JQX/进取芯 小教研第三期（2025.4.10）

简谐运动，作为高中物理力与运动的典型模型，揭示着振动世界的底层规律。
·如果弹簧振子不再处于理想光滑环境，摩擦力的介入是否会动摇简谐运动的本质？
·如果将弹簧引入含容单杆，在电磁力的动态影响下，振动方程将如何重构？
·如果单杆连接电感，电能与机械能的交替变化，会诞生怎样的新型简谐系统？
让我们一起深入探索不同的简谐运动，共同解构振动世界的「非理想」真相。

一、受外力的弹簧分离问题，一定能分离吗？
分离问题作为牛顿第二定律的基本应用，已经分析的比较透彻。但原本静止在弹簧上的两个物块，受到向上的恒力，一定能分离吗？让我们来分析这样一种情况：
如图所示，一竖直轻弹簧静止在水平面上，重力均为$G$的$a$，$b$两物体叠放在轻弹簧上并处于静止状态，$a$、$b$可视为质点。问：至少需要多大的恒力$F$，竖直向上拉$b$，能使$b$与$a$分离？

答案：$F=\frac{2}{3}G$。

提示：根据分离问题的条件，分离时$a$、$b$两物体加速度相同，且物体间无压力。在有恒定外力$F$时，弹簧需达到压缩量为$\frac{F}{k}$的情况下，才可分离。

同时，根据简谐运动的对称性，受到恒力$F$可视为平衡位置上移$\frac{F}{k}$，由于初始状态为静止（即最低点），故此运动振幅为$\frac{F}{k}$。结合黑板中分析图，可知$\frac{2G}{k}=\frac{3F}{k}$，故$F=\frac{2}{3}G$。

肖老师提出，可以使用回复力的对称性，最高点的回复力应与最低点大小相同，算出合力。可见，恒力需要达到一定程度，才能将物块拉开，否则，物块将进行简谐运动不会分离。

二、水平弹簧振子，有摩擦，还是简谐运动吗？
如图所示，一轻质弹簧左端固定,右端系一小物块，物块与水平面的最大静摩擦力和滑动摩擦力都为$f$，弹簧无形变时，物块位于$O$点.每次都把物块拉到右侧不同位置由静止释放，释放时弹力$F$大于$f$，物体沿水平面滑动一段路程直到停止。为使物块能返回到$O$点右侧，则$F$至少为几倍的$f$？
答案：$F = 4f$。

提示：物块向左运动时，受到向右的摩擦$f$（可视为恒力），整个向左运动的过程中，可视为平衡位置为$O$点右侧$\frac{f}{k}$的简谐运动。同理，物块返回向右运动时，受到向左的摩擦$f$（可视为恒力），可视为平衡位置为$O$点左侧$\frac{f}{k}$的简谐运动。虽然整个过程不是简谐运动，但可以看做两个半程简谐的叠加。草图请见板书，根据对称性，可算得$F$为$4f$。

*这种阻力恒定的阻尼运动，可以视为每半程产生一次平衡位置的转移，导致振幅越来越小，直至恰好运动到或运动不到下次平衡位置转移的位置后，停止。

三、弹簧振子带动另一个物体运动，还是简谐运动吗？
如图所示（见黑板第二部分），质量分别为$m$、$M$的两个物块使用软杆连接，跨过定滑轮，$M$使用弹簧连接在地面上，从弹簧原长释放，试分析有$m$的存在，是否还是简谐运动，如果是，平衡位置、振幅、周期发生改变了吗？

答案：是简谐运动。不改变平衡位置、振幅。周期变小。

提示：可以使用整体法分析，$m$的存在单纯增加了质量，但未提供其他外力，外力依然为正弦变化，运动依然为简谐运动。平衡位置依然为弹力与$M$重力平衡的位置，振幅仍为原长到平衡位置。但由于$m$的存在，周期$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$,质量变大，周期变小。也可以使用单体法分析$M$，多受到一个杆的力，但杆力也为正弦力（相当于减小了$k$，而平衡位置未变）。

四、含容单杆增加弹簧，还是简谐运动吗？
如图所示，两条平行光滑足够长的无电阻导轨所在平面与水平地面的夹角为$\theta$，间距为$L$。导轨上端接着没有充电的一平行板电容器，电容为$C$。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为$B$，方向垂直于导轨平面。在垂直于导轨无初速释放一质量为$m$、电阻不计的金属棒，若不计导轨电阻。金属棒与轻弹簧相连接，劲度系数为$k$，弹簧给金属棒的拉力垂直棒，静止释放时弹簧处于原长，则金属棒做什么运动？向下运动的最大位移是多少？

