JQX/进取芯 席明纳第6期（2025.4.29）

二体问题与约化质量

JQX|Xiao

一、水平弹簧双球系统的简谐振动分析
水平面上有两个质量分别为$m_1$和$m_2$的两个小球，中间由一个劲度系数为k的弹簧连接。我们分析该系统做简谐振动的性质。

1.求周期：由牛顿第二定律，两个小球的运动方程是：$m_1 \ddot{r}_1 = k(r - r_0)$,
$m_2 \ddot{r}_2 = -k(r - r_0)$，将两个方程联立可得：$\ddot{r}_2 - \ddot{r}_1 = \ddot{r} = -k \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) (r - r_0)$，化简为：$\ddot{r} = -\frac{k}{\mu}(r - r_0)$。引入约化质量：$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$，可以看到振动方程有简谐振动的形式，振动的频率为：$\omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}}$，根据周期公式：$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{\mu}{k}} = 2\pi \sqrt{ \frac{m_1 m_2}{(m_1 + m_2) k} }$。该系统可等效为质量为$\mu$的单质点在弹簧力作用下的简谐运动。

2.两个小球的振幅：根据能量守恒定律：$\frac{1}{2} \mu v_0^2 = \frac{1}{2} k A^2$，可得：$A = v_0 \sqrt{\frac{\mu}{k}} = v_0 \sqrt{ \frac{m_1 m_2}{(m_1 + m_2) k} }$，两个小球的振幅按照质量分配，$A_1 = A \cdot \frac{m_2}{m_1 + m_2} ,A_2 = A \cdot \frac{m_1}{m_1 + m_2}$ 。
求任意时刻两个小球的位置坐标：以质心为参考系：两个小球分别做简谐振动，根据动量守衡定律，速度和相对质心位移按照质量的反比分配，坐标分别为$A_1 = A \cdot \frac{m_2}{m_1 + m_2} ,A_2 = A \cdot \frac{m_1}{m_1 + m_2}$ 。
3.两个小球的位置坐标：回到地面系，质心速度为$V_c = \frac{m_1}{m_1 + m_2} V_0$，为简化运算，以初始时刻质心坐标为坐标原点，质心位移为$x_c(t) = v_c t=\frac{m_1}{m_1 + m_2} V_0 t$。两个小球在地面参考系下的位置坐标为：$x_1(t) = x_c(t) - A \cdot \frac{m_2}{m_1 + m_2} \sin(\omega t)$ ,
$x_2(t) = x_c(t) + A \cdot \frac{m_1}{m_1 + m_2} \sin(\omega t)$。附：若两个小球质量相等，会出现很有趣的结果，在地面参考系下，两个小球相差$\pi$个相位，平均而言，两个小球在推和拉的过程整体向右运动，但是它们将交替达到静止，一个速度最大时，另一个速度为零。

二、竖直弹簧双球系统的简谐振动分析
将两个小球与弹簧组成的系统用细线竖直悬挂，并处于静止状态。现将细线烧断，试分析两个小球的运动？同水平方向，两个小球的牛二定律同样满足简谐振动的质点运动方程，因此在质心系两个小球将同样做简谐振动，其振幅和周期的分析方法与水平方向的情形相同，结论一致。但是在地面参考系中，质心在做自由落体运动，运动方程会稍有不同，这里不做详细推导。

三、双星问题
两个质量分别为$m_1,m_2$的两个天体，距离为r，引力大小为$F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$，根据牛顿第二定律，对两个物体分别有$F = m_1 a_1,F = -m_2 a_2$。两个星体的相对加速度为$a = a_1 - a_2 = \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) F$ ，引入约化质量$\mu$,根据向心力公式和牛顿第二定律：$\mu \omega^2 r = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ ,解得周期T为：$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{ \frac{r^3}{G(m_1 + m_2)} }$。与我们常规推导方法相同。

上述三个问题虽然不同，但是核心都是利用约化质量和相对加速度来把二体问题简化为单质点问题，双星问题的周期是开普勒第三定律的推广形式，这里用到了高考模式下的星体在引力作用下做圆周运动的简单解，更普遍的形式应该为椭圆。值得一提的是我们利用约化质量处理了二体问题，自然就会想到有没有类似的方法来处理三体甚至其他的多体问题。看过小说或电视剧“三体”的同学们应该都知道，游戏内外的科学家们为了计算三体问题绞尽脑汁，最后也没有得到准确的答案，遗憾的是当系统扩展到三体甚至更多天体时，上述简化不再适用，三体问题因为缺乏通解而成为经典力学的经典难题之一。

