“世界会不会变好不重要，我们要变好才重要。”网上没查到是不是诺贝尔说的，不过这话对莫名焦虑的人来说也不是没有一点道理:)
上课带领学生推双星的公式，$\frac{L^3}{T^2}=\frac{G(m_1+m_2)}{4\pi^2}$，类比开普勒第三定律很容易记忆...而对地球贴地卫星周期公式化简，$\frac{R^3}{T_1^2}=\frac{GM}{4\pi^2}$，$T_1=2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$，$T_1=2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$
类比单摆的公式，$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$，以及圆锥摆的周期公式$T=2\pi \sqrt{\frac{lcos\theta}{g}}$，很容易建立起关联。巧妙的是$T=2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$也是地球上摆长无限的单摆周期，这个时间还是穿越地心隧道（简谐振动）时间的二倍。

和简谐振动一章推到单摆的周期很接近，设想地面上（可以设想是在很高建筑上）悬点o悬挂摆长l的单摆（摆角很小，一样能近似简振的），万有引力的切向分力提供回复力。
摆球在地表，所有有$\frac{GMm}{R^2}=mg$，$F_t=mgsin(\alpha+\beta)$，利用小角度$sin\theta\approx\theta$，$F_t=mg(\alpha+\beta)$，因为小角度，位移大小近似弧长也近似水平...$F_t=-mg(\frac{1}{R}+\frac{1}{l})x$
套用弹簧振子周期公式，$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$，得$T=2\pi\sqrt{\frac{Rl}{g(R+l)}}$
带入特殊值到上述公式，比如摆长远小于地球半径，$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$(l=1m,T约2s)；比如摆长为地球半径，$T=2\pi \sqrt{\frac{R}{2g}}$（1h）；比如摆长远大于地球半径，$T=2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$(1.4h)...

关于贯穿地球的地下铁通行时间的推算，也是用简谐振动的周期。由于球壳对球壳内物体的万有引力为零，所以物体穿行地球时所受的万有引力仅与此处内部球体有关，$F=\frac{GMm}{r^2}=\frac{Gm\rho\frac{4}{3}\pi r^3}{r^2}$，$F_x=-Gm\rho\frac{4}{3}\pi rsin\alpha=-kx$...
继续套用弹簧振子周期公式，$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$，且$gR^2=GM=G\rho\frac{4}{3}\pi R^3$，化简后，$G\rho\frac{4}{3}\pi=\frac{g}{R}$，得$T=2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$，且与$\theta$无关。
如果是横贯地心的地下铁，不仅时间和贴地卫星周期相同，更是大撒心心相映的狗粮（圆周运动的投影点）...
当然，这个周期也是和地球半径（大小）无关的，由Kepler's Law III，$T=\sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}$。地球的平均密度大概是水的5.5倍，对于更高密度的星体，这个运行周期要小得多，如果是中子星内部的隧道...
X上看到这种推导...


物理作为高考理科的主力是要背很多的锅，不单是计算不准的数学锅，还有审题失误的语文锅，以及基础知识相关的地理锅、化学锅等等，甚至偶有符号乱用的英语锅... ​

数学L老师就曾提出过[?]上面梗图的困惑。地球自转的线速度$v_0=\frac{2\pi R}{T_0}$=0.464km/s，1670km/h...

这两天有不少航天飞船的新闻，快退休的数学L教师主动问了我转动的地球和地表大气的关系问题（转动的地球周围的空气不会有风吗），从物理老师的角度，直接体会到提出问题比如何解决重要，主动思考的大脑除了能探究未知，也更能有效吸收现有知识。（大气可以看做稀薄的水，一样是被地球吸引着，而大气压力也是近似等于引力。）

人造重力（人工重力）（Artificial Gravity）一样是个好的航天相关的题目。
关于地表物体所受重力，我比较喜欢“万有引力和离心力的合力”的说法，尽管在不同的纬度，甚至在同一纬度的不同地区，因地势和矿区等，同一物体所受重力大小也是有点差别的，但重力总体取决于物体自身质量和地球质量以及地球大小的因素($\frac{GMm}{R^2}$)。如果要星际移民，除了考虑辐射和呼吸等问题，g=9.8N/kg的星球更宜居。

（蓝箭头表示万有引力，红箭头表示离心力，绿箭头表示重力）
@qiusir:“如果你坚持非要力的精确定义不可，那你永远也得不到！”《费曼物理学讲义》上的这话让我想起自己对“重力”的理解就很不精确。维基上说日语“重力”是对荷兰语zwaartekracht的翻译，zwaarte重量和kracht力，福泽谕吉当年可是先学兰学的，而这大概是造成重力和重量混用的源头吧。现在用G表示重力是因为gravity，英文中重力和万有引力也混用？从卫星的角度看两者就是等同的了。而当讨论地球上的物体时，重力就指的是地球作用于物体上的万有引力和由于地球自转而产生的离心力的合力了。从广义相对论的角度看，那就涉及到时空弯曲了......20201218

作为地球上的原住民，身体各部分对地球引力的习惯让我们不能直接感受重力的存在，而重力通常是通过地面或是座椅的支持力体现的。加速或减速的电梯里体会到的的超重或失重只是支持力的变化，而非地球引力的增减。

在太空实现人工重力，可以通过一个以g不断加速的电梯实现，但就算可以制造巨长无比的电梯，而加速一年也会达到光速，之前就会有显著的相对论效应了。艺术家的视图大概类似回旋加速器的装置（写的过程类似猜想），前半段加速后半段减速，或“白天”加速“夜晚”减速...

除直线加速，也可以通过旋转模拟重力。在空间站旋转的前提下，生活舱外壳提供的径向支持力充当向心力，让人感到一种向着地板的引力（旋转参考系中的离心力），从而以此来模拟重力（这显然不是星球的引力结果）。

如果通过旋转来实现地表重力加速度1g，也是按照地球自转角速度每天旋转一圈来计算，$g=\omega^2r$，$r=g(\frac{T}{2\pi})^2$，计算结果是这个圆环的半径接近2000000km，是地球半径6400km的近300倍，这样来实现人工重力显然是不现实的。

如果人类可以适应高速旋转的话，T=25s时航天器的直径是310m。也有研究表明经过训练，人类可以在26rpm（一分钟转26圈）的转速环境下工作。那样的话航天器的直径将不超过3m。但是，即便生理上能克服头和脚的重力不同，科里奥利力（地转偏向力）的效应也会给如此环境下的太空生活带来极大不便...