答案：做简谐运动。最大位移为$\frac{2mg\sin\theta}{k}$

提示：设下滑位移$x$时，速度为$v$，则$q = CU = CBLv$，
由牛二，$mg\sin\theta - kx - BIL = ma$，$I=\frac{\Delta q}{\Delta t}=CBLa$，解得$mg\sin\theta - kx - B^2L^2Ca = ma$
金属棒所受的合力$F=mg\sin\theta - kx-(m + B^2L^2C)a$
令$x_0=\frac{mg\sin\theta}{k}$，有$F=-k(x - x_0)$
故金属棒做平衡位置为$x_0=\frac{mg\sin\theta}{k}$，振幅为$A=\frac{mg\sin\theta}{k}$的简谐运动，向下运动的最大位移为$2A$，即$\frac{2mg\sin\theta}{k}$

*电容的存在，竟然并没有改变单独弹簧振子的平衡位置和振幅！
请进一步思考：
1）从物理意义上解释，平衡位置为什么是$mg\sin\theta$ ？
平衡位置应为$a = 0$，此处$I = CBL a$ ，$a = 0$ 没有电流故没有安培力，所以即为重力与弹簧弹力的平衡点。
2）最大速度能求吗？
可以考虑如下方法：①用简谐运动能量关系：$\frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{2}mv^2$
②用简谐运动最大速度公式：$v_{max}=\omega A$……
3）继续考虑后半程，也是简谐吗？
后半程电容器放电，电流方向变化，所以安培力方向也发生改变，安培力大小依然与加速度成正比，方向与加速度反向，这相当于让加速度等比例减小（像等效质量一样，情景类似上上一道题，m换成等效质量的电容器……）（等效质量$B^2L^2C$在其他情境下亦有应用）， 只改变了$k$（也就是改变了周期和最大速度）。
4）有更方便的方法来计算最大位移吗？
末态$v = 0$，电容器没有电，利用能量守恒，可一步求解。
*肖老师提出，如果已知等效质量，那么可以直接整体分析……
*qiusir提出，电惯性、回复势能……

五、含电感的单杆问题，也是简谐运动？
如图所示，在磁感应强度为$B$且方向垂直向里的匀强磁场中，设有两条相距为$l$的固定光滑平行导轨，其与电感为$L$的线圈以及质量为$m$的横导杆构成回路。现给横导杆一个初速度$v_{0}$。若忽略所有元件的电阻以及电磁辐射的影响，试证明该横导杆的运动属于简谐运动。插

证明如下：根据法拉第电磁感应定律，感应电动势$\mathcal{E}=-L\frac{\Delta I}{\Delta t}$。
结合电磁感应现象 导体棒切割磁感线产生的感应电动势$\mathcal{E}=Blv$ ，同时电感的感生电动势$\mathcal{E}=-L\frac{\Delta I}{\Delta t}$ ，由于电路中没有电阻，有： $Blv=-L\frac{\Delta I}{\Delta t}$
两边同时乘以$\Delta t$ 并求和： $\sum Blv\Delta t=\sum - L\frac{\Delta I}{\Delta t}\Delta t$ ，得到： $Blx=-LI$
代入安培力公式   $F = B\left(-\frac{Bl}{L}x\right)l=-\frac{B^{2}l^{2}}{L}x$ 此式符合简谐运动回复力$F = - kx$ 的形式，从而可说明含容单杆的运动为简谐运动。

上述几类简谐运动不过是管中窥豹，自然界中满足回复力特征的运动远不止于此，还有无数未知的运动形式等待我们以更广阔的视角去探索发现！

【下期预告】
“Any fool can know, The point is to understand.”作为教师，知识的传授不单是传递和辅助理解，还有一个内化的过程。下次活动，qiusir将在新疆部高三的班级就“周期”的话题展开，除了相关知识的关联、拓展和内化，还有就如何和新同学进行有效交流的尝试等···

JQX/进取芯 小教研第二期（2025.4.7）

从感生电动势到参考系的变换---电磁感应的另一种打开方式

JQX|Xiao
一、源起：一个关于涡流的疑问
在一次的公开课上，我提到一个与涡流相关的现象。题目中描述了金属铝片掠过凹槽装置的过程，铝片的运动速度逐渐减慢。讲课过程中对此的解释是：这是一种涡流现象，即在金属铝片中感应出了电流，铝片受到安培力作用，形成了一个阻尼力。
这本是教材中常规的解释路径——磁场静止，导体运动，从而形成闭合回路产生感生电动势。但在与邱sir和金老师的讨论中，发现在这个过程中，存在一个容易被忽视的概念性矛盾：
既然是金属铝片在运动，磁场不动，为什么不把这种情况归类为“动生电动势”呢？

教材的划分标准通常是：
导体相对于磁场运动、切割磁感线，属于动生电动势
闭合回路中磁通量随时间变化，属于感生电动势

磁场是静止的，导体在动，这不正是动生的定义吗？可为什么又以“感生”来处理？教材似乎默认了一个参考系（磁场所处的参考系），而忽略了不同参考系下对“感生”与“动生”的理解可能并不一致。
这让我们意识到：或许“感生”与“动生”的划分，并不是物理本质上的区分，而是参考系选择的结果。

