破茧之美在于规矩—谈求师得教育实验室标识的由来和构造
作者:孙浚豪
从广义蝴蝶定理到黄金蝴蝶
一个精彩的科学发现，绝非来自教科书上的习题与标准答案，而是萌发于师生跳出课堂边界的自主探究。倘若让qiusir回望自己的教育成就，最值得铭记的，当属引领并和学生一同完成蝴蝶定理推广的这段经历，而求师得教育实验室logo的创意源头，也正根植于这一段令人激动的往事。
当年，身为东北育才学校高中物理教师的qiusir，带领学生借助几何画板开展动态数理实践。大家没有局限于复刻教科书上现有的定理与模型，而是从经典的蝴蝶定理出发，向着更广阔的几何世界延伸探索，践行着求师得“以己为师，自求自得”的核心理念。
这场探究跳出传统课堂的边界：教师褪去单纯知识讲授者的身份，成为探究路上的引导者与同行者；学生不再被动接纳现成结论，师生共同提出猜想、构造图形，借助动态软件验证假设，遇有难题便查阅资料、反复试错，自主推导出全新的几何规律，这正是“以己为师，自求自得”最鲜活的实践。
经典蝴蝶定理是欧氏平面几何里一则经典命题。描述为：在一个圆内，取一条弦的中点，过这个中点任意作另外两条弦，两条新弦各自的端点相连，交原来的弦于两个点，那么这个中点，也恰好是这两个交点连线的中点。图形舒展如同振翅的蝴蝶，也因此得名。而师生（原型启发始于冯伟同学当年对于蝴蝶四个翅膀的好奇···）不满足于这一既定结论，大胆变换条件，把单一圆拓展成为一组同心圆，用两条弦去截这组同心圆，再连接直线与各个圆的对应交点，经过大量动态绘图、测量试算、反复推演证明，得到属于我们的广义蝴蝶定理——在这套同心圆截线构型之下，对应线段满足倒数和相等的几何关系。
这份诞生于师生共同求索的几何成果，和后来的求师得黄金蝴蝶logo之间，存在深刻的精神意象联结，而非直接的图形复刻。广义蝴蝶定理研究的是同心圆、截线、交点构成的蝴蝶状几何构型，它留给我们的，是“蝴蝶”这一充满想象力的数理意象，以及大胆变换条件、从已知走向未知的探究方法。
求师得黄金蝴蝶logo，并没有直接照搬广义蝴蝶定理的几何构图，而是承接这份源自育才师生的探索精神：同样以“蝴蝶”作为符号载体，同样立足于严谨的比例几何。如果说广义蝴蝶定理是师生在定理层面完成一次数学发现，那么黄金蝴蝶logo，则把这份探究精神迁移到艺术设计之中。
它作为求师得教育实验室的标识，“求师得黄金蝴蝶图标”不仅是动态数理课程第一周的重要内容，更是求师得相关周边产品的核心ip。
一只完美的黄金蝴蝶，究竟藏在哪里？
在那些精确满足黄金分割比的节点里。从翅尖到翅基，每一个关键点的坐标都经过精密计算，0.618的密码被完美地编码在蝴蝶的骨架上。
然而，当我们将这些完美的节点连接成线，当骨架拥有了宽度，问题出现了。
一只蝴蝶不再是一条几何曲线，而是一个有体积、有轮廓的实体。原本精确落在黄金分割点上的节点，随着线条的延展，其视觉重心发生了偏移。那条本该精确通过黄金分割点的曲线，因为线宽的加入，让蝴蝶的“真实比例”在视觉上产生了偏差。节点是完美的，但蝴蝶“看起来”却不再完美。
新logo的灵魂，在于从“节点思维”到“轮廓思维”的跃迁。我们不再仅仅追问“点在哪里”，而是追问“当线条有宽度时，这条线的哪一部分应该通过黄金分割点？”是线的左缘？右缘？还是中轴线？当两条线相交时，它们的宽度如何处理，才能让交点的视觉重心仍然落在那个神圣的比例上？
愿这篇教程，能帮你画出那只真正“活过来”的黄金蝴蝶——不仅有“黄金”的骨架，更有“黄金”的血肉。
