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2021

在了解拉格朗日点之前,应该先对双星系统有所知晓。为了方便,把双星系统中大质量的称为恒星,质量M_1,比如太阳;小质量的称为行星,质量M_2,比如地球。
\frac{GM_1M_2}{R^2}=M_1\omega ^2 R_1\frac{GM_1M_2}{R^2}=M_2\omega ^2 R_2
\frac{R_1}{R_2}=\frac{M_2}{M_1}\omega^2=\frac{G(M_1+M_2)}{R^3}
双星以相同角速度围绕质心(到旋转中心距离与质量反比)旋转,角速度由质量和距离决定。

在双星系统中引入第三个天体,为同前面统一,这里称卫星,由于m< <M_2,对双星系统运动影响忽略,就如人造地球卫星对地球和月亮的运行的影响可以忽略一样。在双星系统的二体引力场中,数学家欧拉和拉格朗给一共推算出了5个特殊的位置,能让第三个物体与另两个天体的相对位置保持不变,即在双星系统的非惯性系中,卫星的加速度为零。 对于L_1,原本与恒星距离越近角速度越大,但由于有行星的引力抵消一部分,使卫星以行星的角速度运行成为可能。r为卫星与行星距离。 \frac{GM_1m}{(R-r)^2}-\frac{GM_2m}{r^2}=m\omega^2(\frac{M_1}{M_1+M_2}R-r) 化简得\frac{M_1}{(R-r)^2}=\frac{M_2}{r^2}+\frac{M_1}{R^2}-\frac{M_1+M_2}{R^3}r 对于L_2,同理,原本与恒星距离越远角速度越小,但由于有行星的引力参与增强了一部分,使卫星以行星的角速度运行成为可能。r为卫星与行星距离。 \frac{GM_1m}{(R+r)^2}+\frac{GM_2m}{r^2}=m\omega^2(\frac{M_1}{M_1+M_2}R+r) 化简得\frac{M_1}{(R+r)^2}+\frac{M_2}{r^2}=\frac{M_1}{R^2}+\frac{M_1+M_2}{R^3}r 卫星在双星系统的离心加速度(非惯性系的离心力所对应的加速度)a_c=\omega ^2(r-\frac{M_2}{M_1+M_2}R)a_c=\frac{G(M_1+M_2)r-M_2R}{R^3} 对于在双星连线上的拉格朗日点,可以利用相对加速度为零求解(图)。a=-\frac{GM_1}{r^2}sgn(r)+\frac{GM_2}{(R-r)^2}sgn(R-r)+a_c 对于拉格朗日点的讨论,更喜欢L_{4,5}的讨论,简洁、巧妙。 \frac{GM_1M_2}{R^2}=M_1a_1,得a_1=\frac{GM_2}{R^2},同理得a_2=\frac{GM_1}{R^2},得a_{14}=\frac{GM_1}{R^2},a_{24}=\frac{GM_2}{R^2},根据图中几何关系\frac{R_1}{R_2}=\frac{M_2}{M_1}a_4不仅指向双星的质心,由a=\omega^2r,且满足角速度相同。 如果仅从中学生做题的角度看,只需要掌握在拉格朗日点的卫星和双星具有相同角速度即可。

On this day..

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