二、初探：不同参考系下的电场与磁场
为了进一步理解涡流现象和感生与动生电动势的关系，我们先看一道沈阳市一模物理选择压轴题。
武汉智能电梯公司研制出世界第一台“磁悬浮电梯”，如图为该磁动力电梯的简易装置图，即在竖直平面内有两根平行竖直金属轨道MN和PQ，两轨道的下端用导线相连；金属轨道间有一导体杆ab与轨道垂直，其正下方通过绝缘装置固定电梯轿厢，设运动过程中ab始终与轨道垂直且接触良好。该磁动力电梯上行的原理是：电磁铁所产生的垂直轨道平面、磁感应强度为B的匀强磁场沿金属导轨运动，带动ab杆向上运动，即电磁驱动。设电梯轿厢及ab杆的总质量为M（后续简称电梯），两轨道间的距离为L，ab杆电阻为R，其余部分电阻不计。不计ab杆与轨道间的阻力和空气阻力，重力加速度为g。若电磁铁产生的匀强磁场以的速度匀速上升，电梯上升的最大速率为$v_m$，则下列说法正确的是（）
A．电梯刚向上启动时，ab杆中感应电流方向为b→a
B．电梯刚向上启动时，ab杆加速度
C．电梯以最大速率向上运行，ab杆产生的电功率
D．电梯以最大速率向上运行，外界在单位时间内提供的总能量

关于这道题目，我们还可以思考下面几个问题：
(a)ab杆中的电子受到的洛伦兹力的方向？
(b)ab杆中增加了重力势能和电能，那么洛伦兹力是否做正功了呢？
(c)导体棒开始的时候静止，那是什么力使导体棒中的电子运动的呢？
如果以磁场为参考系来观察，金属杆相对磁场向下移动。根据右手定则感应电流方向由b→a，导体棒受到安培力方向向上，由左手定则，导体棒中电子受到沿杆方向的 洛伦兹力方向向右。洛伦兹力可以看成两个分力，一个充当安培力做负功，一个充当非静电力做正功，洛伦兹力总功为零，这种情况下，不会出现矛盾。
然而，如果我们将参考系转换为地面参考系，问题就开始变得复杂了。由于金属杆向上运动，安培力向上，由左手定则，电流方向应该是由b→a。
但与此同时，如果我们试图使用电子所受洛伦兹力来分析，会发现负电荷所受的洛伦兹力方向是向左的，因此，感应电流应当是由a→b的。这时，两个不同的参考系下得到的电流方向显然不一致，带来了严重的物理矛盾。
电流方向作为客观现象，不应该随着参考系的不同而发生变化。那么，如何解释这个矛盾呢？
在进一步分析电流方向的问题之前，我们需要从电磁场的统一性出发，尝试找出解答这一矛盾的线索。众所周知，电场和磁场并非是完全独立的场，它们是同一种电磁场在不同参考系下的不同表现。通过对这两者的统一理解，我们可以有效消除由于参考系不同而产生的表面矛盾。

三、求索：非相对论角度的电磁场转化关系
为解决以上问题，我们需要从电磁场的统一性出发，分析电磁场在不同参考系下的不同表现。电场和磁场本质上是相互联系的，磁场和电场的变化，并不是完全独立的，它们通过洛伦兹变换在不同参考系下发生转化。
在不引入相对论形式体系的前提下，我们可以从基本的物理一致性出发，探讨电场和磁场在不同参考系下的转化关系。
首先，设想一个带电粒子在磁场中运动。由于洛伦兹力与粒子的速度相关，不同参考系中粒子的速度不同，因此磁场力的大小和方向也会不同。为了保证在不同惯性参考系中，粒子受到的合力保持一致，我们自然需要引入一个电场力项来补偿洛伦兹力的变化。这种思路反过来启发我们：不同参考系中观察到的电场，可能正是为了修正磁场力变化而“出现”的。
进一步地，我们思考电场如何转化为磁场。由于电场力与速度无关，难以用“力的补偿”来建立类比。但我们可以从电场的源头——静止电荷出发，考虑其在运动参考系中的表现。
假设空间中存在一条线密度为的线性排列的静止点电荷，产生沿径向分布的静电场。根据高斯定律，距线电荷垂直距离为r处的场强为：$E_0 = \frac{\lambda}{2 \pi r \epsilon_0}$

当我们切换到一个以速度$v_0$沿导线方向运动的惯性参考系时，原本静止的点电荷对该观察者而言构成了一个线电流，等效地形成电流强度:$I = v_0 \lambda$

此时，根据安培环路定理，观察者在同样位置r处可以测得一个磁感应强度$B'$：$B' = \frac{\mu_0 v_0 \lambda}{2 \pi r}$
由$\mu_0 \epsilon_0 = \frac{1}{c^2}$，可以得到：$B' = \frac{v_0}{c^2} E_0$
这种等效电流所形成的磁场，本质上是“电场源”在相对运动下对观测者的“电磁表现”的改变。这一过程提示我们，电场的相对运动在某些条件下会表现为磁场，从而建立起了非相对论背景下的一种电磁场转化直觉。