【下期预告】星球上无限长摆长单摆的周期
从$T=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$的理解入手，从极限的角度理解无限长单摆的周期等相关问题···

JQX/进取芯 小教研第五期（2025.4.23）

本期小教研以公开课的形式展现，授课内容是人教版高中物理选择性必修第一册第四章第三节《光的干涉》第二课时。授课对象为东北育才学校浑南校区高中k2304班学生，学生日常课堂氛围比较活跃，也基本掌握了干涉相关知识。

一、复习双缝干涉：（用于薄膜干涉知识的类比）
1）两束光发生干涉的条件？
2）双缝干涉，如何获得相干光？
3）双缝干涉的条纹有什么特点？
4）亮暗条纹与光程差的关系？
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JQX/进取芯 小教研第四期（2025.4.16）

关于周期：
Qiusir以学生随意发挥（意识流）的形式带领学生（新疆部）总结高中很多关于周期的概念。
1. 圆周运动的周期：$T = \frac{2\pi R}{V}$
2. 单摆周期公式：$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$
3. 近地（“贴地”）卫星速度：由$\frac{GMm}{R^2} = m \frac{v^2}{R} = mg$，$v = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{gR}$，再代入$T = \frac{2\pi R}{V}$，$T = \frac{2\pi R}{V} = \frac{2\pi R}{\sqrt{gR}} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$。（此公式除了关联半径为R槽内小角度摆动周期，也可以拓展到地球上无限摆长的周期）

4. 扔出一个粉笔头，如果力气足够大，它可以变成一颗近地卫星。那么，它一圈绕地球所需的时间是多少呢？我们知道，同步卫星的周期是 24 小时，其轨道半径约为 36000 公里。根据开普勒第三定律，越靠近地球的卫星周期越短。近地卫星的周期约为 84 分钟。
Qiusir 在刚到高中部任教时的开学第一课里，讲了这样一个例子：学生就像在最内圈的1号轨道，轨道半径最小，一天上八九节课，忙忙碌碌；老师是2号轨道的卫星，半径大些，每天只上一节课；而校长则是最远的3号轨道，一年来不了一次。在这三个轨道中，学生的速度最大。如果假设三者质量相同，学生的动能也最大。那么学生的能量最大吗？校长的能量最小吗？Qiusir 话锋一转，说道：能量除了动能，还有势能。过去我们称之为“位能”。校长虽然速度最小、周期最长，但社会赋予了他特殊的位置。从能量的角度看，总能量是动能加势能。于是，校长的总能量反而是最大的。从自然界的法理出发，大人物不必像小人物那样日夜奔波，而是以一种缓慢而宏大的方式运转。我们之所以努力读书，或许正是希望将来也能成为那种“别人一辈子也见不到你一次”的人。就像波尔的氢原子模型中，轨道越高，能级越高——这和万有引力模型下的天体运动是相通的。开普勒第三定律写作$\frac{a^3}{T^2} = k$，椭圆退化为圆，即$\frac{r^3}{T^2} = k$。结合引力提供向心力：$\frac{GMm}{r^2} = m \cdot \frac{4\pi^2 r}{T^2}$ 可得:$k = \frac{GM}{4\pi^2}$，这个比例常数只与中心天体的质量有关。（知道和理解是两个层次。）

5. qiusir叫起来一个头发很酷的女生，qiusir开玩笑说像爱因斯坦，我回到办公室和同事分享了这一个观点，大家都觉得十分贴切，我也有同样的感觉，甚至惋惜身为物理老师的我居然没有发现这个可爱的女孩与这位伟大物理学家的相似之处。弹簧振子的周期：$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$，振子质量越大，动的越慢，弹簧的劲度系数越大，动的越快。
物理之难，不在理，而在物。
6. LC震荡电路的周期：$T = 2\pi \sqrt{LC}$。从另外一个角度思考这个问题：对于弹簧振子：$-kx = m\ddot{x}$，对于LC震荡电路：$-L \frac{d^2 Q}{dt^2} = \frac{Q}{C}$，化简为：$\ddot{Q} = -\frac{1}{LC} Q$，二者在微分方程上十分接近，所以有相似的物理规律。
7. 秒摆的周期：$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \approx 2s$，其中$\pi^2 \approx g$。（很早以前是有个秒摆的概念）

