带电粒子（不计重力）从平行板电容器中间水平入射，电容器两板之间加方波电压（静态看，也可以暂时把电压考虑成电量，但电量的好处是调整板间距离电场力不变，加速度不变），且$v_0=\frac{L}{T}$，即带电粒子在电容器内穿行的时间为一个周期$T$...（另一类题目是初速度很大，即$\frac{L}{v_0}\sim 0$，看做类平抛...）

以正负电压相等为例，电压图像可以转化为加速度时间图像，由于运行时间为一个周期，速度变化量相同，或者说用竖直方向动量定理（或从加速度时间图像的面积不变来考虑），出射粒子竖直速度为零，即粒子都水平射出。

而对于粒子的运动轨迹，除了末速度水平以外，出射点位置关于$\frac{T}{2}$对称，且为线性。以粒子入射时刻$\frac{T}{2}\pm t$，$y=\frac{4aTt-aT^2}{4}$

有趣的是，前面的结论在更一般一点的情况下也有成立，如果把正向电压$U_1$转化为$a_1$，反向电压$U_2$转化为$a_2$，半周期还是对等，运行时间还是一个周期，那射出速度$v_y=(a_1-a_2)\frac{T}{2}$，$y=\frac{a_1T^2-3a_2T^2+4(a_1+a_2)Tt}{8}$

从初设轨迹上能很直观看到，射出粒子速度相同，入射时间关于$\frac{T}{2}$对称时，也如前面，运行轨迹不同但出射点位置相同。

对于正反电压相同的情况下，中间入射的粒子仍从中间射出，入射时间分别是$\frac{1}{4}T$和$\frac{3}{4}T$，而对于对于正电压是反电压2倍的情况下，中间入射的粒子仍从中间射出，入射时间分别是$\frac{5}{12}T$和$\frac{7}{12}T$。都是关于$\frac{1}{2}T$对称的。

真正促使我用整整一个晚自习来整理相关内容，还是那位喜欢打篮球且篮球打得很好的王同学问的一道看起来不难的问题，我一直怀疑是不是什么竞赛题目。主要的是对这个问题解决的过程中，复习了不少运动学知识，也遇到一些主动的问题。
题目的前提如前面：正反电压相同，从电容器中间入射，粒子在电容器内部运行的时间正好是一个周期，问板间距离是多少，能使入射的50%的粒子从电容器另一端射出。
要解决这个问题，先要思考如下几个小问题。
1、保证中间入射的粒子还是能从电容器另一端的中间射出，板间距离是多少。$\frac{1}{2}a{(\frac{T}{4}})^2*2*2$

2、中间入射的粒子能从电容器另一端射出，板间距离是否有最小值。
这个问题最先是溢成同学最先在课上提出，若云最先是直觉判断那两个三角形面积为1：2时，即向上和向下偏离入射方向相同的时候板间距离最下，单一同学给出很好的几何解释，崔刘同学也独立给出求解。现在看，可以通过一个二次函数与一个一次函数取大的交点来求解。（入射向上偏移的距离是和入射时刻的关系是二次函数，入射到出射整个过程的数值位移是和入射时刻的一次函数）

（分段取最大的问题）（间距极值问题，贴边入射和中点入射。一个是$\frac{T}{4}$，一个是$\frac{2-\sqrt{2}}{2}T$）
3、水平入射的粒子能够出射，板间距离最小值是多少。（并没有入射粒子在中间这个前提）（向上偏移和向下偏移的和的极小值。）

4、如果从时间分布上看，出射粒子偏离入射方向最近的50%，有一半对应的是$\frac{1}{8}T$到$\frac{3}{8}T$，而这样考虑，首先能想到的错误是，粒子在竖直方向偏离的最大位置是在射出前出现（竖直速度为零的位置也是竖直最大距离处），对应前面的二次件数与一次函数的表达，容易理解一点。
5、晚自习推荐给物竞的欣然同学，早上他一次性给出了很完备的解释，向同学最早有自己的正确的想法，引发了我更多的考虑，若云同学给出更多解释和正确和工整的计算，庆林同学也给出正确计算。当然这个问题的核心在竖直偏离的最大位置关于入射时间的关系是一个二次函数与一次函数的最大问题。

宋明屿同学一早算出：$t_1=\frac{2-\sqrt{3}}{2}T$（$t_2=t_1+\frac{1}{4}T$，另一部分是延后$\frac{1}{2}T$射入），板间最小距离$d=(2-\sqrt{3})\frac{U_0q}{md}T^2$。孙浚豪同学和逍遥老师班上的同学也给出相同的结果。
6、可以尝试更一般的计算，比如反向电压是正向电压的一半，不考虑入射点位置是否在中间，保证所有粒子都射出，板间距离是多少。（编写这个题目时就觉得不容易，也正是对这个模型熟知，对前面的问题定势了不少，忽视分段函数及最值等细节，造成求解麻烦。）
7、如果在更一般情况下，出射粒子占入射粒子20%...
8、（当初记录的就不条理，除了切入题目难之外，也是遗忘等因素。一年后再次做了这个题目也不是很容易，当然最主要的原因是对于代数计算的重视不够，想通过图像一蹴而就反而增加了认知难度。20220505）
在整理这道题的过程中，打完羽毛球的家麟同学来办公室推荐一道物理题，然后一起作图休息，他傍晚要模考两科，下班路上，王老师嚷着说那本练习册特别，其中也有这道题目，哈哈哈

附宋明屿同学的计算过程[?]：

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