四、明辨：相对论视角下的电磁场转换
尽管前面我们已经在低速近似的非相对论框架下进行了分析，但这些讨论依然无法完全解释某些电磁现象，尤其是在高速度或强磁场的情况下。为了进一步探讨电场和磁场在不同参考系下的转化关系，我们需要引入相对论视角。相对论不仅修正了空间和时间的关系，还使得电磁场的转换更加复杂，因此，在这种情况下，电场与磁场之间的转换规律会展现出更深层次的结构。
下面从相对论的角度分析电磁场的转换，首先在空间中设想一个最简单的电场：一个大的平行板电容器两板间的均匀电场。电容器在参考系中静止，电荷面密度为，由高斯定理可判断：$E_y = \frac{\sigma_0}{\varepsilon_0}$

参考系S以速度相对电容器像右运动，我们已经知道在参考系S中可以同时观察到电场和磁场。考虑相对论尺缩效应，面电荷密度变为：$\sigma =\gamma \sigma_0$。可求出S中场强为：$E_y = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$

由安培环路定理可判断：$B_z = -\mu_0 \sigma v_0$

我们设第三个参考系以速度相对运动，对于这个参考系中的电荷面密度为$\sigma' =\gamma '\sigma_0$。则对第三个参考系有：$E_y' = \frac{\sigma'}{\varepsilon_0}$ $B_z' = -\mu_0 \sigma 'v_0$
根据洛伦兹速度变换：$v' = \frac{v + v_0}{1 + \frac{v v_0}{c^2}}$

我们要做的是已知S系中的电场和磁场，如何求出系中的电场和磁场。也就是用E和B来表示$E'$和$B'$。$E'_y = \frac{\gamma}{\gamma_0} \frac{\sigma}{\epsilon_0}, \quad B'_z = -\frac{\gamma}{\gamma_0} \mu_0 \sigma v$
利用$\mu_0 \epsilon_0 = \frac{1}{c^2}$，通过数学运算可得到：$E'_y = \gamma \left( E_y - v B_z \right)$ $B'_z = \gamma \left( B_z - \frac{v}{c^2} E_y \right)$

如果将水平放置的磁场改为竖直放置，可推导出：
$E'_z = \gamma \left( E_z + v B_y \right)$ $B'_y = \gamma \left( B_y + \frac{v}{c^2} E_z \right)$
而平行于运动方向E与B的分量不变：$E'_x = E_x$ $B'_x = B_x$
用叉乘的方法可以使公式更为简洁：$\mathbf{E}' = \gamma \left( \mathbf{E} - \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right)$ ${B}' = \gamma \left( \mathbf{B} + \frac{\mathbf{v}}{c^2} \times \mathbf{E} \right)$
我们可以看到，当我们变换参考系后，新参考系的磁场与原来参考系的电场有关。新参考系的电场与原参考系的磁场有关。因此，电场和磁场是不同参考系的两个投影，就像一个苹果，不同角度的人会看到不同的样子。

五、回眸：低速近似下的解答
在低速近似的非相对论框架下，我们来分析最初的高考问题：
(a)电流方向与洛伦兹力方向是否矛盾？
在地面参考系下，运动的磁场产生方向向左的电场：$\mathbf{E}' = -\mathbf{v}_0 \times \mathbf{B}$
导体棒中电子受到的合力为：$F = E'e - evB' = e(v_0 - v_m) B$
方向向右，这与磁场参考系下的结论一致。尽管电子受到向左的洛伦兹力，地面参考系中的电场力补偿了这一点，保持合力方向不变。
(b)洛伦兹力是否做功？
由于洛伦兹力始终垂直于电子的运动方向，它不做功。在磁场静止参考系中，垂直于杆方向的洛伦兹力做负功，沿杆方向的洛伦兹力做正功，总功为零。以地面参考系为例，充当安培力的洛伦兹力做正功，而沿杆方向的洛伦兹力和电场力共同提供非静电力，其中洛伦兹力做负功。总的来说，洛伦兹力做的功为零。
(c)导体棒开始时静止，是什么力使电子运动？
运动的磁场产生电场，电场力驱使导体棒中的电子运动。

六、结语：洞察、探索、卓越···
这一篇文章的思考起源于邱sir提出的一个问题——关于涡流现象中感生电动势与动生电动势的区别。正是这个疑问，激发了我和“jqx”团队的其他两位老师深入探讨电磁学中涡流、参考系转化等一系列问题。在这个过程中，我们三个老师的集体智慧与讨论让我对电磁场的理解更为深入，也让我在解答这一问题的过程中不断成长。
从最初的困惑，到逐渐明晰的解答，再到最终引入相对论的角度，这个过程充满了挑战与收获。