8. 这位女孩没有退缩，选择继续回答问题。两个小球，编号 1 和 2，悬挂在同样高度h的点上，形成圆锥摆，1 号球的摆动半径较小，2 号球的半径较大。谁的角速度大呢？ $a_n = g \tan\theta = \omega^2 r = \omega^2 h \tan\theta$，推出$\omega = \sqrt{\frac{g}{h}}$。——与半径无关，仅与摆锤到悬点的垂直高度有关。所以，只要h 相同，1 和 2 号球的角速度也是相同的。如果做圆锥摆的两个小球3和4，半径相同，3距离悬点的高度更低，谁的角速度大呢？根据同样的公式，$\omega = \sqrt{\frac{g}{h}}$，3号球的h更小，所以角速度更大。

9. “爱因斯坦”后面的一个像随时拔出刀的剑客同学：两个小球，分别放在两个向下的光滑圆锥内滑动，1 号球在锥角较小的圆锥里，2 号球在锥角较大的圆锥上。虽然两个小球的高度相同，但运动半径不同。第一种思路：$v = \sqrt{gh}$（这个公式可以用前面角速度的二级结论推导，而且类比槽最高点最小速度公式便于记忆），两个小球具有相同的线速度，半径越大的小球向心加速度越小。第二种方法是把支持力等效为绳的拉力，把圆锥模型等效为圆锥摆的模型，根据$\omega = \sqrt{\frac{g}{h}}$，半径大的h大，所以角速度更小。

10. 浪漫的Qiusir想叫一个有女朋友的同学，一个同学恰好在那一瞬间挠头，被qiusir以举手为由叫了起来，现在回想，挠头到底是出于头痒还是出于一个年轻人的浪漫，我也不得而知。奇妙的是，与这个男生有着深刻友谊的正是“爱因斯坦”同学。爱因斯坦说过：”Any fool can know. The point is to understand.”知道，是入门；理解，才是入口。qiusir在他的小蓝书《求师得·拾年》里写过这样一句：“有一种亲密叫惺惺相惜，有一种远离叫貌合神离”。真正的亲密并非每日厮守，有时候，空间上的靠近掩盖不了精神世界的疏远。物理中讲“分离”，常常是接触却没有挤压。人与人之间也是如此，如果世界观不一样，即使坐在一起，两个人的心也是远离的，而地球与月亮始终不远不近地相伴着，它们之间，有一种静默而恒久的亲密。qiusir分享了以前的学生写过最好的情诗：“不在你左右，却被你左右”。假设地球开设了一个贯穿地心的地下铁，一趟旅程大概需要42min。这位男同学这时猛地一蹬，把自己变成一颗近地卫星从地球一端飞到另一端的时间——也是42min，而比时间更动人的是两个人的位置始终相对，在整个旅途中时刻对应，这才是物理中的浪漫，这才是旅行中的心心相印。

11. 质量为和的两个小球，用一根劲度系数为k 的轻弹簧连接。忽略摩擦和其他外力。求两个小球在一维平面上的运动周期。
方法一：用王聪方法画出两个小球的速度时间图像，设两个小球达到共速是弹簧的形变量为x，由图像可以看出、两个小球各自的位移大小分别为$x_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2} \cdot x$和$x_2 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} \cdot x$。两个小球相对质心分别做简谐振动，等效劲度系数为$k'_1 = \frac{m_1 + m_2}{m_2} \cdot k = m_1 \cdot k$，因此小球的振动周期为$T = 2\pi \sqrt{ \frac{m_1}{k'_1} } = 2\pi \sqrt{ \frac{m_1 m_2}{(m_1 + m_2)k} }$。
方法二：
定义两个质点的位置为，$x_1$，$x_2$则弹簧的伸缩量为$x(t) = x_1(t) - x_2(t)$
。根据牛顿第二定律，两个小球分别满足：$m_1 \ddot{x}_1 = -k(x_1 - x_2)$，$m_2 \ddot{x}_2 = +k(x_1 - x_2)$。相对位移的二阶导为：$\ddot{x} = \ddot{x}_1 - \ddot{x}_2= -\left( \frac{k}{m_1} + \frac{k}{m_2} \right) x= -k\left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) x$。引入约化质量$\mu = \left( \frac{1}{\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}} \right) = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$，从而系统的相对位移满足：$\mu \ddot{x} = -k x \quad \Rightarrow \quad \ddot{x} + \frac{k}{\mu} x = 0$，这是简谐运动的标准形式，其振动周期为：$T = 2\pi \sqrt{ \frac{\mu}{k} }= 2\pi \sqrt{ \frac{m_1 m_2}{(m_1 + m_2)k} }$。