如果你熟悉旧版的作图流程，你会看到几乎相同的步骤、几乎相同的节点坐标、几乎相同的构图逻辑。那些从黄金分割中生长出来的比例关系，我们一条都没有改动。但我们改动了每一条线的”基准”。但正是这个微小的改动，让黄金蝴蝶第一次真正实现了”所见即所得”。
下面我们就进入新版图标的构造！
标准求师得黄金蝴蝶logo的构造
1、以原点为中心，构造半径为5的圆
2、标出圆与坐标轴交点，并过各交点作出圆的切线，作出圆的外接正方形
3、定义一个常数a，a为黄金分割比，a=(sqrt(5)-1)/2
4、按照黄金分割比（即常数q），运用【位似】（缩放）工具作出圆外接正方形各边上的黄金分割点，适当地隐藏不必要的对象
5、继续在线段JH,JI,JF,JG（按照参考图上的名称）四条线段上做黄金分割点，适当地隐藏不必要的对象并按照图示方法连接。
至此，我们完成了蝴蝶基本骨架的搭建，原版教程通过拓宽水平和竖直的线条，而后过交点作平行线得到两个翅膀的边缘。这一操作一方面导致了两个翅膀的线条与水平、竖直线条的粗细不同，另一方面，翅膀的中线偏离了基本骨架，造成视觉错位。
而新版教程正是要解决这两方面问题：使蝴蝶线条的中线落在基本骨架上，并使线条粗细保持一致。具体过程如下：
6、度量出正方形的边长（也可以直接在代数区找到），定义该长度为L，计算2*L*((sqrt(5)-1)/2^9，定义该值为b
7、以J为圆心，b为半径作圆，与两条弦交于四点，过四点分别作与两条弦平行的直线；以K为圆心，b为半径作圆，并作平行于KI,KF的四条切线，另一侧翅膀同理。（也可运用对称工具将做好的轮廓对称过去）
8、在圆周上找到L,M,N,O，隐藏辅助线并连接对应点，得到弧线型logo。
9、如图，找到交点L，并作平行线，得到交点M；找到交点N，并作平行线，得到交点O。隐藏辅助线并连接对应点，得到直角型logo。
从GeoGebra到3D模型的转换
当我们在GeoGebra中完成弧线型、直角型两套黄金蝴蝶轮廓之后，这个藏着黄金分割密码的图形，并不只停留在屏幕与纸张之上。求师得教育实验室将这套经过轮廓校正、比例严谨的图标，通过3D打印转化为胸针、钥匙链、书签等实实在在的数理文创产品，让抽象的几何关系可以被拿在手中、佩戴在身上，也让理论上推导出来的图形，真正成为可以进入日常生活的实体IP。
3D打印的第一步，并不是直接上机打印，而是将二维几何图形转化为满足加工条件的三维实体模型。求师得黄金蝴蝶图标的原始数据全部诞生于GeoGebra几何平台，因此在格式转换的全流程中，需要格外关注轮廓闭合性、原始几何比例保真度、实体结构可打印性三大要点，避免设计阶段埋下打印失败的隐患。
1.导出二维轮廓:
在GeoGebra中完整完成黄金蝴蝶的几何构造之后，需要提取图标主体，导出矢量图形。SVG是最理想的导出格式，该文件格式可以无损保存曲线、折线的几何边界信息，不会出现像素失真，能够完美对接后续各类三维建模软件。导出前务必隐藏全部辅助线、坐标网格、参考点、数值标注等教学类辅助元素，仅保留最终成型的蝴蝶闭合外轮廓，避免多余线条被一并导出，干扰后续建模。
将SVG文件导入三维建模软件后，首要工作就是校验轮廓质量。FDM分层堆叠打印要求模型必须是封闭实体，开放线段、线条重叠、顶点断点都会直接造成切片路径错乱，打印出来的物件会出现残缺、破洞。因此导入矢量之后需要做一轮完整的修复校验：合并重复冗余顶点，修补曲线断裂缺口，统一图形法线方向，剔除多余碎片线条，确认整套图形构成一条连续、无自相交的完整平面边界。只有轮廓完全干净闭合，后续拉伸实体才不会出现报错。
2.拉伸成实体:
针对胸针、钥匙链、书签这类薄片状文创产品，最简洁可靠的建模方式就是平面轮廓拉伸：以修复完毕的蝴蝶闭合轮廓为基底，沿垂直Z轴方向挤出厚度，直接生成薄板实体。该方式可以最大程度保留GeoGebra内原始的黄金分割比例，不会扭曲蝴蝶翅膀的几何形态。
拉伸厚度需要结合产品的使用场景、力学需求分开设定，不能统一套用同一数值：
胸针：整体厚度2~3 mm，兼顾佩戴轻便与平面展示效果，厚度过大佩戴会有明显负重感，厚度不足则容易发生弯折变形；
钥匙链：整体厚度设置5 mm左右。钥匙链日常会经历拉扯、磕碰，更大的实体厚度可以显著提升抗冲击、抗弯折性能，降低断裂风险；
书签：采用分区厚度设计。蝴蝶图标主体厚度设置3 mm，厚度充足方便手持拾取，露出书外可以起到醒目标识作用；向外延伸的书签长柄部分厚度降低至0.6 mm，足够轻薄，能够顺畅夹入书页缝隙，同时保留适度韧性。
注意：拉伸操作全程不改动蝴蝶XY平面上的轮廓形状，只在Z向增加实体厚度，严格守护原本计算得到的黄金分割几何关系。
3.增加功能结构
仅有蝴蝶本体的平面薄板还不具备实际使用能力，需要根据不同产品的用途，增加对应的装配结构。
钥匙链：模型阶段直接预制挂孔，不选择打印完成后手动钻孔。后期人工钻孔容易造成薄壁崩裂，建模预设挂孔可以保证每一件产品的孔位尺寸、形态完全统一。挂孔位置需要双重权衡：一方面避让蝴蝶翅膀的核心造型区域，不破坏图标整体美感；另一方面避开薄弱位置，防止钥匙反复晃动拉扯时，挂孔位置发生开裂。
胸针：背部设计专属背针卡槽结构，用来卡入金属别针，相比单纯胶水粘贴，卡槽固定的牢固度更高。厚度偏大的胸针版本，还可以在背部向内挖设浅凹槽，将背针大部分收纳进凹槽内部，避免背针过度向外凸起，佩戴时贴合衣物，手感更加平整。
4.增加修饰与细节优化:
在不破坏主体几何结构、不影响结构强度的前提下，我们为不同产品增加专属细节装饰，丰富文创的文化属性与实用价值。
钥匙链：在侧边非受力区域增加qiusir.com与qiutopia两组文字浮雕。文字采用浮雕方式嵌入模型，随3D分层打印一体成型，无需后期贴纸，保证文字耐磨不易脱落。
书签：书签长柄侧边增加长度刻度，赋予书签阅读测量的附加实用功能；在书签大面积空白区域，镌刻求师得教育实验室slogan：“以己为师”、“自求自得”。文字素材取自王羲之书法作品集字，保留传统书法的笔意韵味；文字采用镂空形式，清晰可读。
FDM打印机实物分层堆叠打印全过程
设备采用PLA耗材，喷嘴加热到220℃左右，打印底板加热5060℃。整 个成型过程就是不断重复“打印一层，抬升Z轴，再打印下一层”的循环。
(1)打印第1层（底层）:
喷嘴按照切片软件给出的首层路径，在加热底板上挤出熔融PLA耗材，完成第一层完整平面图形。这一层牢牢粘接在底板上，是后续所有层堆叠的基础。我们可以直接看到第一层完整的蝴蝶轮廓。
(2)逐层向上循环堆叠:
第一层打印完毕，打印机Z轴向上抬升一个“层高”的距离（例如0.2mm）。喷嘴在第一层已经冷却固化的耗材之上，挤出第二层的图形。第二层的轮廓、填充严格对齐第一层。熔融的新材料落在上一层固态材料表面，冷却后两层牢牢粘结在一起。设备持续重复这套动作：打印本层→抬升Z轴→打印下一层。
例如一件2mm厚度的胸针，层高0.2mm，一共会循环堆叠10层。最初只能看到薄薄的一片，随着层数不断增加，物件慢慢生长出实体厚度。每一层都复刻对应高度的截面形状，胸针、钥匙链的背部结构，会随着层数提升，逐步被堆叠出来。
(3)打印顶层闭合:
当堆叠到模型总高度，切片软件会连续打印多层实心顶面，把物件最上方完全封死，形成完整的顶面，也就是我们看到的蝴蝶正面。在钥匙链打印过程中，我们还增加了熨烫过程，使表面更加光滑，看不到顶层走线的线条。
(4)打印结束冷却:
全部层数堆叠完成，打印机喷嘴停止出料。物件留在底板上充分冷却，PLA材料完全固化，层和层之间的粘结强度增加；如果没有充分冷却就强行取下，层与层之间容易剥离散开。模型也比较柔软易变形。
(5)取下工件：
冷却完成之后，从底板剥离打印件，避免薄翅受力弯折，防止层间开裂。
打印参数的优化完善：
完成三维模型建模，并不代表就可以直接得到合格成品。在实际FDM分层堆叠打印测试的过程中，我遇到了翘曲、层间强度不足、书签根部易断裂等真实制造问题，通过反复调试切片参数、调整模型结构，逐步完成参数与方案的迭代完善。
模型翘曲问题：添加Brim裙边结构
PLA材料虽然翘曲风险相对较低，但胸针、书签这类大面积薄壁薄板件，打印时工件边缘冷却速度快，容易出现边角翘起。一旦边角翘离底板，后续一层层堆叠的路径就会发生偏移，蝴蝶翅膀轮廓变形，甚至直接打印失败。最初打印黄金蝴蝶书签、大尺寸胸针时，就出现过工件边角向上翘起脱离底板的现象。为解决该问题，我在切片设置中开启Brim（裙边）。Brim会在模型外围生成一圈加宽的底层边缘，扩大工件与打印底板的接触面积，把模型边缘牢牢束缚在底板之上，有效抑制薄壁件边角翘曲。Brim仅作用于首层，不改变蝴蝶本体模型，打印完成后可以轻松将裙边撕除，再简单修掉残留毛刺即可，不会破坏黄金蝴蝶原本的几何轮廓。
整体强度不足：调整层间走线策略，优化层间结合
早期测试成品存在整体强度偏弱，受力之后容易沿层与层之间的分界面发生剥离开裂，这是FDM分层堆叠工艺固有的短板。单纯调高整体填充率会增加耗材、加重产品重量，效果有限。因此我调整了切片中层与层之间的走线方式：优化轮廓壁路径，让相邻层的外壁走线错开排布，避免多层轮廓路径完全重合；调整填充网格的角度，使上下层填充网格互相交错，提升熔融耗材层与层之间的咬合面积，增强层间粘结力。针对钥匙链挂孔这类高频受力区域，不依靠填充来补强，而是配合建模阶段的局部实体加厚，走线优化与模型结构两者搭配，在不明显增重的前提下提升物件整体抗撕裂、抗弯折能力。
书签连接处断裂风险：坚持一体打印，规避切片分割走线带来的断裂隐患
书签由蝴蝶图标主体与细长书签柄两部分构成。建模时模型本身是一个完整实体，但早期切片测试中发现：书签蝴蝶本体与长柄衔接的过渡区域截面狭窄，切片软件会在此处自动生成两组相互靠近、但彼此独立分开的打印走线。模型在几何上是连为一体的，打印出来外观也看不出缝隙，但两层走线之间只有极少量熔融材料互相搭接，内部实际存在隐形的分离界面。在外力弯折、拨动书页受力时，极易沿着这条切片产生的虚接位置直接折断。
因此最终方案经过调整，严格采用完整模型一体打印。一方面在建模阶段对蝴蝶与书签柄的衔接位置做加宽处理，放大连接处的截面宽度，引导切片软件生成连续贯通的单组打印路径，消除切片自动分割走线的问题；另一方面配合前面优化后的层间交错走线，让应力能够在整个书签实体内部均匀传导，消除切片虚接带来的隐形薄弱区，保证书签强度。
经过多轮实物试打、参数调试，解决翘曲、层间结合、切片虚接断裂等工艺难题之后，切片参数、模型结构才算最终定型，才可以稳定输出胸针、钥匙链、书签这一批完美还原黄金分割设计的实体文创。
参考:[?]https://mp.weixin.qq.com/s/mXkIya2hWUQDaF_z435EtQ
摄影:张若鹏同学
