一些做功与能量问题新观点

十一 12

一些做功与能量问题新观点

研教|〖席明纳理〗金庆辰 2025

JQX/进取芯席明纳第19期（2025.11.06）

一些做功与能量问题新观点

浑南高中部K2304班吴尚达
能量是高中物理的核心物理量之一，其转化通过力的做功实现，力做功也必然涉及能量之间的互相转化。

一、机械能，保守力与非保守力
机械能是指物体由于其运动和位置而具有的能量，它是一个由相互作用的物体组成的系统的动能和势能的总和，即 $E = E_k + E_p$ 。
保守力指做功与路径无关的力，如重力、引力等，保守力的做功只与其位移有关，那么只要知道保守力关于位移的函数，我们就能通过积分得到它对于一段位置变化做的功，进而得到它的势能函数。对于常见的一次函数形式的保守力，积分势能的过程如下:
qiusir说：“保守力的英文是conservative force，与‘守恒’同源，故也称守恒力，在日本教材中也称‘保存力’，这种力的作用效果是保存能量，使其仅在系统内部发生转化，动能和势能通过做功重新分配而不与外界发生能量的流动”也就是说，能量在一个孤立封闭系统内部转化，我们把这种系统称为保守系统。
非保守力与保守力的定义相反，如果做功的力是非保守力，比如摩擦力，那么它会把系统的能量耗散出去，这就是一个开放系统。

让我们看一道个人很喜欢的例题：
【例零】如图所示，一盛水容器绕竖直中心轴以角速度 $\omega$ 匀速转动，求水面的函数。

我们以旋转的桶为参考系，那么液面就是静止的，由于参考系是非惯性参考系，我们需要引入惯性离心力，同时引入离心势能的概念，这样水面上一定质量的液体，它的势能为重力势能与离心势能的总和。对于一个液面，它一定是一个等势面（如果同一液面上存在较高势能的点和较低势能的点，那么较高势能点处的液滴就会向较低势能方向运动，最终形成一个等势面），对于这个等势面，我们可以定义它的势能为任意常数，这里定义为零，对其能量列式如下：

（如果定义水面的势能为常数 $c$ ，则对应的函数应多一项 $+c/mg$ ，液面形状依旧是抛物线）
qiusir还提出了受力分析的解法：

二、力的“作用质点”的位移

【例一】光滑水平地面上用恒力 $F$ 拉动静止的物体 $m$ , 夹角为 $\theta$ ，物体前进位移 $s$ , 求这段过程中恒力 $F$ 所做的功 $W$

对于这道题，qiusir给出了比较标准的叙述方法：
这道典型例题中，可以认为力是一直作用在同一个作用点 $P$ 上的，但如果力的作用点是时刻变化的呢？

【例二】如图为打印机滚轮辅助进纸装置，轮子半径为 $R$ ，绕过 $O$ 点的固定轴以角速度 $\omega$ 匀速转动, 带动下方纸张以速度 $v$ 运动, 试求转动一周摩擦力 $f$ 所做的功。

经过一定时间图中 $A$ 点将不再与白纸接触，摩擦力的作用点不再是 $A$ 点，那么是否可以认为摩擦力的作用点的位移为零呢？因为纸获得的动能，所以显然 $f$ 做的功不为零。

通过“作用质点”来解释这一现象：
对于任意系统，当我们将其离散化，都可以得到无数个无穷小的质点（质量元），作用质点是指某一时刻力作用的系统的一质量元。力的做功其实是由很多个微小的做功过程组成的，当力的作用质点可认定不变时，它就是我们所说的作用点，从而通过其位移计算出做功，但当力的直接作用点发生变化时，则需要通过积分转化来求做功。