JQX|Xiao
在qiusir的课上有杨利伟一天看十六次日落的伤感，也有“有一种亲密叫惺惺相惜，有一种远离叫貌合神离”的唏嘘，还有“不被你左右，却被你左右”的浪漫，物理的难不在理而在物，理是可以记，可以背的，但物是我们生活的这个大千世界，可能qiusir讲的更多的是“物”，而把“理”交给学生自己去探索，上课介绍时有句话我忘了说，“虽然只有短短四十分钟，我相信大家一定会有很多收获，可能是物理方面的，可能不止于物理”。

【下期预告】光的干涉---薄膜的奥秘
你是否曾被肥皂泡表面的绚丽色彩吸引？是否好奇油膜上的斑斓条纹从何而来？
下一期，金老师将以公开课的形式，亲手制作彩色肥皂膜，探索薄膜干涉的核心原理。
还将解锁它在科技中的神奇应用——从空气劈尖精准判断玻璃表面的平整度，到眼镜镀膜如何提升清晰度，每一处细节都蕴含着物理与生活的深度对话。
带上你的好奇心，让我们一同揭开光的艺术面纱，在理论与实践的碰撞中，共赴这场“光之盛宴”！

JQX/进取芯 小教研第三期（2025.4.10）

简谐运动，作为高中物理力与运动的典型模型，揭示着振动世界的底层规律。
·如果弹簧振子不再处于理想光滑环境，摩擦力的介入是否会动摇简谐运动的本质？
·如果将弹簧引入含容单杆，在电磁力的动态影响下，振动方程将如何重构？
·如果单杆连接电感，电能与机械能的交替变化，会诞生怎样的新型简谐系统？
让我们一起深入探索不同的简谐运动，共同解构振动世界的「非理想」真相。

一、受外力的弹簧分离问题，一定能分离吗？
分离问题作为牛顿第二定律的基本应用，已经分析的比较透彻。但原本静止在弹簧上的两个物块，受到向上的恒力，一定能分离吗？让我们来分析这样一种情况：
如图所示，一竖直轻弹簧静止在水平面上，重力均为$G$的$a$，$b$两物体叠放在轻弹簧上并处于静止状态，$a$、$b$可视为质点。问：至少需要多大的恒力$F$，竖直向上拉$b$，能使$b$与$a$分离？

答案：$F=\frac{2}{3}G$。

提示：根据分离问题的条件，分离时$a$、$b$两物体加速度相同，且物体间无压力。在有恒定外力$F$时，弹簧需达到压缩量为$\frac{F}{k}$的情况下，才可分离。

同时，根据简谐运动的对称性，受到恒力$F$可视为平衡位置上移$\frac{F}{k}$，由于初始状态为静止（即最低点），故此运动振幅为$\frac{F}{k}$。结合黑板中分析图，可知$\frac{2G}{k}=\frac{3F}{k}$，故$F=\frac{2}{3}G$。

肖老师提出，可以使用回复力的对称性，最高点的回复力应与最低点大小相同，算出合力。可见，恒力需要达到一定程度，才能将物块拉开，否则，物块将进行简谐运动不会分离。

二、水平弹簧振子，有摩擦，还是简谐运动吗？
如图所示，一轻质弹簧左端固定,右端系一小物块，物块与水平面的最大静摩擦力和滑动摩擦力都为$f$，弹簧无形变时，物块位于$O$点.每次都把物块拉到右侧不同位置由静止释放，释放时弹力$F$大于$f$，物体沿水平面滑动一段路程直到停止。为使物块能返回到$O$点右侧，则$F$至少为几倍的$f$？
答案：$F = 4f$。

提示：物块向左运动时，受到向右的摩擦$f$（可视为恒力），整个向左运动的过程中，可视为平衡位置为$O$点右侧$\frac{f}{k}$的简谐运动。同理，物块返回向右运动时，受到向左的摩擦$f$（可视为恒力），可视为平衡位置为$O$点左侧$\frac{f}{k}$的简谐运动。虽然整个过程不是简谐运动，但可以看做两个半程简谐的叠加。草图请见板书，根据对称性，可算得$F$为$4f$。