J - Judgment | Q - Quest | X - Xcellence

“jqx”这个小团体，通过洞察（Judgment ）发现问题的本质，依靠探索（Quest）勇敢追求未知，不断追求卓越（Xcellence），力求在每一领域做到最好。这三者相辅相成，推动着我们不断前进和超越！

【下期预告】简谐运动：当理想模型遇上阻力……
简谐运动，作为高中物理力与运动的典型模型，揭示着振动世界的底层规律。但当这个理想模型加上真实世界的约束，会发生怎样的物理剧变？
如果弹簧振子不再处于理想光滑环境，摩擦力的介入是否会动摇简谐运动的本质？
如果将弹簧引入含容单杆，在电磁阻力的动态影响下，振动方程将如何重构？
如果单杆连接电感，电能与机械能的交替变化，会诞生怎样的新型简谐系统？
下一期，让我们一起深入探索不同的简谐运动，共同解构振动世界的「非理想」真相！

JQX/进取芯 小教研第一期（2025.3.27）

一、源起
2023年夏天，J的学生在讨论一道题目时提出一个相对动能的概念。题目如下：
如图所示，一水平方向足够长的传送带以恒定的速度$v_{1}$沿顺时针方向转动，传送带右端有一个与传送带等高的光滑水平面，一质量为$m$的物体以恒定的速率$v_{2}$沿直线向左滑上传送带后，经过一段时间又返回光滑水平面。则在整个运动过程中，传送带与物体摩擦生热为？

正常通过v-t图像进行计算，也能很快求出相对路程，进而计算生热：
当$v_1 = v_2$时：$Q = f \Delta d = 2mv_1^{2}$
当$v_1 < v_2$时：$Q = f \Delta d = \frac{1}{2}m(v_1 + v_2)^{2}$
当$v_1 > v_2$时：$Q = 2mv_1v_2$
这三个结论都存在一个非常有趣的共性：
如果定义小物块相对传送带的动能为：$E_k = \frac{1}{2}m(v_r)^2$（$v_r$为小物块相对传送带运动速度），那么$Q = \frac{1}{2}m(v_1 + v_2)^{2} - \frac{1}{2}m(v_1 - v_2)^{2}$
想对本结论进行拓展，却发现只适用于水平传送带，斜传送带并不满足。那么，这是一个巧合，还是存在内在逻辑？让我们慢慢道来。

二、碰撞系数与非弹性碰撞消耗机械能
1. 碰撞系数
牛顿从实验中总结出一条规律：碰撞后两球的分离速度$(v_2 - v_1)$与碰撞前两球的接近速度$(v_{10} - v_{20})$成正比，即$e = \frac{v_{2} - v_{1}}{v_{10} - v_{20}}$。对于弹性碰撞e = 1
这里有一个有意思的结论：弹性碰撞前后，两物体速度差的绝对值相等。倘若我们将碰撞时间延长，或者等效为两个小球中间连接一个理想弹簧来放大碰撞过程，便可以得到黑板右侧的图像（王聪方法）。基于过程的对称性，也同样能够证明$e = 1$。

另外，非弹性碰撞$0 \leq e < 1$。当完全非弹性碰撞时，$e = 0$。

2. 非弹性碰撞损失的机械能
碰撞前后总动量守恒：$m_1 v_{10} + m_2 v_{20} = m_1 v_1 + m_2 v_2$
恢复系数：$e = \frac{v_2 - v_1}{v_{10} - v_{20}}$
联立后，可算得机械能损耗量：$\Delta E_k = \frac{1}{2} \cdot \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2} \cdot (v_{10} - v_{20})^2 \cdot (1 - e^2)$

从公式可知，恢复系数$e$越小，初始相对速度越大，能量损失就越显著。如何理解这个公式？

3. 约化质量
在两个物体的力学模型中，我们可以将两个相互作用的物体的运动问题转化为一个物体相对于另一个物体的相对运动问题，从而简化计算，计算时等效的质量就是约化质量。
约化质量通常用$\mu$表示，其计算公式为：$\mu = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}$
形式类似电阻并联形式。

碰撞过程机械能损耗量的公式中，存在这个约化质量及相对速度，可视为在相对运动视角下，$\Delta E_k = \frac{1}{2} \mu v_{\text{r}}^2 (1 - e^2)$其中$e$则取决于碰撞物体的材料等。

三、柯尼希定理
柯尼希定理是质点系运动学、物理学中的一个基本定理，其文字表述是：质点系的总动能等于质心的动能，加上各质点相对于质心平动坐标系运动所具有的动能。

1.具体推导过程如下：
考虑质量分别为$m_1$和$m_2$的两个物体，其初始速度分别为$v_{10}$和$v_{20}$。
系统的质心速度为：$V_c = \frac{m_1 v_{10} + m_2 v_{20}}{m_1 + m_2}$
系统总动能为两物体动能之和：$E_{k\text{all}} = \frac{1}{2} m_1 v_{10}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{20}^2$
每个物体相对质心的速度为：$v_1' = v_{10} - V_c, \quad v_2' = v_{20} - V_c$
将原速度表达为质心速度与相对速度之和：$v_{10} = V_c + v_1', \quad v_{20} = V_c + v_2'$

