_0$，感应电流方向沿机械臂 1 向上
(2) $F_1 = B I L$、$F_2 = B I L$，$Q = C U$
(3) 达到稳定 $I_1 = I = 0$ 时，两机械臂的速度相同，产生的感应电动势与电容器的电压相等，回路中没有电流 $I_1 = I_2 = 0$
法一：
可将电容等效为质量为 $\dfrac{B^2 L^2 C}{2}$ 的单杆，三杆动量守恒，
可得两机械臂的速度为 $v = \dfrac{m v_0}{2m + B^2 L^2 C}$，方向向右。
法二：
从开始到最终稳定的过程中，对机械臂 1 和机械臂 2 分别根据动量定理有 $-B \overline{I} L \Delta t = m v - m v_0$，$B \overline{I} L \Delta t = m v$
即 $B L Q_1 = m v_0 - m v$，$B L Q_2 = m v$，$Q_3 = Q_1 + Q_2 = C B L v$
联立解得 $v = \dfrac{m v_0}{2m + B^2 L^2 C}$。
关键是最短距离的求法，最短距离需要知道相对位移。
根据基尔霍夫定律，任意时刻有 $U = B L v_1 - I_1 R = B L v_2 + I_2 R$
即 $B L (v_1 - v_2) = I_2 R + I_1 R$
有 $B L (v_1 - v_2) \Delta t = I_2 R \Delta t + I_1 R \Delta t$
其中 $(v_1 - v_2) \Delta t = x_1 - x_2 = d_{\text{min}}$，$I_1 \Delta t = Q_1$, $I_2 \Delta t = Q_2$
即 $B L d_{\text{min}} = (Q_1 + Q_2) R$
联立解得稳定时的速度和两棒间初始距离的最小值为 $d_{\text{min}} = \dfrac{m v_0 R}{B^2 L^2}$

最后，我们来尝试计算一道有趣的等效电阻题：

如做黑板中下部图片所示，某电路由六根相同的导体组成立方体，电流从0流入。如果从1流出，那么回路电阻为多少？ 如果从2/3流出，等效电阻又分别为多少？