*这种阻力恒定的阻尼运动，可以视为每半程产生一次平衡位置的转移，导致振幅越来越小，直至恰好运动到或运动不到下次平衡位置转移的位置后，停止。

三、弹簧振子带动另一个物体运动，还是简谐运动吗？
如图所示（见黑板第二部分），质量分别为$m$、$M$的两个物块使用软杆连接，跨过定滑轮，$M$使用弹簧连接在地面上，从弹簧原长释放，试分析有$m$的存在，是否还是简谐运动，如果是，平衡位置、振幅、周期发生改变了吗？

答案：是简谐运动。不改变平衡位置、振幅。周期变小。

提示：可以使用整体法分析，$m$的存在单纯增加了质量，但未提供其他外力，外力依然为正弦变化，运动依然为简谐运动。平衡位置依然为弹力与$M$重力平衡的位置，振幅仍为原长到平衡位置。但由于$m$的存在，周期$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$,质量变大，周期变小。也可以使用单体法分析$M$，多受到一个杆的力，但杆力也为正弦力（相当于减小了$k$，而平衡位置未变）。

四、含容单杆增加弹簧，还是简谐运动吗？
如图所示，两条平行光滑足够长的无电阻导轨所在平面与水平地面的夹角为$\theta$，间距为$L$。导轨上端接着没有充电的一平行板电容器，电容为$C$。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为$B$，方向垂直于导轨平面。在垂直于导轨无初速释放一质量为$m$、电阻不计的金属棒，若不计导轨电阻。金属棒与轻弹簧相连接，劲度系数为$k$，弹簧给金属棒的拉力垂直棒，静止释放时弹簧处于原长，则金属棒做什么运动？向下运动的最大位移是多少？

答案：做简谐运动。最大位移为$\frac{2mg\sin\theta}{k}$

提示：设下滑位移$x$时，速度为$v$，则$q = CU = CBLv$，
由牛二，$mg\sin\theta - kx - BIL = ma$，$I=\frac{\Delta q}{\Delta t}=CBLa$，解得$mg\sin\theta - kx - B^2L^2Ca = ma$
金属棒所受的合力$F=mg\sin\theta - kx-(m + B^2L^2C)a$
令$x_0=\frac{mg\sin\theta}{k}$，有$F=-k(x - x_0)$
故金属棒做平衡位置为$x_0=\frac{mg\sin\theta}{k}$，振幅为$A=\frac{mg\sin\theta}{k}$的简谐运动，向下运动的最大位移为$2A$，即$\frac{2mg\sin\theta}{k}$

*电容的存在，竟然并没有改变单独弹簧振子的平衡位置和振幅！
请进一步思考：
1）从物理意义上解释，平衡位置为什么是$mg\sin\theta$ ？
平衡位置应为$a = 0$，此处$I = CBL a$ ，$a = 0$ 没有电流故没有安培力，所以即为重力与弹簧弹力的平衡点。
2）最大速度能求吗？
可以考虑如下方法：①用简谐运动能量关系：$\frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{2}mv^2$
②用简谐运动最大速度公式：$v_{max}=\omega A$……
3）继续考虑后半程，也是简谐吗？
后半程电容器放电，电流方向变化，所以安培力方向也发生改变，安培力大小依然与加速度成正比，方向与加速度反向，这相当于让加速度等比例减小（像等效质量一样，情景类似上上一道题，m换成等效质量的电容器……）（等效质量$B^2L^2C$在其他情境下亦有应用）， 只改变了$k$（也就是改变了周期和最大速度）。
4）有更方便的方法来计算最大位移吗？
末态$v = 0$，电容器没有电，利用能量守恒，可一步求解。
*肖老师提出，如果已知等效质量，那么可以直接整体分析……
*qiusir提出，电惯性、回复势能……

五、含电感的单杆问题，也是简谐运动？
如图所示，在磁感应强度为$B$且方向垂直向里的匀强磁场中，设有两条相距为$l$的固定光滑平行导轨，其与电感为$L$的线圈以及质量为$m$的横导杆构成回路。现给横导杆一个初速度$v_{0}$。若忽略所有元件的电阻以及电磁辐射的影响，试证明该横导杆的运动属于简谐运动。插