带入动能并展开平方项，并将总动能拆分为三部分：$E_{k\text{all}} = \frac{1}{2}MV_c^2 + \frac{1}{2}m_1v_1'^2 + \frac{1}{2}m_2v_2'^2 + V_c \cdot (m_1v_1' + m_2v_2')$

在质心参考系中，系统总动量为零，第三部分为0.
总动能简化为：$E_{k\text{all}} = \frac{1}{2}MV_c^2 + \frac{1}{2}m_1v_1'^2 + \frac{1}{2}m_2v_2'^2$
柯尼希定理表明，系统的总动能等于质心动能与各质点相对质心动能之和。这一分解在分析碰撞、刚体运动等问题时非常有用。

2. 资用能

将弹性碰撞碰撞末速度公式带入柯尼希定理，相对速度一项可以化简为：$E_{k\text{r}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2} \cdot (v_{10} - v_{20})^2$

可见柯尼希定理中第二项相对质心动能，为碰撞中可消耗机械能的最大值。碰撞过程中，整个系统不受外力，只有内力作用的时候，质心的动能是不变的，只有第二项可以转化，这个能量叫资用能，表示可以用来消耗的能量。如果不消耗，则为弹性碰撞，有消耗则为非弹性碰撞，同理全部消耗则为完全非弹性碰撞。

三、对传送带生热“相对动能法”的解释
如果把传送带中间过程忽略，等效为两球碰撞模型，那么，传送带速度不变，应等效为多大质量的小球？
如果质量无限大，在被碰撞后，速度不会改变。
那么系统约化质量为$\mu = m$，初始资用能为$E_0 = \frac{1}{2} \cdot m (v_{1} + v_{2})^2$

初始总动能等于质心动能与资用能$E_0$之和。
根据力学原理，由于$v_2$取值不同，系统末速度也有所差异：
当$v_1 \leq v_2$时，末态资用能$E_1 = 0$。
当$v_1 > v_2$时，末态资用能$E_1 = \frac{1}{2}m(v_1 - v_2)^2$。
因此，末态总动能等于质心动能与资用能$E_1$之和。又因系统仅有内力作用，无外力介入，故质心动能在过程中保持不变。
那么，摩擦生热即为碰撞前后总动能的差值，资用能的差值，即体现为“相对动能”的差值。

思考：为什么斜传送带不能使用“相对动能法”呢？

斜传送带竖直方向有重力做冲量，故不满足动量守恒这一“相对动能法”的基本条件，所以不能使用了。

除了传送带外，还有哪些情况，可以使用柯尼希定理中的“资用能”呢？

动量守恒中的模型：如板块模型、子弹打木块、圆弧小车、冲击摆、弹簧小球等，可以秒出摩擦生热或转化的势能。

对撞机：对撞动量相反，质心动能为0，全部能量均为资用能；两个相对速度越大，资用能越大。

JQX|Jin
后记：在日常教学中，我时常教育学生："课堂上能听懂，只能说明老师逻辑清晰、表达准确，不代表学生领悟了知识本质，只有课后独立演算，才能真正理解因果关系，完成知识内化。"在整理这篇文章的过程中，我有了更深刻的体会。JQX首次研讨，qiusir的讲授逻辑严密，复杂过程总能抽丝剥茧简洁表述，令我茅塞顿开。但几天后在文章中复现时，才察觉那些思维过程不经由亲笔演算，很难参透这连串的逻辑链条。

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下期预告
从动生电动势到参考系的变换——-电磁感应的另一种打开方式

一个线圈匀速进入匀强磁场的过程中，以磁场为参考系，是线圈在运动，切割磁感线，产生动生电动势；
而以线圈为参考系，是磁场在变化，于是产生感生电动势。
到底是动生还是感生？
为什么不同的参考系会给出不同的解释？
空间中的电场和磁场，真的可以相互转化吗？
下次教研，我们将围绕这个经典模型展开讨论，从两个高考题出发，一起梳理动生与感生的本质联系，走进参考系变换视角下的电磁感应。

首先，感谢邱sir这次和我提议将这堂课整理一下并放到网站上。其实我心里还是有些惶恐，毕竟感觉自己这样普通的一堂课，放到网站上可能无法给大家提供太多借鉴意义，不过就当作是为自己做个记录吧。

这堂课最开始设计的是磁铁和小铁块在铝管中的对比实验，首先让小铁快在铝管中落下，然后让以为同学在铜管中吹一口仙气，发现铁块可以在铜管中缓慢的落下。其实是我偷偷的把铁块换成了磁铁，那么为什么磁铁的下降速度就会变慢呢，带着这个问题，进入了本节课的学习。

