高中电路的进阶定理及应用

七 21

高中电路的进阶定理及应用

研教|〖席明纳理〗金庆辰 2025

JQX/进取芯席明纳第12期（2025.7.9）

基尔霍夫定律、叠加定律、戴维南定理

JQX|Jin

一、基尔霍夫定律
可以理解为电路中 “节点电流” 和 “回路电压” 的两条规则
电流定律：电路中任何一个节点，流进去的电流总和等于流出来的电流总和。
电压定律：电路中任何一个闭合回路，电源提供的总电压等于回路中所有电阻 “消耗” 的电压之和（电流流过电阻，降电势）。
二、叠加定律
多个电源同时给电路供电时，某段电路的电流（或电压），等于每个电源单独供电时（其他电源短路）在这段电路产生的电流（或电压）加起来的结果（比如两个电池一起工作，效果等于先算第一个电池的电流，再算第二个的，最后相加）。
三、戴维南定理
一个复杂的含电源电路，对外接的用电器来说，可以简化成一个 “等效电池”：这个等效电池的电压等于电路两端不接用电器时的电压（开路电压），内阻等于把电路里所有电源断路（我们高中一般都是恒压电源，如果是恒流源，需要将电源短路）后，两端的等效电阻。
例题分析
例 1：求通过三个电阻的电流

法一：基尔霍夫定律
$I_1 + I_2 = I_3$
$2 - 4I_1 - 2I_2 = 0$
$-4 - 3I_2 - 2I_3 = 0$
解得 $I_1 = \frac{9}{13} \, \text{A}$ ， $I_2 = -\frac{4}{13} \, \text{A}$ ， $I_3 = -\frac{5}{13} \, \text{A}$
法二：叠加定律（以计算 $I_1$ 为例）
若将 $4 \, \text{V}$ 电源短路，有： $I_1' = \frac{5}{13} \, \text{A}$
若将 $2 \, \text{V}$ 电源短路，有： $I_1'' = \frac{4}{13} \, \text{A}$
则 $I_1 = I_1' + I_1'' = \frac{9}{13} \, \text{A}$ ，结果一致。

例 2：求通过电阻的电流

法一：基尔霍夫定律
$-3 - 1 \times I_1 - 2 \times I_2 + 2 = 0$
$-2 + 2 \times I_2 - 2 \times I_3 = 0$
$I_1 = I_2 + I_3$

解得 $I_1 = -1$ ， $I_2 = 0$ ， $I_3 = -1$
法二：叠加定律
略，将电源短路，但内阻保留。

例 3：分析电路三个电阻的连接关系

法一：电势点法
如黑板图，同一导线电势相等，则每个电阻都是在 1、2 电势之间，为并联关系。
法二：移动负载法（捏点）
把最上方的导线捏成一个点，中间的电阻自然相当于移动到两侧电阻中间与之并联，为并联关系。
法三：基尔霍夫定律
最下层： $\varepsilon - R_1 I_2 = 0$
1、2 回路： $-R_2 I_3 + R_1 I_2 = 0$
2、3 回路： $R_3 I_3 - R_3 I_4 = 0$
推导得 $R_1 I_2 = R_2 I_3 = R_4 I_3$ ，可知为并联关系。

例 4：不平衡电桥的计算

求流过 $R_5$ 的电流大小
法一：基尔霍夫定律
电流关系方程
$I_1 = I_2 + I_5$
$I_4 = I_3 + I_5$
电压关系方程
$I_1 R_1 + I_5 R_5 - I_3 R_3 = 0$
$I_2 R_2 - I_4 R_4 - I_5 R_5 = 0$
$I_1 R_1 + I_2 R_2 - E = 0$
解得流过 $R_5$ 的电流为 $0.5 \, \text{A}$
法二：戴维南定理
我们可以将 $R_5$ 两端断开，把其他所有部分想象成一个等效电源，这样，我们就能把电路简化为电源和 $R_5$ 的串联。
按照戴维南定理，我们将 $R_5$ 断开后， $R_5$ 两端的电压即为等效电源的电动势，计算可得 $E = 5 \, \text{V}$ 。再将电源短路（保留内阻），剩余的电阻（ $R_1$ 、 $R_2$ 串联与 $R_3$ 、 $R_4$ 串联后并联）即为等效电源的内阻， $r = 7 \, \Omega$ 。
这样，我们可以直接将 $R_5$ 串入这个等效电阻中，求得电流为 $0.5 \, \text{A}$ 。

拓展例题（2025年高考物理甘肃卷压轴题）
在自动化装配车间，常采用电磁驱动的机械臂系统，如图， $ab$ 、 $cd$ 为两条足够长的光滑平行金属导轨，间距为 $L$ ，电阻忽略不计。导轨置于磁感应强度大小为 $B$ ，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，导轨上有与之垂直并接触良好的金属机械臂 1 和 2，质量均为 $m$ ，电阻均为 $R$ 。导轨左侧接有电容为 $C$ 的电容器。初始时刻，机械臂 1 以初速度 $v_0$ 向右运动，机械臂 2 静止，运动过程中两机械臂不发生碰撞。系统达到稳定状态后，电流为零，两机械臂速度相同。

(1) 求初始时刻机械臂 1 的感应电动势大小和感应电流方向；
(2) 系统达到稳定状态前，若机械臂 1 和 2 中的电流分别为 $I_1$ 和 $I_2$ ，写出两机械臂各自所受安培力的大小；若电容器两端电压为 $U$ ，写出电容器电荷量的表达式；
(3) 稳系统达到稳定状态后两机械臂的速度。若要两机械臂不相撞，二者在初始时刻的间距至少为多少？
解析：
(1) $E = B L v_0$ ，感应电流方向沿机械臂 1 向上
(2) $F_1 = B I L$ 、 $F_2 = B I L$ ， $Q = C U$
(3) 达到稳定 $I_1 = I = 0$ 时，两机械臂的速度相同，产生的感应电动势与电容器的电压相等，回路中没有电流 $I_1 = I_2 = 0$
法一：
可将电容等效为质量为 $\dfrac{B^2 L^2 C}{2}$ 的单杆，三杆动量守恒，
可得两机械臂的速度为 $v = \dfrac{m v_0}{2m + B^2 L^2 C}$ ，方向向右。
法二：
从开始到最终稳定的过程中，对机械臂 1 和机械臂 2 分别根据动量定理有 $-B \overline{I} L \Delta t = m v - m v_0$ ， $B \overline{I} L \Delta t = m v$
即 $B L Q_1 = m v_0 - m v$ ， $B L Q_2 = m v$ ， $Q_3 = Q_1 + Q_2 = C B L v$
联立解得 $v = \dfrac{m v_0}{2m + B^2 L^2 C}$ 。
关键是最短距离的求法，最短距离需要知道相对位移。
根据基尔霍夫定律，任意时刻有 $U = B L v_1 - I_1 R = B L v_2 + I_2 R$
即 $B L (v_1 - v_2) = I_2 R + I_1 R$
有 $B L (v_1 - v_2) \Delta t = I_2 R \Delta t + I_1 R \Delta t$
其中 $(v_1 - v_2) \Delta t = x_1 - x_2 = d_{\text{min}}$ ， $I_1 \Delta t = Q_1$ , $I_2 \Delta t = Q_2$
即 $B L d_{\text{min}} = (Q_1 + Q_2) R$
联立解得稳定时的速度和两棒间初始距离的最小值为 $d_{\text{min}} = \dfrac{m v_0 R}{B^2 L^2}$