证明如下：根据法拉第电磁感应定律，感应电动势$\mathcal{E}=-L\frac{\Delta I}{\Delta t}$。
结合电磁感应现象 导体棒切割磁感线产生的感应电动势$\mathcal{E}=Blv$ ，同时电感的感生电动势$\mathcal{E}=-L\frac{\Delta I}{\Delta t}$ ，由于电路中没有电阻，有： $Blv=-L\frac{\Delta I}{\Delta t}$
两边同时乘以$\Delta t$ 并求和： $\sum Blv\Delta t=\sum - L\frac{\Delta I}{\Delta t}\Delta t$ ，得到： $Blx=-LI$
代入安培力公式   $F = B\left(-\frac{Bl}{L}x\right)l=-\frac{B^{2}l^{2}}{L}x$ 此式符合简谐运动回复力$F = - kx$ 的形式，从而可说明含容单杆的运动为简谐运动。

上述几类简谐运动不过是管中窥豹，自然界中满足回复力特征的运动远不止于此，还有无数未知的运动形式等待我们以更广阔的视角去探索发现！

【下期预告】
“Any fool can know, The point is to understand.”作为教师，知识的传授不单是传递和辅助理解，还有一个内化的过程。下次活动，qiusir将在新疆部高三的班级就“周期”的话题展开，除了相关知识的关联、拓展和内化，还有就如何和新同学进行有效交流的尝试等···

JQX/进取芯 小教研第二期（2025.4.7）

从感生电动势到参考系的变换---电磁感应的另一种打开方式

JQX|Xiao
一、源起：一个关于涡流的疑问
在一次的公开课上，我提到一个与涡流相关的现象。题目中描述了金属铝片掠过凹槽装置的过程，铝片的运动速度逐渐减慢。讲课过程中对此的解释是：这是一种涡流现象，即在金属铝片中感应出了电流，铝片受到安培力作用，形成了一个阻尼力。
这本是教材中常规的解释路径——磁场静止，导体运动，从而形成闭合回路产生感生电动势。但在与邱sir和金老师的讨论中，发现在这个过程中，存在一个容易被忽视的概念性矛盾：
既然是金属铝片在运动，磁场不动，为什么不把这种情况归类为“动生电动势”呢？

教材的划分标准通常是：
导体相对于磁场运动、切割磁感线，属于动生电动势
闭合回路中磁通量随时间变化，属于感生电动势

磁场是静止的，导体在动，这不正是动生的定义吗？可为什么又以“感生”来处理？教材似乎默认了一个参考系（磁场所处的参考系），而忽略了不同参考系下对“感生”与“动生”的理解可能并不一致。
这让我们意识到：或许“感生”与“动生”的划分，并不是物理本质上的区分，而是参考系选择的结果。

二、初探：不同参考系下的电场与磁场
为了进一步理解涡流现象和感生与动生电动势的关系，我们先看一道沈阳市一模物理选择压轴题。
武汉智能电梯公司研制出世界第一台“磁悬浮电梯”，如图为该磁动力电梯的简易装置图，即在竖直平面内有两根平行竖直金属轨道MN和PQ，两轨道的下端用导线相连；金属轨道间有一导体杆ab与轨道垂直，其正下方通过绝缘装置固定电梯轿厢，设运动过程中ab始终与轨道垂直且接触良好。该磁动力电梯上行的原理是：电磁铁所产生的垂直轨道平面、磁感应强度为B的匀强磁场沿金属导轨运动，带动ab杆向上运动，即电磁驱动。设电梯轿厢及ab杆的总质量为M（后续简称电梯），两轨道间的距离为L，ab杆电阻为R，其余部分电阻不计。不计ab杆与轨道间的阻力和空气阻力，重力加速度为g。若电磁铁产生的匀强磁场以的速度匀速上升，电梯上升的最大速率为$v_m$，则下列说法正确的是（）
A．电梯刚向上启动时，ab杆中感应电流方向为b→a
B．电梯刚向上启动时，ab杆加速度
C．电梯以最大速率向上运行，ab杆产生的电功率
D．电梯以最大速率向上运行，外界在单位时间内提供的总能量

