JQX/进取芯 席明纳第6期（2025.4.29）
JQX|Xiao
一、水平弹簧双球系统的简谐振动分析
水平面上有两个质量分别为
和
的两个小球，中间由一个劲度系数为k的弹簧连接。我们分析该系统做简谐振动的性质。
1.求周期：由牛顿第二定律，两个小球的运动方程是：
,
，将两个方程联立可得：
，化简为：
。引入约化质量：
，可以看到振动方程有简谐振动的形式，振动的频率为：
，根据周期公式：
。该系统可等效为质量为
的单质点在弹簧力作用下的简谐运动。
2.两个小球的振幅：根据能量守恒定律：
，可得：
，两个小球的振幅按照质量分配，
。
求任意时刻两个小球的位置坐标：以质心为参考系：两个小球分别做简谐振动，根据动量守衡定律，速度和相对质心位移按照质量的反比分配，坐标分别为 。
3.两个小球的位置坐标：回到地面系，质心速度为
，为简化运算，以初始时刻质心坐标为坐标原点，质心位移为
。两个小球在地面参考系下的位置坐标为：
,
。附：若两个小球质量相等，会出现很有趣的结果，在地面参考系下，两个小球相差
个相位，平均而言，两个小球在推和拉的过程整体向右运动，但是它们将交替达到静止，一个速度最大时，另一个速度为零。
二、竖直弹簧双球系统的简谐振动分析
将两个小球与弹簧组成的系统用细线竖直悬挂，并处于静止状态。现将细线烧断，试分析两个小球的运动？同水平方向，两个小球的牛二定律同样满足简谐振动的质点运动方程，因此在质心系两个小球将同样做简谐振动，其振幅和周期的分析方法与水平方向的情形相同，结论一致。但是在地面参考系中，质心在做自由落体运动，运动方程会稍有不同，这里不做详细推导。
三、双星问题
两个质量分别为
的两个天体，距离为r，引力大小为
，根据牛顿第二定律，对两个物体分别有
。两个星体的相对加速度为
，引入约化质量
,根据向心力公式和牛顿第二定律：
,解得周期T为：
。与我们常规推导方法相同。
上述三个问题虽然不同，但是核心都是利用约化质量和相对加速度来把二体问题简化为单质点问题，双星问题的周期是开普勒第三定律的推广形式，这里用到了高考模式下的星体在引力作用下做圆周运动的简单解，更普遍的形式应该为椭圆。值得一提的是我们利用约化质量处理了二体问题，自然就会想到有没有类似的方法来处理三体甚至其他的多体问题。看过小说或电视剧“三体”的同学们应该都知道，游戏内外的科学家们为了计算三体问题绞尽脑汁，最后也没有得到准确的答案，遗憾的是当系统扩展到三体甚至更多天体时，上述简化不再适用，三体问题因为缺乏通解而成为经典力学的经典难题之一。
【下期预告】星球上无限长摆长单摆的周期
从
的理解入手，从极限的角度理解无限长单摆的周期等相关问题···