三、惯性系与非惯性系的影响
动能定理，机械能守恒是在牛顿第二定律成立的基础上推导出来的。牛顿第二定律在任意惯性系中仍然成立，所以以其为基础的能量动量方面的定理自然也是成立的。
故：在地面系下，如果动量守恒，则在另一惯性系下，动量仍是守恒的；在地面系下，如果机械能是守恒的，则在另一惯性系下，机械能照样是守恒的。
当然也可以通过一些矢量推导（以下推导中 $F$ 、 $\Delta x$ 均为矢量）证明出来：
A，B，C三个可视为质点物体（可拓展至 $n$ 个）与地球构成一个系统，三个物体分别受外力 $F_a$ ， $F_b$ ， $F_c$ 的作用，在一个与地面保持静止的参考系 $S$ 中观测到此系统在运动过程中动量守恒，机械能也守恒， $S'$ 是相对于 $S$ 做匀速直线运动的参考系
由 $S$ 系中动量守恒可知合外力 $F_a + F_b + F_c$ 为零由于受力与参考系无关，所以在 $S'$ 系下合外力 $F_a + F_b + F_c$ 依旧为零，合力对系统做总冲量为0，动量守恒得证。
设很短时间 $\Delta t$ 内 ABC 三个物体的位移分别为 $\Delta x_a$ $\Delta x_b$ $\Delta x_c$ ， $S$ 系中机械能守恒，故可知合外力总功为零，即
$F_a \Delta x_a + F_b \Delta x_b + F_c \Delta x_c = 0$
设同一时间间隔 $\Delta t$ 内 $S'$ 系相对 $S$ 系的位移为 $\Delta x'$ 则由相对运动知识可知：
A在 $S$ 系下的位移 $\Delta x_a = \Delta x_a' + \Delta x'$
A在 $S'$ 系下的位移 $\Delta x_a' = \Delta x_a - \Delta x'$
B，C同理
故在 $S'$ 系中三个力做功之和为
$W = F_a \Delta x_a' + F_b \Delta x_b' + F_c \Delta x_c'$
$= F_a (\Delta x_a - \Delta x') + F_b (\Delta x_b - \Delta x') + F_c (\Delta x_c - \Delta x')$
$= (F_a \Delta x_a + F_b \Delta x_b + F_c \Delta x_c) - (F_a + F_b + F_c) \Delta x' = 0$
$S'$ 系中机械能守恒得证。
【例三】如图所示，火车以速度 $v$ 向前做匀速运动，内有一光滑桌面，上有一轻质弹簧，右端有一质量为 $m$ 的物体（不连接弹簧），一端固定于车厢壁，用手压缩一段后放手，物体被弹开（仍在桌面上），离开弹簧时相对车厢的速度为 $u$ 。问：从放手到物体离开弹簧的瞬间，车厢壁对弹簧做了多少功？
应用上述知识，给出解答如下：

如果以非惯性系作为参考系，由于非惯性系中牛顿第二定律不再成立，需要引入惯性力，若引入的惯性力是保守力，则该系统依旧为保守系统，引入惯性力对应的势能后能量守恒
【例四】如图所示，一光滑细杆绕竖直轴以匀角速度转动，细杆与竖直轴夹角 $\theta$ 保持不变，一个相对细杆静止的小环自离地面 $h$ 高处沿细杆下滑，求小环滑到细杆下端时的速度 $v$

以细杆为参考系引入惯性离心力 $F$ （科里奥利力方向与圆环运动方向垂直不做功，这里忽略不计），由保守系统能量守恒列式如下：

四、虚功原理
对于一个平衡系统，可以假设其发生了一个极为微小的变化，某个力做了一个微小的功 $dW$ 使系统的势能发生了一个微小的变化 $dE$ 然后由 $dW = dE$ 求出我们所需要的量，一般常用于求解一些力的大小。
【例五】如图所示，一个半径为 $R$ 的 $1/4$ 光滑球面固定在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其 $A$ 端受到一水平向左的拉力 $T$ , $B$ 端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为 $\lambda$ ，求 $T$ 的大小

对铁链应用虚功原理，假设铁链在 $A$ 点拉力的作用下水平向左发生微小位移 $dl$ ，则拉力所做的功等于将 $B$ 点对应质量 $dm = \lambda \cdot dl$ 抬升到了 $A$ 点，所以

当然，本题也可以使用微元法求解：

qiusir：“类似的题目也曾在高一的某次考试中出现。用几何分析的方法十分复杂繁琐，如果能巧妙的运用虚功原理，将大大节省做题时间”

【例六】如图，一长为 $L$ 的匀质细杆 $AB$ 由固定的两个水平细轴 $C$ 、 $D$ 支撑在竖直平面内， $CD$ 间距为 $d$ ， $d \leq L/2$ ，杆的 $A$ 端置于轴 $C$ 下, 杆与轴之间静摩擦系数为 $\mu$ , 杆与水平面夹角为 $\theta$ ，为使杆保持平衡， $L$ 比 $d$ 的值必须满足什么条件