关于这道题目，我们还可以思考下面几个问题：
(a)ab杆中的电子受到的洛伦兹力的方向？
(b)ab杆中增加了重力势能和电能，那么洛伦兹力是否做正功了呢？
(c)导体棒开始的时候静止，那是什么力使导体棒中的电子运动的呢？
如果以磁场为参考系来观察，金属杆相对磁场向下移动。根据右手定则感应电流方向由b→a，导体棒受到安培力方向向上，由左手定则，导体棒中电子受到沿杆方向的 洛伦兹力方向向右。洛伦兹力可以看成两个分力，一个充当安培力做负功，一个充当非静电力做正功，洛伦兹力总功为零，这种情况下，不会出现矛盾。
然而，如果我们将参考系转换为地面参考系，问题就开始变得复杂了。由于金属杆向上运动，安培力向上，由左手定则，电流方向应该是由b→a。
但与此同时，如果我们试图使用电子所受洛伦兹力来分析，会发现负电荷所受的洛伦兹力方向是向左的，因此，感应电流应当是由a→b的。这时，两个不同的参考系下得到的电流方向显然不一致，带来了严重的物理矛盾。
电流方向作为客观现象，不应该随着参考系的不同而发生变化。那么，如何解释这个矛盾呢？
在进一步分析电流方向的问题之前，我们需要从电磁场的统一性出发，尝试找出解答这一矛盾的线索。众所周知，电场和磁场并非是完全独立的场，它们是同一种电磁场在不同参考系下的不同表现。通过对这两者的统一理解，我们可以有效消除由于参考系不同而产生的表面矛盾。

三、求索：非相对论角度的电磁场转化关系
为解决以上问题，我们需要从电磁场的统一性出发，分析电磁场在不同参考系下的不同表现。电场和磁场本质上是相互联系的，磁场和电场的变化，并不是完全独立的，它们通过洛伦兹变换在不同参考系下发生转化。
在不引入相对论形式体系的前提下，我们可以从基本的物理一致性出发，探讨电场和磁场在不同参考系下的转化关系。
首先，设想一个带电粒子在磁场中运动。由于洛伦兹力与粒子的速度相关，不同参考系中粒子的速度不同，因此磁场力的大小和方向也会不同。为了保证在不同惯性参考系中，粒子受到的合力保持一致，我们自然需要引入一个电场力项来补偿洛伦兹力的变化。这种思路反过来启发我们：不同参考系中观察到的电场，可能正是为了修正磁场力变化而“出现”的。
进一步地，我们思考电场如何转化为磁场。由于电场力与速度无关，难以用“力的补偿”来建立类比。但我们可以从电场的源头——静止电荷出发，考虑其在运动参考系中的表现。
假设空间中存在一条线密度为的线性排列的静止点电荷，产生沿径向分布的静电场。根据高斯定律，距线电荷垂直距离为r处的场强为：$E_0 = \frac{\lambda}{2 \pi r \epsilon_0}$

当我们切换到一个以速度$v_0$沿导线方向运动的惯性参考系时，原本静止的点电荷对该观察者而言构成了一个线电流，等效地形成电流强度:$I = v_0 \lambda$

此时，根据安培环路定理，观察者在同样位置r处可以测得一个磁感应强度$B'$：$B' = \frac{\mu_0 v_0 \lambda}{2 \pi r}$
由$\mu_0 \epsilon_0 = \frac{1}{c^2}$，可以得到：$B' = \frac{v_0}{c^2} E_0$
这种等效电流所形成的磁场，本质上是“电场源”在相对运动下对观测者的“电磁表现”的改变。这一过程提示我们，电场的相对运动在某些条件下会表现为磁场，从而建立起了非相对论背景下的一种电磁场转化直觉。

四、明辨：相对论视角下的电磁场转换
尽管前面我们已经在低速近似的非相对论框架下进行了分析，但这些讨论依然无法完全解释某些电磁现象，尤其是在高速度或强磁场的情况下。为了进一步探讨电场和磁场在不同参考系下的转化关系，我们需要引入相对论视角。相对论不仅修正了空间和时间的关系，还使得电磁场的转换更加复杂，因此，在这种情况下，电场与磁场之间的转换规律会展现出更深层次的结构。
下面从相对论的角度分析电磁场的转换，首先在空间中设想一个最简单的电场：一个大的平行板电容器两板间的均匀电场。电容器在参考系中静止，电荷面密度为，由高斯定理可判断：$E_y = \frac{\sigma_0}{\varepsilon_0}$