目前看太空移民，除了建造更高科技的设备，对找到宜居的星球还是有期待。长久看，人类的进化也是一种可能，弗里曼·戴森有过相关讨论。

·[?]one revolution per minute
·[?]Why Don't We Have Artificial Gravity?
·[?]星际移民第一步:制造人造重力
·[?]全方位的无限

[?]张珉硕:为什么静电常数k记作...
[?]邴楚茗:浅谈约化质量与恢复系数

左卷健男编著
一、力和能量篇（物体是怎样运动的？）
1、胡克定律
罗伯特·胡克是波义耳的助手，后来又称为英国皇家学会的实验室负责人。
不仅弹簧，胡克定律（最初以拉丁字谜的方式公之于众）适用于所有固体。
k，劲度系数，弹簧的韧性。不能恢复原状的范围内称为“塑性”。（比例极限点、弹性极限点、屈服点。）
1Pa的压强下，书桌会收缩二十万分之一。
那个被牛顿抹去的人：当牛顿成为皇家学会主席后，胡克的各种实验仪器和画像全部从皇家学会消失了。胡克生成自己是发现光学理论和万有引力定律的人...胡克是生物最小单位“细胞”的命名者。

2、力的平行四边形定则
荷兰的西蒙·斯蒂文（1548-1620）声称，作用在静止物体上的平衡力适用于平行四边形定则，后来发现运动中受力平衡也适用。这个定则是在阿基米德的研究基础上发展而来的。
伽利略比萨斜塔的实验是斯蒂文做的，是伽利略的弟子将“”伽利略在比萨斜塔上做的落体实验的消息传开的...（1586年曾做实验证明两个重量不同的球同时落下同时到地，时间比伽里略还早。）
1586年出版《静力学基础》

3、万有引力定律
第谷在望远镜尚未发明的时候，就记录了30年的高精度行星数据。
当时，人们只把力看成是物体与物体接触时相互作用的“接触力”，“非接触力”被批判为神秘主义。
万有引力与两物体的化学本质、物理状态以及中介物质无关。即使中间存在第三个物体，该引力也不会受到干扰。（真爱啊）

准确地说，重力是“地球上静止物体所受的力”，是地球万有引力和地球自转离心力的合力。

（离心力有必要强化，那惯性力也是应该引导学生理解的）
亨利·卡文迪许出生在牛顿去世的第四年，父亲和伯母的遗产让他成为英格兰银行最大储户。
单是放置仪器的房间里窃窃私语都会干扰仪器，所以他是通过望远镜在隔壁房间的洞口读取偏转位移的。1798年公布地球质量。（卡文迪什两岁时母亲去世，自幼接受身为英国皇家学会会员的父亲的教育...）（他一生的目标是不引起他人的注意，但这其实最引人注意的地方。）

“Young people must break machines to learn how to use them; get another made!” – Henry Cavendish
法国作家伏尔泰讲述了从牛顿侄女那听到的牛顿是在花园工作时看到一个苹果从苹果树上掉下来从而产生了第一个关于重力的想法...接穗树
4、惯性(inertia)定律
（静止和匀速对应睡觉和无所事事）
那时候大家都认为“与地上不同，天上的天体被上帝赋予了完美球体的性质”。伽利略发明了望远镜，发现月球存在不规则的地方，发现太阳黑子，还发现木星有四颗卫星...（天体并非完美球体，地球也并非宇宙中心。）
“天体的运动是永恒的”这个事实对伽利略的惯性定律最好的证明。
因为摩擦和空气阻力等因素，虽然每个物体都有惯性并符合惯性定律，但我们无法感受它的存在。
5、运动定律
（牛顿第二定律）1687年出版的《自然哲学的数学原理》从编写稿件到出版耗时7年。
质量是干扰加速度的一个要素，这也代表了移动它的难度。
（freefall自由落体不自由）自由落体的失重感觉，是因为产生了与重力反向的惯性力？
6、作用力与反作用力定律
（牛顿第三定律）特殊情况下，也有不属于相互作用的力，如离型力或火车突然停下使人前倾的力。
*7、惯性力
离心力和科里奥利力士我们日常生活中“探测力”法则
傅科摆证明了地球自转。
惯性产生的力被称为惯性力？（惯性力是指一个物体在做加速或旋转运动时受到的力。）使旋转的物体远离旋转中心的力被称为离心力。（因为惯性力实际上并不存在，实际存在的只有原本将该物体加速的力，因此惯性力又称为假想力（fictitious force））
描述对旋转体系中，进行直线运动的质点由于惯性相对于旋转体系产生的直线运动的偏移力，科里奥利力（偏向力）。（在转动参照系中，物体同样受到惯性力。这时惯性力分为惯性离心力和科氏力。若物体对该参照系静止，则只受到惯性离心力。若物体对该参照系运动，除了惯性离心力，还会受到科氏力。）$\vec F=-2m(\vec\omega \times \vec v$)
（惯性力是一种表现力，假设的力，并不真实存在，因为它没有施力物体。运动中的人可以感受到，但站在原地观察的人是感受不到的。）
宇宙飞船内是会失重的，而是意味着刚好平衡了重力的惯性力在相反方向上作用，此时处于惯性力和重力平衡关系（以飞船为参照物）。
8、动量守恒原理
（克里斯蒂安·惠更斯）
从宇宙到微观世界，动量守恒原理是支配我们世界的最基本定律。
笛卡尔和莱布尼兹的“活力辩论”持续了50多年。
*9、角动量守恒定律
表示旋转力度的量称为角动量（角动量是与物体的位置向量和动量相关的物理量）（力矩就等于角动量的时变率）
$L=r\times mv=r\times \omega\times mr=mr^2\omega=I\omega$
（孙浚豪有过开普勒定律的开放课题[?]）
10、钟摆理论
（周期period，用T表示周期，是time）
单摆摆动到45°，周期会偏差4%，摆动90°，周期会偏差18%
在日本，小学五年级就开始学习钟摆的相关知识，在一些课程中，有关于打破“摆的等时性歌德较大角度的实验，如60°或90°的摆动角。当时结果显示摆幅增大了，周期就会变长了。老师则告诉孩子们：如果大家认真做实验的话，周期就会像课本上显示的那样没有变化。”这一事件曾经是社交网络上的热门话题。
伽利略试图制作一个摆钟，但没能完成。在他死后一段时间，荷兰的惠更斯制作完成了第一个摆钟（1656年），用于天文贯彻和航海中，并为科学技术的反战做出了贡献。
摆钟在第二次世界大战期间仍然是计时标准。
11、杠杆定律
轮轴，能连续转动的杠杆。
12、功
伽利略先生发现的“功”在当时就已经从经验中得知了。
使用工具的意义在于提高工作的效率。
一个人相当于一个100W开着的灯泡。
马力是通过让马匹实际执行抽水任务来确定的。美国马力HP大约745.5瓦特，法国马力735.5瓦
13、机械能守恒定律
科里奥利先生创造了动能，并将动能定义为$\frac{1}{2}mv^2$，这个定义中的$\frac{1}{2}$是关键。之前动能被称为“活力”，莱布尼茨将其定义为$mv^2$。势能是威廉·兰金在1853年首次提出的。