一、感生电场与感生电动势
1820年，奥斯特发现了电流的磁效应；1831年，法拉第发现了电磁感应。同一年，麦克斯韦出生。麦克斯韦被誉为是牛顿与爱因斯坦时代之间最伟大的物理学家。1862年到1863年，麦克斯韦提出了麦克斯韦方程组，它被认为是物理学中最优美的方程组。1879年，麦克斯韦离世，伟大的经典物理也随之落幕，但同一年，爱因斯坦出生，标志着现代物理革命的开始。
麦克斯韦的四个方程组分别描述了电和磁的高斯定律、法拉第电磁感应定律（即变化的磁场产生电场）、以及麦克斯韦-安培定则（即变化的电场产生磁场）。
麦克斯韦认为，变化的磁场所产生的电场与我们之前学习过的静电场不同。变化的磁场产生的电场像水中的漩涡一样，没有明确的起点或终点，因此被称为涡旋电场。
如果在涡旋电场中放入一个金属导体，导体中的自由电子将会定向移动，形成涡旋电流，简称涡流。根据法拉第电磁感应定律，磁通量的变化会产生感应电动势。磁通量由磁感应强度B和横截面积S共同决定。我们之前学习的导体切割磁感线就是改变磁通量中的S。类似地，改变磁感应强度B也会产生感应电动势。通过磁场变化产生的电动势称为感生电动势，而通过导体切割磁感线产生的电动势则被称为动生电动势。

感生电动势源自磁场变化，而动生电动势源自导体切割磁感线。感生电动势中是电场力做功使电子加速，而动生电动势则是洛伦兹力做功使电子加速。尽管二者的产生原因和所用的非静电力不同，看起来它们是完全不同的两种电动势，但二者却巧妙地都符合法拉第电磁感应定律。

二、电子感应加速器
现代科技中经常需要用到高速运动的电子，电子感应加速器就是利用电磁感应来加速电子的装置。为了弄清楚一些关键问题，我们需要明确以下几点：

1.磁场发生变化时，感应电流的方向是怎样的？ 可以直接用楞次定律来判断。
2.是什么力使电子加速？ 这肯定不是洛伦兹力。首先，洛伦兹力不能使静止的电子加速；其次，洛伦兹力本身不做功。因此，电子加速的唯一可能原因是电场力的作用。
3.感应电场的方向与电子的运动方向相反，而与感应电流的方向相同。 洛伦兹力在此起到束缚电子做圆周运动的作用，所以感应电场的场强应该增强，这样洛伦兹力才能与电子的速度匹配。
三、涡旋电场与静电场
涡旋电场与静电场在产生方式、电场线特点、场强方向等方面有显著不同。比较特别的一点是，由于涡旋电场的电场线是闭合的，因此涡旋电场没有电势的概念。否则，就会出现类似“孙子比爷爷还大”的矛盾。
四、涡流
1.涡流的热效应
在使用电磁炉时，我们常发现食物加热后，电磁炉的面板却没有变热。那么，电磁炉是如何隔空加热食物的呢？电磁炉内部有一个线圈，交变电流通过线圈时，产生变化的磁场。这变化的磁场在空间中激发出感应电场，铁锅中的电子在涡旋电场中运动形成涡流，涡流的热效应加热了食物。
如果这个猜想是正确的，那么如果我在电磁炉上方放一个线圈，也应该能产生感应电流。如果我在线圈中放一个小灯泡，是否会亮呢？通过实验验证，果然小灯泡亮了。
那么，如果将锅换成非金属的材料呢？如果是塑料锅，它不能提供自由电子，因此无法产生涡流，也就无法加热食物。

2.真空冶炼炉
显然，如果把食物换成金属，是可以加热的。这种方法虽然不能应用于烹饪，但在工业生产中却有广泛应用。真空冶炼炉便是利用了这一原理。顾名思义，真空冶炼炉可以在真空环境中工作，而真空意味着没有火。那么，没有火如何完成金属冶炼呢？真空冶炼炉通过高频交流电源的线圈在炉内产生变化的磁场，使炉内的金属加热。
3.涡流的磁效应
在这里，我让同学们回答探测器的原理。大家非常配合，并清晰地给出了回答。探测器运用了涡流的磁效应。之前，我曾有个误区，以为是涡流产生的磁场再次在探测器中产生涡流，引起警报。实际上，涡流产生的磁场在探测器中产生了干扰，从而引发警报。探雷器和安检门也应用了相同的原理。
4.防止涡流的方法
为了减少涡流的影响，可以采取几种方法：一种是增大铁芯的电阻率，另一种是使用绝缘的硅钢片来替代整块硅钢铁心。
五 电磁阻尼
1.阻尼摆
如何让阻尼摆尽快停下来？
加入磁铁后，阻尼摆快速停下来的原因是什么？
如何减小铝片的阻尼？这里可以结合减少涡流的方法，例如减少电阻率或将铝片切割成带狭缝的形状。

