双体坠落问题

七 10

双体坠落问题

研教|〖席明纳理〗肖遥 2025

JQX/进取芯席明纳第10期（2025.5.30）

双体坠落问题

JQX|Xiao
两个质量分别为

${{m}_{1}}$ 、

${{m}_{2}}$ 的两个星体，初始时静止，之间相距

$L$ ，它们仅在万有引力作用下相互吸引，它们将在多久后相遇？

方法一：用能量和积分推导
根据能量守恒： $\frac{1}{2}\mu {{\left( \frac{dr}{dt} \right)}^{2}}-\frac{G{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{r}=-\frac{G{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{R}$ ，分离变量求积分得： $\frac{dr}{dt}=-\sqrt{\frac{2G{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{\mu }\left( \frac{1}{r}-\frac{1}{R} \right)}$ ，积分求时间（从 $r=R$ 到 $r=0$ ）： $t=\int_{0}^{R}{\frac{dr}{\sqrt{\frac{2G{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{\mu }\left( \frac{1}{r}-\frac{1}{R} \right)}}}$ ，解这个积分得到： $t=\frac{\pi }{2\sqrt{2}}\cdot \sqrt{\frac{{{L}^{3}}}{G({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}}$
2025
方法二：双星问题椭圆轨道：两个星体相互接近的过程可看作是在双星问题中，两个星体以系统质心为共同得焦点沿着各自得椭圆轨道运动，周期公式为 $T=2\pi \sqrt{\frac{{{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}} \right)}^{3}}}{G({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}}$ ，当离心率趋近于1，既半长轴趋近于半焦距时，椭圆退化为直线，即为本体模型，相遇时间为半个周期，带入公式得 $t=\frac{\pi }{2\sqrt{2}}\cdot \sqrt{\frac{{{L}^{3}}}{G({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}}$ 。
2025
方法三：等效为单体问题：两个星体得相对位置坐标为 $\vec{r}(t)={{\vec{r}}_{1}}(t)-{{\vec{r}}_{2}}(t)$ ，以 $\vec{r}(t)$ 方向为正，对两个星体分别列牛顿第二定律： ${{m}_{1}}{{a}_{1}}=F(r),{{m}_{2}}{{a}_{2}}=-F(r)$ 。相对加速度为： $a={{a}_{1}}-{{a}_{2}}=\left( \frac{1}{{{m}_{1}}}+\frac{1}{{{m}_{2}}} \right)F(r)$ ，引入约化质量 $\mu =\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}$ ， $\mu \ddot{r}=-\frac{G{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{r}^{2}}}$ 。此时双体问题转为单体问题，可根据开普勒第三定律求周期，方法与上述方法相同。

方法四：引入等效质量。设想质心处有一个等效天体M，将 ${{m}_{2}}$ 对 ${{m}_{1}}$ 得引力等效为M对 ${{m}_{1}}$ 得引力。有： $\frac{G{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{r}^{2}}}=\frac{GM{{m}_{1}}}{r_{1}^{2}}$ ，其中 ${{r}_{1}}=r\cdot \frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}$ ， ${{r}_{1}}$ 为 ${{m}_{1}}$ 到质心距离，r为两颗星体之间的距离。则此时可以在不引入双星周期公式和约化质量得情况下求得 ${{m}_{1}}$ 到达质心作用时间，将这个问题带入第三种方法即可。 $T=2\pi \sqrt{\frac{{{\left( \frac{{{r}_{1}}}{2} \right)}^{3}}}{GM}}$ ，时间为半个周期，解得 $t=\frac{\pi }{2\sqrt{2}}\cdot \sqrt{\frac{{{L}^{3}}}{G({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}}$ 。
关于双星问题双椭圆轨道周期推导，可以将双星问题等效为质量为 $\mu =\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}$ 得质点，在质量为M得引力作用下沿椭圆轨道运动得过程，即可得到双星轨道公式 $T=2\pi \sqrt{\frac{{{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}} \right)}^{3}}}{G({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}}$ 。