14、能量守恒定律
德国的迈尔（1814-1878）是第一个提出能量守恒定律的人。医生的他是从血的颜色思考...
机械能守恒定律是一个在“无摩擦、无声音”的环境中才成立的定律。而能量守恒定律是一个无论是否存在摩擦或声音都成立的定律。

二、电磁学篇
无处不在的无形电流
15、电和电路
大约在2600年前，古希腊的泰勒斯就证实了静电现象。
威廉·吉尔伯特（1544-1603）发现静电的特性和磁性的特性是混在一起的。（伽利略称赞他的著作“伟大得让人嫉妒”。）吉尔伯特把琥珀作为希腊语中的电子一词命名为电。
16、磁学和磁铁
有水手说随着船向北靠近，罗盘的指针向下移动。
吉尔伯特用天然磁铁做了一个像地球那样的圆形磁体，挑战了揭秘“磁针为何指南北”的实验。1600年在《磁石论》发表了研究成果。
磁畴是被磁化的小磁铁。直径为1/100mm
材料大致分为铁磁性材料（成为磁铁的材料）、顺磁性材料（使用超强磁铁时粘在磁铁上的材料）和逆磁性材料（使用超强磁铁时排斥磁铁的材料）
即使已经成为永磁铁的材料，在一定温度下（居里点）也会失去磁性。
17、欧姆定律1827
欧姆是一位神童，从小就备受关注。进入文理中学学习，但因为内容过于简单，便退学了。16岁时就进入了大学。
电压降
18、基尔霍夫定律1845
闭合电路的电势总是返回到它的原始值
当时基尔霍夫只是20岁左右
19、库仑定律
法国
卡文迪许早于库仑10年发现这一定律。
宇宙引力为何如此之弱是物理学的一个谜团。
在氯化钠晶体中，钠离子和氯离子有序地排列在一起，彼此相邻，当这些原子稍有位移时，正离子和正离子或负离子或负离子就会相遇，由于排斥力它们会干净利落地分开，这被称为分裂。
20、焦耳定律
十九世纪四十年代是焦耳、迈尔和亥姆霍兹三人共同努力共同努力确认和发展能量守恒定律的时期。
21、右手螺旋定则
奥斯特的实验是在一所大学给学生做私人讲座时偶然发现的。1820年写了《关于磁针上电冲突作用的实验》的论文寄给了当时世界上主要的学者们。
法国的安培在得知奥斯特的研究后，立即开展了后续测试，并发现“循环运动的电流”与磁铁的作用相同。
安培的密友阿拉戈发现，把钢针放在线圈中兵通过电流时，钢针会变成永磁铁，这是电磁铁的原理（1820）；英国的斯特金永软铁棒替代钢针，用导线将其缠绕，当电流流过，软铁棒变成磁铁（1825）；在美国，约瑟夫·亨利对斯特金的电磁铁进行改进，创造了一种由多层细铜线绕成的强大磁铁（1829）...
22、弗莱明左手定则
1921年法拉第设计了磁铁周围流通电流的铁丝旋转的电磁旋转装置，成为了电动机发明的先驱。
发电机也可以是一个马达，这一发现导致了电气化铁路的诞生，它改变了世界。
23、法拉第电磁感应定律
1831年40岁的法拉第通过实验发现了电磁感应定律。写下了23年的实验笔记。
24、电磁波
法拉第发现电磁的力线可以通过空间传播。
赫兹去世享年37岁，意大利青年马可尼阅读了赫兹的文章，收到启发研究无线电。

三、波篇
25、波的波长和频率
如今世界上的每个人都在使用无线电波进行交流。
波（波动）是一种振动连锁反应现象。
时间和长度的标准是由“电磁波”决定的。
26、声音的三要素
响度是由声压或声强级表示。
音色是由声波的波形（泛音成分的比例）决定的。
成年男性正常说话时，其声音的频率为100-150Hz，女性的200-300Hz
27、波的叠加原理
波的叠加原理是傅里叶分析思想的出发点。
只是传输波的介质在那里振动，波本身并不移动。
波不涉及物质的移动，所以即使多个波相遇，它们也可以相互滑过而不影响对方。
基于傅里叶分析开发的信号转换技术也被用于数字电视广播。
28、惠更斯原理
胡克先生所谓的“以太”理论
根据惠更斯原理，衍射现象，即波绕到墙的背面，也可以得到很好的解释。（我最喜欢它能推到出折射定律的部分。）
1655年，克里斯蒂安·惠更斯用给自己设计的望远镜发现了土星的绕行卫星泰坦，也确认了土星环的存在。
29、反射和折射定律
折射定律由荷兰天文学家斯涅耳发现（1621年），英国的哈里奥特1602年就注意到类似的定律。
折射是由波的速度差异造成的。
通常在水面上方13°（arcsin(340/1500)）内是没有声源的，所以没有来自空气的声音。观众一般不再水面上13°内，所以游泳馆里观众的欢呼声很难传到水中运动员的耳朵里。（水里全反射的锥半角49°）
自行车后面的红色反射器也是利用全反射来增加其反射率的。
50年前的阿波罗计划中，宇航员在月球表面设置的角反射器至今仍能准确地反射地球发射的激光，这有助于精确测量月球的距离。
30、光的波动说和微粒说
1690年惠更斯在《光论》中提出了光的波动说和子波源的概念。
1849年，法国的菲索利用旋转齿轮法成功地测量了光速。这是第一次在地面上测量。1850年傅科用进一步改进的旋转镜法，在实验室成功测量了光速，还在光路中间设置了一个狭长的水箱来测量水中的光速。
1864年，麦克斯韦从理论上证明了光是一种电磁波。
光作为来自恒星的例子，具有与频率成正比的固定能量，那么当它击中感光细胞时，即使数量很少，也能产生刺激。人们能在夜空中看到星星，实际上是光的粒子性质的一种表现。
31、光的色散和光谱
人类眼睛能够感知的波长400-800nm的电磁波被称为可见光。
牛顿的棱镜实验？
谱线是元素识别的一张王牌。基尔霍夫和本生在1859年开发的光谱分析法，使得尽管在非常小的样品中也能识别元素，并加速了新元素的发现。
32、光的衍射与干涉
托马斯·杨作为一名医生，提出人类的视觉是由红绿蓝三原色组成。
光的干涉巧妙地用于读取光盘上的数据。
沟槽是以在基板塑料中光的波长的1/4高度制作。
光盘上的轨道的规则间距就像衍射光栅，造成干涉和白光的色散。而蓝光光盘能够以更高的密度记录，不显示这种彩虹色，是因为轨道间距变得过于狭窄，以至于可见光的波长无法满足干涉的条件。
33、多普勒效应
奥地利的克里斯蒂安·多普勒 $f'=\frac{v\pm v_o}{v\mp v_s}f$
1845年荷兰的白贝罗验证了多普勒效应，一名小号演奏者乘坐由蒸汽机拉动的无盖车厢里，车厢以各种速度运行时演奏者发出一定频率的声音...
汽车的速度可以从频率的变化中计算出来。

