the Lagrange points

五 17

the Lagrange points

教研|〖数理探究〗 qiusir 2021

（和MingsongHu一起重新构造了拉格朗日点s）
在了解拉格朗日点之前，应该先对双星系统有所知晓。为了方便，把双星系统中大质量的称为恒星，质量

$M_1$ ，比如太阳；小质量的称为行星，质量

$M_2$ ，比如地球。
由

$\frac{GM_1M_2}{R^2}=M_1\omega ^2 R_1$ ，

$\frac{GM_1M_2}{R^2}=M_2\omega ^2 R_2$ ，
得

$\frac{R_1}{R_2}=\frac{M_2}{M_1}$ ，

$\omega^2=\frac{G(M_1+M_2)}{R^3}$
双星以相同角速度围绕质心（到旋转中心距离与质量反比）旋转，角速度由质量和距离决定。

在双星系统中引入第三个天体，为同前面统一，这里称卫星，由于 $m< <M_2$ ，对双星系统运动影响忽略，就如人造地球卫星对地球和月亮的运行的影响可以忽略一样。在双星系统的二体引力场中，数学家欧拉和拉格朗给一共推算出了5个特殊的位置，能让第三个物体与另两个天体的相对位置保持不变，即在双星系统的非惯性系中，卫星的加速度为零。对于 $L_1$ ，原本与恒星距离越近角速度越大，但由于有行星的引力抵消一部分，使卫星以行星的角速度运行成为可能。 $r$ 为卫星与行星距离。 $\frac{GM_1m}{(R-r)^2}-\frac{GM_2m}{r^2}=m\omega^2(\frac{M_1}{M_1+M_2}R-r)$ 化简得 $\frac{M_1}{(R-r)^2}=\frac{M_2}{r^2}+\frac{M_1}{R^2}-\frac{M_1+M_2}{R^3}r$ 对于 $L_2$ ，同理，原本与恒星距离越远角速度越小，但由于有行星的引力参与增强了一部分，使卫星以行星的角速度运行成为可能。 $r$ 为卫星与行星距离。 $\frac{GM_1m}{(R+r)^2}+\frac{GM_2m}{r^2}=m\omega^2(\frac{M_1}{M_1+M_2}R+r)$ 化简得 $\frac{M_1}{(R+r)^2}+\frac{M_2}{r^2}=\frac{M_1}{R^2}+\frac{M_1+M_2}{R^3}r$ 卫星在双星系统的离心加速度（非惯性系的离心力所对应的加速度） $a_c=\omega ^2(r-\frac{M_2}{M_1+M_2}R)$ ， $a_c=\frac{G(M_1+M_2)r-M_2R}{R^3}$ 对于在双星连线上的拉格朗日点，可以利用相对加速度为零求解（图）。 $a=-\frac{GM_1}{r^2}sgn(r)+\frac{GM_2}{(R-r)^2}sgn(R-r)+a_c$
2021

对于拉格朗日点的讨论，更喜欢 $L_{4,5}$ 的讨论，简洁、巧妙。
$\frac{GM_1M_2}{R^2}=M_1a_1$ ，得 $a_1=\frac{GM_2}{R^2}$ ，同理得 $a_2=\frac{GM_1}{R^2}$ ，得 $a_{14}=\frac{GM_1}{R^2}$ , $a_{24}=\frac{GM_2}{R^2}$ ，根据图中几何关系 $\frac{R_1}{R_2}=\frac{M_2}{M_1}$ ， $a_4$ 不仅指向双星的质心，由 $a=\omega^2r$ ，且满足角速度相同。