参考系S以速度相对电容器像右运动，我们已经知道在参考系S中可以同时观察到电场和磁场。考虑相对论尺缩效应，面电荷密度变为：$\sigma =\gamma \sigma_0$。可求出S中场强为：$E_y = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$

由安培环路定理可判断：$B_z = -\mu_0 \sigma v_0$

我们设第三个参考系以速度相对运动，对于这个参考系中的电荷面密度为$\sigma' =\gamma '\sigma_0$。则对第三个参考系有：$E_y' = \frac{\sigma'}{\varepsilon_0}$ $B_z' = -\mu_0 \sigma 'v_0$
根据洛伦兹速度变换：$v' = \frac{v + v_0}{1 + \frac{v v_0}{c^2}}$

我们要做的是已知S系中的电场和磁场，如何求出系中的电场和磁场。也就是用E和B来表示$E'$和$B'$。$E'_y = \frac{\gamma}{\gamma_0} \frac{\sigma}{\epsilon_0}, \quad B'_z = -\frac{\gamma}{\gamma_0} \mu_0 \sigma v$
利用$\mu_0 \epsilon_0 = \frac{1}{c^2}$，通过数学运算可得到：$E'_y = \gamma \left( E_y - v B_z \right)$ $B'_z = \gamma \left( B_z - \frac{v}{c^2} E_y \right)$

如果将水平放置的磁场改为竖直放置，可推导出：
$E'_z = \gamma \left( E_z + v B_y \right)$ $B'_y = \gamma \left( B_y + \frac{v}{c^2} E_z \right)$
而平行于运动方向E与B的分量不变：$E'_x = E_x$ $B'_x = B_x$
用叉乘的方法可以使公式更为简洁：$\mathbf{E}' = \gamma \left( \mathbf{E} - \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right)$ ${B}' = \gamma \left( \mathbf{B} + \frac{\mathbf{v}}{c^2} \times \mathbf{E} \right)$
我们可以看到，当我们变换参考系后，新参考系的磁场与原来参考系的电场有关。新参考系的电场与原参考系的磁场有关。因此，电场和磁场是不同参考系的两个投影，就像一个苹果，不同角度的人会看到不同的样子。

五、回眸：低速近似下的解答
在低速近似的非相对论框架下，我们来分析最初的高考问题：
(a)电流方向与洛伦兹力方向是否矛盾？
在地面参考系下，运动的磁场产生方向向左的电场：$\mathbf{E}' = -\mathbf{v}_0 \times \mathbf{B}$
导体棒中电子受到的合力为：$F = E'e - evB' = e(v_0 - v_m) B$
方向向右，这与磁场参考系下的结论一致。尽管电子受到向左的洛伦兹力，地面参考系中的电场力补偿了这一点，保持合力方向不变。
(b)洛伦兹力是否做功？
由于洛伦兹力始终垂直于电子的运动方向，它不做功。在磁场静止参考系中，垂直于杆方向的洛伦兹力做负功，沿杆方向的洛伦兹力做正功，总功为零。以地面参考系为例，充当安培力的洛伦兹力做正功，而沿杆方向的洛伦兹力和电场力共同提供非静电力，其中洛伦兹力做负功。总的来说，洛伦兹力做的功为零。
(c)导体棒开始时静止，是什么力使电子运动？
运动的磁场产生电场，电场力驱使导体棒中的电子运动。

六、结语：洞察、探索、卓越···
这一篇文章的思考起源于邱sir提出的一个问题——关于涡流现象中感生电动势与动生电动势的区别。正是这个疑问，激发了我和“jqx”团队的其他两位老师深入探讨电磁学中涡流、参考系转化等一系列问题。在这个过程中，我们三个老师的集体智慧与讨论让我对电磁场的理解更为深入，也让我在解答这一问题的过程中不断成长。
从最初的困惑，到逐渐明晰的解答，再到最终引入相对论的角度，这个过程充满了挑战与收获。

J - Judgment | Q - Quest | X - Xcellence

“jqx”这个小团体，通过洞察（Judgment ）发现问题的本质，依靠探索（Quest）勇敢追求未知，不断追求卓越（Xcellence），力求在每一领域做到最好。这三者相辅相成，推动着我们不断前进和超越！

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简谐运动，作为高中物理力与运动的典型模型，揭示着振动世界的底层规律。但当这个理想模型加上真实世界的约束，会发生怎样的物理剧变？
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