四、流体力学
气体和液体是如何运动的？
34、阿基米德原理
阿基米德据说出生在西西里岛的锡拉库扎，那是当时的一个希腊城邦，他在亚历山大城接受教育。

35、帕斯卡定律
帕斯卡提出了一种叫作以太的物质，构成了天体空间。亚里士多德说过，“自然界厌恶真空。”（前面提到是胡克提出）（维基：以太原本是古希腊哲学家亚里士多德所设想的一种物质。19世纪的物理学家，认为它是一种曾被假想的电磁波的传播介质。）
人是一根会思考的芦苇。（帕斯卡年仅39岁就...）
帕斯卡12岁时开始自学几何，就发现三角形内角和180°
36、伯努利原理
动能、重力势能和压力势能的能量之和在流动的任何地方保持不变。
约翰·伯努利把自己的得意门生欧拉送到和儿子丹尼尔·伯努利一起在圣彼得堡的俄罗斯科学院工作。1727-1733年俩人在圣彼得堡一起研究工作，据说这一时期是伯努利作为科学家最具创造力的时期。
草原犬鼠的窝
37、库塔-茹科夫斯基定理
为了将理论上计算出的气流变成实际的气流，需要一个围绕机翼的气流。库塔-茹科夫斯基（他们受到德国的李林塔尔的影响，1896年他的滑翔机失去控制...）意识到，是环量创造了这种气流，在机翼的上侧，理论上的气流方向和机翼走位的方向是相同的，所以它们相加后，流动变更快。相反，在机翼的下侧，二者的流动方向是相反的，因此速度较慢。
38、雷诺的相似律
五、热篇
热量是如何产生的
39、热和温度
在8世纪，科学家们认为热是一种无重量的流体，成为热质。伦福德伯爵，一位制造火药和大炮的工程师...热的本质不是热质，而是运动，是一种能量。
物体获得热运动能量的多少称为热量。
摄氏温度（1742）一个标准大气压下的冰点和沸点是100和0，但由于较高的温度的数字反而小，所以改成了0和100。
40、波义耳-查理定律
波义耳在31岁时得知格里克用马匹进行的马德堡半球实验，于是决定制作一个真空泵。
41、热力学第零定律
麦克斯韦对分子运动论的研究，是以土星环的研究为契机开始的。
42、热力学第一定律
焦耳是一位科学爱好者，小时候没有去学校，都是在家学习。
（1847年英国协会于牛津的会议上，焦耳也做了一个报告，当时的听众中有乔治·斯托克斯、迈克尔·法拉第，以及当时已经被格拉斯哥大学聘为教授的年轻新人威廉·汤姆森（也就是后来的开尔文男爵，Lord Kelvin）。）（焦耳是道尔顿的学生，所以不奇怪他深深信任原子理论...）“趁着白日，我们必须做那差我来者的工；黑夜将到，就没有人能做工了”（约翰 9:4）。
43、热力学第二定律
热从高温物体传递到低温的物体，反之则不会自然发生，自然现象是不可逆的。
从单一热源获取热能并将其全部转化为功是不可能的。
熵的增加。熵是表示现象不可逆的标志，也是作为体系混乱程度的亮度。
$\Delta S=\frac{Q}{T}$
$-\frac{Q}{T_h}+\frac{Q}{T_l}>0$
一个井然有序的图书馆和一个杂乱无章的图书馆，两者都有相同数量的书（能量），但杂乱的图书馆（熵增加）更难用。能量的质量随着熵的增加而降低，使其更难使用。
44、热力学第三定律
温度是否有下限，1905年能斯特就发表了能斯特定理，现在被称为热力学第三定律。
绝对零度不能被创造。
热力学第三定律表示熵在绝对零度时为零。
热力学第二定律只介绍了熵的变化量，而热力学第三定律确定了熵的绝对值。
如果说熵为零，可以说它只固定在单一状态。
尽管有热量流入和流出，但温度保持不变，这被称为临界点。这时吸收和释放的热量被称为潜热。它们被称为熔解热和汽化热。
六、微观篇
45、原子结构
十九世纪末到二十世纪初，英国的开尔文男爵（西瓜模型）和长冈半太郎（单一轨道模型）提出了原子模型及卢瑟福的核式结构模型。
46、原子和分子
atom牢不可破
1826年布朗发表论文《论植物花粉中的微粒》
1905年爱因斯坦发表了《关于热的分子运动论所要求的静止液体中悬浮小粒子的运动》，并确立了布朗运动的理论，后来，法国的贝兰对布朗运动进行了精确的实验。这结束了科学家们关于原子和分子是否真实存在的争论，原子和分子的存在开始被人们所相信，这是爱因斯坦最伟大的成就之一。
47、放射性与放射线