2.磁铁在铜管中的下落

这一现象与阻尼摆的原理相似。磁铁上方的铜管中存在一个闭合回路，当磁铁下降时，回路中的磁通量减小。这时，可以将该回路等效为一个磁铁，它与铜管中下降的小磁铁相互吸引。同理，下一个实验中，如果铜管下方设置一个闭合回路，等效的磁铁将与小磁铁相互排斥。两者共同作用，阻碍小磁铁的运动。这种现象称为电磁阻尼。
其实，也可以通过考虑铜管中带电粒子受到洛伦兹力的影响来解释这一现象，或者直接应用楞次定律中的“来据去留”原则进行判断。电磁阻尼和电磁驱动的原理都符合楞次定律，意味着安培力总是阻碍导体之间的相对运动。
六：电磁驱动
既然电磁阻尼可以阻碍相对运动，那么这种“阻力”也可以转化为动力。在课堂上，我演示了如何通过旋转的磁铁带动铝框的运动，同样，让同学们参与回答，感觉他们逐渐进入状态，回答也变得更加清晰有条理。
最后，我介绍了一个电磁驱动的小应用：磁控连续体微型机器人。这种机器人利用外部磁场控制体内大约2毫米大小的机器人进行手术操作，其操作精度远超人工手术。

七：课后感悟
课后回想起来，准备过程虽然很匆忙，也有些紧张，但在课堂上却觉得自己自然了很多。过程中有几个小小的细节值得一提：
1.小磁铁实验的意外
最开始的那个小磁铁从铜管中下落的实验，我竟然忘记带小磁铁。虽然提前准备了很久，但还是出了这样的事故。在讲解时，我临时调整了内容，提出：“那么我们能不能让这个铁块缓慢地从铜管中落下呢？”即我把原计划要演示的实验放到了后面。这时，我的师妹悄悄从后面把磁铁送了过来。想起有一年春晚，赵本山和宋丹丹的小品《小崔说事》，赵本山上台时忘了拿包，场下的工作人员都非常紧张，但宋丹丹及时上前与小崔互动，吸引了观众的注意，给了赵本山挽回的时间。或许一堂课也有类似的情况，首先要保证课堂的连贯性。后来与同事们交流时，大家竟然没有发现我忘记带磁铁这个小意外，他们反而认为我本来的安排就是这样。
2.阻尼摆实验
在讲解阻尼摆时，学生提出增大电阻率来减小涡流。其实我原本并没有想到这一点，但恰好可以与之前讨论的涡流防止方法相结合。不过，学生没有提到应该将铝片剪成带狭缝的形状来减小涡流。我开玩笑说：“这位同学可能觉得铝摆不是自己的，不能随便剪。”

3.电磁阻尼在医学中的应用
在课的最后，我提到如何解决现代医学中手术操作难度高、容易受误差影响的问题。有学生回答说，可以利用电磁阻尼来提高手的稳定性。尽管这个想法的可行性尚待验证，但我觉得它真的很有创意。也许将来，电磁阻尼技术真能应用到手术操作中，提高手术精度。
4.课堂互动的改进
课上，每个同学回答问题时都需要申请麦克风，然后由负责的老师把麦克递给他。这样由老师来回传递麦克风耽误了不少时间，而我课上设计了十几个提问。在课开始时，我就考虑到这个问题。后来，当一位同学回答完问题后，我说：“麦克就放在你那里，由你开始传递。”这样就不需要老师来回递麦克风。更重要的是，学生们不再只是被动地接受提问，而是开始主动选择下一位回答者，课堂的参与度也更高，学生们从被动的听众变成了组织者。在后续的回答中，我也发现学生们渐渐进入状态，回答问题变得更流畅。
5.周三的课和交通事故
周三的课，我对周二的试讲仍然不太满意。周二晚上，我还出了点交通事故。当交警到达现场时，我发现对方与我都是内蒙古人。那对夫妇人很好，看到我年轻，觉得我和他们的孩子差不多大，他们还安慰我说：“谁的车都会出点事故，没关系的。”虽然发生了事故，但由于对方态度很好，我的心情没有因此太差。第二天还要上课，但我感到安慰的同时，也感受到一种平和。

JQX|Xiao
课后，我收到了专家的赞扬，这可能是我教学生涯中得到的最大赞誉了吧。专家认为感生电动势应该被放入本节课中，并且赞赏我在电磁阻尼部分的解析图。
在课前，邱sir、我的师父王国勇老师、新疆部的唐亮老师，以及金老师给了我很多建议。由于他们的建议和帮助实在太多，难以一一列举，但每次在公开课后，听到各种想法、教育见解和教育理念，我都觉得自己有很多需要学习的地方。