斜面是高中物理中经常用到的模型，这里尝试着整理一些基础的题目。希望静态能够有帮建立动态，也希望能扫清一些关键性结论的认知障碍。

水平地面上静止的斜面上，一物体沿斜面匀速下滑。对滑块受力分析（重力、弹力、摩擦力）。匀速运动，所以受力平衡。$\sum{F}=0$
$G_{x}=mgsin\alpha=F_{f}=\mu{F_{N}}$
$G_{y}=mgcos\alpha=F_{N}$，不难得出：$\mu=tan\alpha$（如果摩擦系数比这大或小呢）

对斜面的受力分析，关键是理解弹力和摩擦力的反作用力的合力大小为mg（旋转了180°）。当然也可以用整体法，系统质心匀速下降，仍属平衡态，地面支持力为(M+m)g。斜面并无水平方向运动趋势，自然不受地面的摩擦力了。
如果斜面的角度变化，图中给出重力的分解图示以及对斜面受力情况，配合着代数式理解。当然如果物体静止在斜面上，受其情况同上，只不过原来的滑动摩擦力变为静摩擦力。

如果摩擦系数$\mu>tan\alpha$且无初速度释放，受力情况同上。如果摩擦系数$\mu<tan\alpha$，滑块会加速下滑，而其所受的弹力和摩擦力的合力在数值上小于重力，而方向上也不在竖直方向了... 静止在水平地面的斜面受到的滑块的压力和摩擦力的合力有水平方向的分量，所以必然受相反方向的静摩擦力。当然也可以从整体的考虑应用牛顿第二定律，$f=M\cdot{0}+ma_{x}$，正是地面给斜面的水平摩擦力f提供系统的水平方向的加速度，而加速下滑的滑块使得系统质心有向下的加速度，处于失重状态，地面对斜面的支持力必然小于两个物体总重力。 对确定的接触面，摩擦系数为定值。而由$F_{f}=\mu{F_{N}}$，压力和摩擦力的夹角不变，当斜面的倾角也不变时，支持力和摩擦力的合力方向不随压力的变化而变化。 题如上图，如果滑块能独自够沿斜面匀速下滑，当对滑块施加斜向下的外力使其加速下滑时，斜面受到压力和摩擦力的反作用力合力仍然竖直向下，斜面没有水平运动趋势，一样不受地面的静摩擦力。 随着信息技术的发展，立体问题的探讨将是未来认知上的一个增长点。习惯了平面的媒介，也习惯了平面的思维，偶尔的空间问题，即便很简单也有认知的难度。 比如，水平外力F的作用下，斜面上的物体不会一如以前沿着斜面下滑，而是下滑力和外力的合力的反方向。如果滑块是匀速运动的话，会有如下方程： $F_{f}=\mu{F_{N}}$ $F_{f}=\sqrt{(mgsin\alpha)^2+F^2}$ 这是一道和前面相关的好题目，相关参数：静止在斜面上的滑块重力$G=6\sqrt{3}N$，摩擦系数$\mu=\frac{1}{3}$，$\alpha=\beta=30$°，求F的大小。 $F_{N}=Gcos\alpha=9N$，$f_{max}=\mu{F_{N}}=3N$，$Gsin\alpha=3\sqrt{3}N$... 这里的文字仅仅是提示用的，更多考虑可以参考图示。上一道题目答案$F\in[3,6]$。 GSP5文件下载：GSP-斜面放物图 (6829)

物体从光滑圆环底部上滑，从机械能守恒的角度可以达到圆环最高点，而实际上是在离顶点三分之一半径处分离。此处重力的法向分力刚好提供向心力，貌合神离...此后的运动为斜上抛运动，运行轨迹如下图。配合理解最高点最小速度为√gr

GSP5文件下载：GSP-平抛运动规律构图 (6808)

等时圆：滑快从两端搭在竖直放置的圆上的光滑轨道无初速度下滑，且轨道至少一端过竖直方向直径上的一个端点，则下滑的时间相同。因为和圆相关，这里姑且叫做等时圆问题。这个结论很有趣，证明起来也很简单。

设圆半径为R，轨道与竖直方向夹角为$\alpha$，则轨道长度为$2Rcos\alpha$，滑快下滑的加速度为$gcos\alpha$，下滑时间为t，所以有$2Rcos\alpha=\frac{1}{2}gcos\alpha t^{2}$，可以看到下滑时间与角度$\alpha$无关，都等于从竖直直径的自由落体的时间。

由上面的结论一样可以设计出很有趣的题目，比如最速轨道的选择问题。说从某点P为起点到倾角$\alpha$的斜面上搭起的光滑轨道中，滑快在哪一条轨道上下滑的最快呢？首先以点P为直径上的一个端点，在竖直方向绘制圆，利用上面的结论，在同一圆上的轨道下滑时间相等，那最短的无非是对应圆的半径最短的了，也就是和斜面相切的那圆对应的轨道。

上图中已经给出很精细的构造，利用几何关系能够知道，与竖直方向夹角为$\frac{1}{2}\alpha$的那条就是最速轨道了。

中学物理的习题中经常出现子弹打木块的模型，说光滑水平面上有静止的木块M，被速度为$V_{10}$、质量为m的子弹击穿后，子弹和木块的速度分别为$V_{1}$和$V_{1'}$...
这样的题目一般要分别以子弹和木块为研究对象，运用动能定理：
m:$-fS_{1}=\frac{1}{2}m{V_{1}}^2-\frac{1}{2}m{V_{0}}^2$，
M:$fS_{2}=\frac{1}{2}M{V_{1'}}^2-0$。
两式相加得到$-f(S_{1}-S_{2})=\frac{1}{2}M{V_{1'}}^2+\frac{1}{2}m{V_{1}}^2-\frac{1}{2}m{V_{0}}^2$，
$Q=fd=\Delta{E_{K}}$。以子弹和木块组成的系统为研究对象又有$mV_{0}=mV_{1}+MV_{1'}$。

若子弹的初速度变为更大的$V_{20}$射击同一木块，击穿后子弹和木块的速度分别为$V_{2}$和$V_{2'}$...设定子弹和木块的相互作用的力恒定。这里会有一系列的小问题：子弹速度增大后是否一定能击穿木块？若能够击穿，则击穿的时间如何变化？木块获得的速度或动能如何变化？子弹损失的动能如何变化？系统损失的动能如何变化？作用力的冲量如何变化？作用力对木块的功如何变化？子弹克服阻力的功如何变化...

这些问题的求解一方面可以通过上述的代数式，更简洁的方式是通过V-t图直接分析...因为木块的厚度为定值，所以图中两个梯形面积相等，所以系统的机械能损失为定值，接下来一系列的问题迎刃而解...这里还涉及到一个有趣的话题，如果把子弹击穿木块后自身能量的减少比作雁过拔毛的话，如何让大雁的毛被少拔一些呢？结果是提高子弹自身的速度。

简单的几条线勾勒出子弹打木块的动态图景，而面积相等的一个等量却形象的表述出相关的参数关系，这样的图示即便是黑板上的简单线条，也能勾起头脑里的具体和丰富的想象。