48、核反应
1935年，28岁的汤川秀树创建了核力理论，这是支配原子核内部的强力。
在长崎原子弹爆炸中，1g的质量从地球上消失了。此外，化学反应也会减少质量，但其数量可以忽略不计。
49、基本粒子和夸克
盖尔曼（教科书级的人物出现，不单是没那样的苗子，也没那样的老师，至于土壤和气候在之前就确定了？）
ATOMOS不能分割的东西
19世纪初，法拉第在贵族面前进行电磁感应实验时，一位贵族问他，“用电和电池做的磁铁，东西有可能动一下，但这有什么用呢？”
最先进的“基本粒子”理论在200年前被嘲笑为“胡思乱想”，100年前被嘲笑为“实际上不可能”。
50、光速不变原理和狭义相对论
如果和光一起运动，光是什么样子？
宇宙中唯一绝对不变的是光速。（我是你的光速还是你是我的光速...）

/孙浚豪
求师得数位学习新课题
高中物理对用微积分解决问题一般不作要求，但很多物理问题又无法回避高等数学的背景。本周课题将通过若干题目和示例来展示一些微积分在高中物理中的应用。

一、从匀变速直线运动说起

本周课程就从高中物理的入门篇——匀变速直线运动展开。
对于更简单的匀速直线运动，我们在小学就学习过：路程=速度*时间。毫无疑问地，匀速直线运动的v—t图像是一条水平的线段(即速度恒定)，那么，从0~t时间内，物体运动的路程s=vt的几何意义便是一个矩形的面积。

而对于匀变速直线运动，我们可以将运动分解成n个时间间隔，每个间隔的时间为：$\Delta t$，每个间隔内的最小速度为$v_i$(i=1，2，3，…，n)则每个间隔的位移近似为$x_i=v_i\Delta t_i$，全程的总位移近似为$x=\Sigma x_i=x_1+x_2+x_3+...+x_n$，在几何上$\Delta t_i$体现为所有上的矩形面积和，此时的x小于真实总位移。增大n从而减小$\Delta t_i$，$v_i$更加接近全程的真实速度，则$x_i$更加接近对应的真实位移，x也更加接近真实总位移，矩形面积和也更加接近梯形面积；令n趋近于无穷，则$x_i$和x趋近于真实值，对ｎ取极限后，矩形面积和等于梯形面积。这也就是说：图线与横纵轴所围成图形的面积即为真实的位移。因此直接求得梯形面积，就可算出对应的匀变速运动的位移。其他物理过程同理。

当然，如果$v_i$表示的是每个间隔的最大速度，取和后x大于真实值，但取极限后，x转化为真实值，仍旧体现为图线与横纵轴所围成图形的面积。
分割，化“变”为“恒”获得物理意义；求和，获得宏观近似值；取极限，获得精确值。

★1 模拟回到出发点的匀变速直线运动：v=-t+5
1.1 首先在指令栏输入“f(x) = 如果(0＜=x＜=10,-x+5)”画出v—t图像。
1.2 取原点A(0,0)，B(10,0)，作线段AB，并在射线AB上任取一点C，限定C的横坐标大于0，用C的横坐标来表示时间。
1.3 过C点作x轴的垂线，交f(x)于D，D点的纵坐标就代表t时刻物体的速度。
1.4 取E(0,5)代表物体的初速度$v_0=5$。
1.5 用多边形工具依次选取点C、D、E、A、C得到q1。
1.6 在指令栏输入(0,q1)，纵坐标多边形的面积q1就是我们提到的“v—t图与x轴所成的面积”。至此，我们就得到了一个回到起始点的匀变速直线运动。
1.7 在指令栏输入(x(C),q1)并追踪得到的G点的轨迹，我们就可以得出运动的x—t图像。
1.8 启动点C的动画就可以看到运动的动态的过程。

★2 探究矩形面积和与梯形面积的关系

2.1这里我们使用另一种初速度不为0的匀加速直线运动来进行验证计算：在指令栏输入“f(x) = 如果(0＜=x＜=10, x+1)”画出v—t图像。
2.2 创建滑动条n，最小值设为10，最大值设为100，增量为1。将运动平分为n个时间间隔。
2.3 输入“下和(f,0,10,n)”得到若干矩形的面积和即为：用每段时间间隔内速度的最小值来估算总位移。
2.4 输入“上和(f,0,10,n)”得到若干矩形的面积和即为：用每段时间间隔内速度的最大值来估算总位移。
2.5 输入“积分(f,0,10)”展示出梯形面积，即真实位移大小。
2.6我们可以通过文本框的工具将这几个量显示出来，便于我们观察。拖动滑动条n，不难发现，当n越来越大值，我们做出的“上和”和“下和”的值也越接近积分值。这也符合我们的计算。

二、变加速直线运动

★3 模拟运动：$v=-t^2+2t+3$.
3.1 与上面一样地，在指令栏输入“f(x) = 如果(0＜=x＜=10, -x^2+2x+3)”画出v—t图像。
3.2 取点A(0,0)，B(10,0)在线段AB上取点C，点C的横坐标表示时间t.
3.3 过C点作x轴的垂线，交f(x)于D点，D点的纵坐标表示t时刻物体的速度。
3.4 输入“积分(f,0,x(C))”得到f(x)与x轴所成图形的面积。如果在一个运动中我们规定了正方向，那么当v<0时产生的位移也为负，所以在x轴下方的面积记为负数。
3.5 输入“(0,积分(f,0,x(C)))”得到的E点就可以模拟这一运动，输入“(x(C),积分(f,0,x(C)))”，得到F点并追踪其轨迹，可以得到x—t图像。

3.6 启动C点动画可以看到E点运动情况。
3.6由于速度关于时间的导数表示运动的加速度，在指令栏输入“导数(f(x))”得到的曲线便是a—t图像。

三、简谐运动

★4 简谐运动：v=sin(t)
4.1 根据上面的知识，我们画出一个周期内的v—t图像。“f(x) = 如果(0 ≤ x ≤ 2π, sin(x))”
4.2 在x轴上取点：A(0,0)，B(2π,0)，连接线段AB，并在AB上取点C，点C的横坐标表示时间。
4.3 过C做x轴的垂线，交f(x)于点D，点D的纵坐标表示物体的速度，CD扫过的面积即为物体的位移(x轴上方为正)。
4.4 输入“积分(f, 0, x(C))”表示出物体的位移，我们不难发现，当x(C)= π时，物体的位移达到最大值，此后，D点纵坐标值为负，物体位移开始减小。
4.5 输入“积分(f, 0, π)”，GeoGebra会给出：b=2，即为物体做简谐运动的两个最远位置之间的距离，也即为振幅的二倍。
4.6 输入(a-1,0)，即得到以原点为平衡位置的一个简谐运动。

四、雨滴下落模型

在雨天，我们可以看到无数雨滴落下，我们不禁就会想到，雨滴从如此高的云层落下，为什么速度却没有我们想象中的那么快呢？这其实是因为雨滴所受到的空气阻力并不是恒定的，而是与速度相关联，所以雨滴下落并不是匀变速直线运动。当雨滴速度增加，所受到的空气阻力也会变大，从而雨滴的加速度减小，直至达到最大速度，(即“收尾速度”)。

·阻力与速度成正比的运动：
我们假设雨滴下落过程中阻力与速度成正比，f=-kv
根据加速度的定义$a=\frac{dv}{dt}$：
我们可以列出微分方程：
$mg-kv=m\frac{dv}{dt}$
在GeoGebra中有工具：“解常微分方程( ＜f '(x, y)＞, ＜f 上的点＞ )”
其中：f’(t,v)= (mg-kv)/m，再根据初始条件：当t=0时初速度为v_0；所以我们可以确定(0,v_0)在v—t图像上。
同样地，根据：
$v=\frac{dx}{dt}$
我们可以求出x与t的关系。
下面我们来操作一下：

★5 阻力与速度成正比的运动。
5.1 在代数区建立滑动条g=10，m=1，k=2，v_0=0.我们以竖直向上为正方向。
5.2 在指令栏输入“解常微分方程((-mg+ky)/m,(0,v_0))”可以得到v—t的关系；再输入“解常微分方程(f(x), (0, 0))” 可以得到x—t的关系h(x)

5.3 建立滑动条t，表示运动时间，在指令栏输入“(0,h(t))”描出雨滴的位置。
由于运动的速度较大，不便于屏幕中显示，因此我们也可以进行适当的缩放。
5.4 这里面，f(t)就代表雨滴的瞬时速率，|k f(t)|即为雨滴受到加速度的大小。
5.5 我们可以在图中用矢量标记出雨滴的受力情况，这里留给大家自行尝试。

5.6 改变v_0的值，可以模拟考虑空气阻力的上抛运动，找到x—t图像与x轴的交点，可以看出物体落回地面的时间，进而还可以看出落回地面的速度。另外，物体落回地面，也即位移x=0，所以图中两块阴影面积大小相等。

到这里，我们看似已经解决了雨滴下落问题，然而，空气阻力与速度成正比只是我们的一种近似。其实，在实际问题中，我们还会遇到某些模型的阻力近似与速度的平方成正比。
☆5.a大家可以尝试模拟f=-kv^2的运动模型。
☆5.b如果初速度不是竖直方向，那么对x方向也是相同的方法，大家可以尝试初速度为v_0，与水平方向夹角为θ的斜上抛，f=-kv
☆5.c 更广泛地，阻力与速度相关联的运动不止雨滴下落模型这一种，在电磁感应滑轨模型中安培力与速度也是关联的。现在列出以下几种电路的答案，抛砖引玉，感兴趣的同学可以尝试：

$v=v_0e^{-\frac{B^2L^2}{mR}t}$
$x=-\frac{mRv_0}{B^2L^2}e^{-\frac{B^2L^2}{mR}t}+\frac{mRv_0}{B^2L^2}$

$v=\frac{B^2L^2v_0}{B^2L^2C+m}e^{-\frac{B^2L^2C+m}{RmC}t}+\frac{mv_0}{B^2L^2C+m}$
$x=-\frac{B^2L^2v_0mRC^2}{{(B^2L^2C+m)}^2}e^{-\frac{B^2L^2C+m}{RmC}t}+\frac{mv_0}{B^2L^2C+m}t+\frac{B^2L^2v_0mRC^2}{{(B^2L^2C+m)}^2}$

$v=\frac{E}{BL}(1-e^{-\frac{BL}{mR}t})$
$x=\frac{E}{BL}t+\frac{mRE}{B^2L^2}e^{-\frac{BL}{mR}t}-\frac{mRE}{B^2L^2}$
张珉硕:动杆问题的一般方程组[?]

五、卫星轨道

如图所示，在离地面一定高度水平抛出一物体，当初速度小于第一宇宙速度时，物体沿椭圆曲线a1、a2落地；当速度为第一宇宙速度时，物体沿圆轨道b运行；当初速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间时，物体沿椭圆轨道ｃ运行；初速度等于第二宇宙速度时，物体沿抛物线轨道ｄ离开地球，大于第二宇宙速度时物体沿双曲线ｅ离开地球。

为了模拟这一现象，可先由牛顿第二定律和几何关系，建立微分方程组：
$\left\{\begin{array} { c } { v _ { x } = \frac { d x } { d t } } \\{ v _ { y } = \frac { d y } { d t } } \\{ r = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } }\end{array} \quad \left\{\begin{array}{c}a=\frac{d v}{d t}=-\frac{G M}{r^{2}} \\a_{x}=\frac{d v_{x}}{d t}=-\frac{G M}{r^{2}} \frac{x}{r} \\a_{y}=\frac{d v_{y}}{d t}=-\frac{G M}{r^{2}} \frac{y}{r}\end{array}\right.\right.$
下面我们就可以利用GeoGebra进行动画模拟：
我们基于“解常微分方程组”的指令，模拟天体运动。

6.1 在代数区中定义参数滑动条，为方便起见，可设G＝1，M＝10，m=1，环绕天体初始位置的横坐标x_{01}=10，纵坐标y_{01}=0，初速度水平分量v_{x01}=0，竖直分量v_{y01}=1.

6.2 根据微分方程分别输入:
“v_{x1}'(t, x_1, y_1, v_{x1}, v_{y1}) = -(G M) x_1 / ((x_1)² + (y_1)²)^(3/2)”
“v_{y1}'(t, x_1, y_1, v_{x1}, v_{y1}) = -(G M) y_1 / ((x_1)² + (y_1)²)^(3/2)”
“x_{1}'(t, x_1, y_1, v_{x1}, v_{y1}) = v_{x1}”
“y_{1}'(t, x_1, y_1, v_{x1}, v_{y1}) = v_{y1}”

6.3 再使用GeoGebra的“解常微分方程组”指令输入：
“解常微分方程组({x_{1}',y_{1}',v_{x1}',v_{y1}'},0,{x_{01},y_{01},v_{x01},v_{y01}},1000)”

直接输入后，软件会自动分别给出“x_{1}--t”、“y_{1}--t”、“v_{x1}--t”、“v_{y1}--t”的图像，自动命名为：“numericalIntegral1”、“numericalIntegral2”、“numericalIntegral3”、“numericalIntegral4”。指令中第一部分是导数列表，第二部分的“0”为t的初始值，第三部分分别是t=0时的“x_{1}”、“y_{1}”、“v_{x1}”、“v_{y1}”的值，第四部分的1000为t的终止值。

6.4 输入“l = 长度(numericalIntegral1)”给出构成图像的点的数目。
输入“t'=滑动条(0, 1, 1/l)”，其中1/l为增量，这样t'每次增加都会对应于“numericalIntegral1”中的下一个点。

6.5 接着设中心天体所在位置为“E=(0,0)”。
为了得到环绕天体的位置，先输入“B =描点(numericalIntegral1, t')”，得到(t , x_{1})点，该描点指令中第二个t'是路径值，取值在0~1之间，决定了取值在numericalIntegral1中的相应位置，例如，若取“0”则为第一个点，“1”则为最后一个点，“1/l”则为第二个点。
再输入“C =描点(numericalIntegral2, t')”，得到(t , y_{1})点
输入“D=(y(B),y(C))”即可得到环绕天体的位置坐标。
最后，启动t'动画，即可观察到环绕天体的运动。t'乘上1000就是模拟时间t。

6.6 这样我们就得到了地球卫星的运动模拟动画，调整滑动条t'的速度以便于观测，也可以选择跟踪卫星S的轨迹，添加按钮更方便操作……
6.7 解微分方程后得到四条曲线，其中1和2表示x，y的位置坐标，3和4分别表示速度在x，y方向上的分量，所以卫星的速度应该就是:

6.8 通过这个模型，我们可以探究开普勒第二定律。如果想要描出等时间间隔的卫星位置就需要用到指令“序列( ＜代数式＞, ＜变量＞, ＜起始值＞,＜终止值＞, ＜增量＞ )”
建立滑动条间隔数量n。在指令栏输入：“l1=序列(描点(numericalIntegral1, a), a, 0, 0.5, 0.01)”描出每个时刻对应的B点；输入“l2=序列(描点(numericalIntegral2, a), a, 0, 0.5, 0.01)”描出每个时刻对应的C点；输入“l3=序列((y(元素(l1, b)), y(元素(l2, b))), b, 1, n, 1)”描出每个时刻的卫星位置。
这里有另外一个指令“元素( ＜列表＞, ＜元素位置＞ )”例如，列表l1的第一项可以用“元素(l1,1)”来表示。

6.9 输入“圆锥曲线(元素(l3, 1), 元素(l3, 2), 元素(l3, 3), 元素(l3, 4), 元素(l3, 5))”来描出卫星运动轨道。由于没有工具可以直接画出椭圆焦点与椭圆上两点连成的封闭图形，所以我们需要做出一定的变化。取圆锥曲线c与x轴的两个交点，并取这两个点的中点M。输入“l4=序列(扇形(c, 元素(l3, t), 元素(l3, t + 1)), t, 1, n - 1, 1)”可以描出M点与c上相邻两点组成的封闭图行；输入“l5=序列(多边形(M, 元素(l3, t), 元素(l3, t + 1)), t, 1, n, 1)”可以描出M点与c上相邻两点连成三角形的面积。二者相见就得到c上相邻两点形成的类似“弓形”的面积，其再加上该两点与焦点连成三角形的面积，即为地球与卫星连线扫过的面积。所以，输入“l6=序列(多边形(E,元素(l3, t),元素(l3, t + 1)), t, 1, n, 1)”、“l7=序列(元素(l4, t) - 元素(l5, t) + 元素(l6, t), t, 1, n, 1)”其中，l7中各项即为一个时间间隔内扫过面积。

6.10 我们打开代数区，查找l7数据，发现l7中每一项都相等，这便验证了开普勒第二定律。


六、传送带—滑块模型

Tip：该题目涉及较多的参量，模拟较为复杂，限于篇幅，本文无法一一阐述其中原理，细节部分留给各位读者思考其背后原理。

7.1 建立滑动条(或数字)：斜面长度L；传送带速度v；重力加速度g=10；摩擦系数μ；滑块初速度v_0；相对速度：dv_0=v_0-v；距斜面底端距离b；斜面倾角θ；时刻t.

7.2 做出 函数q_1(x)=如果(x≥0, L - b)；
数字t_2=(-dv_0) / (μ g cos(θ) - g sin(θ))；
数字a_1=g sin(θ) + μ g cos(θ)；
函数h_1=如果(0 ≤ x ≤ dv_0 / a_1, v_0 x - 0.5a_1 x², 如果(x > dv_0 / a_1, v_0 dv_0 / a_1 - 0.5a_1 (dv_0 / a_1)² + v (x - dv_0 / a_1)))；
数字a_3=μ g cos(θ) - g sin(θ)；
函数s_1=如果(0 ≤ x ≤ t_2, v_0 x + 0.5a_3 x², 如果(x > t_2, v_0 t_2 + 0.5a_3 t_2² + v (x - t_2)))；
数字a_2=a_4=g sin(θ) - μ g cos(θ)；
函数p_1=如果(0 ≤ x ≤ dv_0 / a_1, v_0 x - 0.5a_1 x², 如果(x > dv_0 / a_1, v_0 dv_0 / a_1 - 0.5a_1 (dv_0 / a_1)² + v (x - dv_0 / a_1) - 0.5a_2 (x - dv_0 / a_1)²))；
函数f_2=v_0 x - 0.5a_4 x²；
函数g_2=如果(μ ≥ tanθ, h_1, p_1)；
函数h_2=如果(μ ≥ tanθ, s_1, f_2)；
函数p_2=如果(dv_0 ≥ 0, g_2, h_2)；
函数r_1=如果(x ≥ 0, -b)。

7.3 做出 点Z=交点(p_2, r_1, 0, 50)；建立滑动条滑块尺寸s；滚轮半径r；任意取点A作为传送带底部轴心；以A为圆心，r为半径作圆d；作点B=A + (L cos(θ), L sin(θ))作为传送带顶部轴心；以B为圆心，r为半径作圆c；连接线段AB(f)；过点A作AB的垂线h；c与h的交点E、F；方向向量s=(cos(θ), sin(θ))；点J=F + (b cos(θ), b sin(θ))；过点A作AB的垂线g_1；d与g_1交点C、D；连接线段DF(i)；作直线eq1：x = x(A)；eq1与圆c交点G、H；点I= H + (L, 0)；连接线段HI(k)；数字b_1=1/2 s；点K= J - b_1 (cos(θ), sin(θ))；点M= J + b_1 (cos(θ), sin(θ))；做出poly1=多边形(K, M, 4)；

7.4 作点X=如果(0 ≤ t ≤ dv_0 / a_1, J + s (v_0 t - 0.5a_1 t²), 如果(t > dv_0 / a_1, J + s (v_0 dv_0 / a_1 - 0.5a_1 (dv_0 / a_1)² + v (t - dv_0 / a_1))))；
点P=如果(0 ≤ t ≤ dv_0 / a_1, J + s (v_0 t - 0.5a_1 t²), 如果(t > dv_0 / a_1, J + s (v_0 dv_0 / a_1 - 0.5a_1 (dv_0 / a_1)² + v (t - dv_0 / a_1) - 0.5a_2 (t - dv_0 / a_1)²)))；
点Q=如果(μ ≥ tanθ, X, P)；连接线段CE(j)；
作k与j的夹角α；
点R=如果(0 ≤ t ≤ t_2, J + s (v_0 t + 0.5a_3 t²), 如果(t > t_2, J + s (v_0 t_2 + 0.5a_3 t_2² + v (t - t_2))))；
点S= J + s (v_0 t - 0.5a_4 t²)；
点T=如果(μ ≥ tanθ, R, S)；
点U=如果(dv_0≥0, Q ,T)；
多边形poly1'=平移(poly1, 向量(J, U))；

7.5 设数字t_1=dv_0 / a_1；点W=交点(p_2, q_1, 0, 50)；
数字o=如果(x(W) / x(W) ≟ 1, x(W), 120)；
数字u=如果(x(Z) / x(Z) ≟ 1, x(Z), 120)；
数字w=最小值(o, u)；
函数q_2=导数(p_2, x)；
函数r_2=如果(0 ≤ x ≤ w, q_2(x))；
函数s_2=如果(0 ≤ x ≤ w, p_2(x))；
点V= (t, s_2(t))；点A_1= (t, r_2(t))；点B_1= (t, v)；点C_1= (t, v t)；点D_1= (w, v)；点E_1= (0, v)；点F_1= (t, v t)；点G_1(0,0)；连接线段A_1B_1(a)；连接线段C_1V(e)；连接线段B_1E_1(f_1)；连接线段F_1G_1(i_1)；

7.6 过点J作i的垂线；以J为圆心，b_1为半径作圆c_1；c_1与j_1的交点I_1、H_1；作向量u_1=平移(向量(J, U), I_1)；点K_1=形心(poly1')；向量J_1=平移(向量(r_2(t) s), K_1)；函数r_2’=导数(r_2)；作点L_1=(t, r_2'(t))；点M_1=(t, 0)；作线段L_1M_1(k_1)；f_3=v；点N_1=交点(r_2, f_3, 0, 100)；点O_1=(x(N_1), s_2(x(N_1)))；点P_1=(x(N_1), r_2'(N_1))；点Q_1=(x(N_1), 0)；连接线段O_1Q_1(l_1)；线段N_1Q_1(m_1)；线段P_1Q_1(n_1)；数字d_1=线段(O_1, Q_1)；e_1=如果(d_1 / d_1 ≟ 1, d_1)；作点G’=旋转(G, -v t / r, A)；H’=旋转(H, -v t / r, A)；c_2=圆扇形(A, G', H')；d_2=圆扇形(A, H', G')；e_2=平移(d_2, 向量(A, B))；k_2=平移(c_2, 向量(A, B))；函数g_3=如果(0 ≤ x ≤ t, v x)；

7.7其实，滑块相对于传送带的位移也是可以用一个量来表示的，应用GeoGebra的“积分介于( ＜函数＞, ＜ 函数＞, ＜x -起始值＞, ＜/x＞＜x -终止值＞ )”指令，可以表示夹在两函数之间的图形面积，大家可以自行尝试。

·作业内容：
★必做题目：
1，回到出发点的匀变速直线运动：v=-t+5
2，探究矩形面积和与梯形面积的关系
3，变加速直线运动：
4，简谐运动
5，雨滴下落模型

★选做题目：
1，雨滴下落拓展：f=-kv^2的运动
2，初速度为v_0，与水平方向夹角为θ的斜上抛，f=-kv
3，探究几种电磁感应金属棒的运动
4，尝试模拟汽车恒功率启动过程
5，构造地球卫星运动模型

☆挑战题目：
尝试模拟传送带—滑块动画

致谢：
假期伊始，新课题的编写被提上日程，到这篇让我掉了不少头发的文章正式完稿，感谢所有鼎力支持新课题推进的朋友。在最后一周课题“付梓”之际，首先我要万分感谢我的指导老师——qiusir。从任务的选取到框架的制定，从学术支持到技术编辑，qiusir都给予了我前所未有的支持。同时感谢江苏仪征李夏岩同学为本周课题进行首次试验，并提出宝贵建议；感谢侯明玄同学和黄鑫阳同学为本周课题录制首批助教视频。

参考文献：
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[2]秦智,曲峰林.基于GeoGebra的微积分可视化教学[J].高等数学研究,2022,25(06):83-86.
[3]陈婧,张东海,王晓锋.GeoGebra在高职微积分概念教学中的应用举例[J].中国教育技术装备,2017(10):42-45.
[4]朱亚军.借助GeoGebra深度剖析一道调研测试题[J].物理教师,2022,43(12):90-91+94.
[5]何秋静,杨文韬,王晓雅等.新冠疫情下“停课不停学”的大学物理GeoGebra仿真单摆实验[J].大学物理实验,2021,34(01):87-91.DOI:10.14139/j.cnki.cn22-1228.2021.01.023.
[6]涂世超. MBI模式下利用GeoGebra软件在高中物理中的可视化教学研究[D].贵州师范大学,2023.DOI:10.27048/d.cnki.ggzsu.2023.000425.
[7]阻力与速度成正比的运动

为保障新课题的按时交付，本人仔细研读了有关问题的各类文章，写作期间未敢不全力以赴。尽管如此，只怕本人能力所限，到头来或难免真知灼见鲜有，错误纰露不断，所以请各位读者可用批判之眼光看待此文。欢迎各位读者提供宝贵意见。

新课题仍在完善中……
“Me importa más cómo ser una persona amable que ser una persona excelente.”
(比起做一个优秀的人，我更在乎做一个善良的人。—梅西)

2023年8月15日深夜 于家中
豪