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动量(Momentum)和冲量(Impulse)


新交通法对司机和乘坐人员不系安全带都有处罚规定。网上见过不少交警支队的官方微博转发这样的文字材料,收音机里也有播类似的公益广告:

高速行驶的车发生碰撞紧急制动时,产生巨大惯性(力),使驾驶员、乘客与车内的方向盘、挡风玻璃等物体发生二次碰撞安全带能将驾乘人员束缚在座位上,其缓冲作用能吸收大量动能减轻对驾乘人员的伤害。

从物理的角度,同学们能从上面的文字中注意到什么细节?有什么思考或发现什么问题?(加黑的关键词...)
1、物理上的惯性只与质量有关,产生巨大的惯性的说法基本上相当于瘦子能被撞成胖子,要知道红肿并不增加质量。
2、惯性力的提法是为了使得牛顿运动定律的表达式在非惯性系也成立而假定的一个力(虚力,比如离心力),并不存在。
3、除了安全带的保护还有安全气囊...
我们的问题是这些保护措施为什么能减轻伤害?文中提到“动能”,那我们就先回顾下高一时用牛顿第二定律(F_{n}=ma)推到动能定理的过程:
F=m\frac{{v_{2}}^{2}-{v_{1}}^{2}}{2x} Fx=\frac{1}{2}m{v_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{v_{1}}^{2} W={E_{k2}-E_{k1}}=\Delta{E_{k}}

F=m\frac{v_{2}-v_{1}}{t} Ft=m{v_{2}-mv_{1}} I={p_{2}-p_{1}}=\Delta{p}

a(v,t)替代a(v,x),类比之前的动能、功和动能定理,动量、冲量和动量定理在形式上的呼应似乎并无违和感。

例1(动能和动量的联系E_k=\frac{p^2}{2m})(可以不用)
匀速圆周运动的物体,下面的物理量是否发生变化?动量?动能?合外力?合外力的功?合外力的冲量?
冲量是过程量,静止的物体合外力的冲量为零,但某个力比如重力的冲量不为零;动量是状态量,同样具有矢量性(向量)。(动能不变动量可能变,那动量不变动能是否变化?)动量和冲量的单位?(kgm/s,Ns 就如功和动能的量纲也是相同的,很奇怪动量和冲量的单位没有像动能或功用一个著名的物理学家名字表示)(x t v a m F W E_k I p 包括从量纲看物理量间的关系)

运动强弱描述究竟是用动能\frac{1}{2}mv^{2}还是动量mv十七十八世纪,力和动量、功等概念被混淆,尽管前面的推导相对简洁,但有关这两个概念的认识却有着曲折的经历。知识体系不是一开始就清晰的,就如罗马不是一天建成的,更不是一个人建成的。
最先提出动量概念的是法国人笛卡尔,他认为动量是描述运唯一正确的物理量(他继承了伽利略的说法忽视了速度的方向,牛顿做了修改)。而德国人莱布尼兹认为动能(mv^{2})才是宇宙中真正守恒的东西(后根据科里奥利的建议修订为\frac{1}{2}mv^2代替mv^2),他甚至用“死力”和“活力”来区分动量和动能。而现在的理论认为动量守恒有更广泛的适用范围(考虑到相对论效应,\vec{F}=\frac{d(m\vec{v})}{dt}要比\vec{F}=m\vec{a}更具有普遍意义)。

这里有个小问题,冲量的符号是I(Impulse),而动量(Momentum)的符号是p而不是m?一方面m更多时候被用来表示质量(Mass),另一方面和动量的拉丁语首字母p(petere)有关。(也有一种说法是因为p和q镜像对称,比如用+p=-q表达牛顿第三定律就很有创意。)

例2(加强合外力理解)
质量1千克的小球从20米高处自由下落,和地面碰撞0.1s后静止(反弹5米高,这个说法并不严谨),求小球和地面碰撞的平均作用力?(如果碰撞时间是0.01秒?)
作用力相当于21/201/31...倍的小球重力?想想气垫的缓冲也是这个道理...
前面材料中提到的“碰撞”或“紧急制动”是作用时间很短的过程,由动量定理可知作用力会很大,通常又不需要了解每一个瞬间的力,才有必要引入冲量的概念。而“安全带”的“缓冲”无非是通过“增加碰撞时间”来“减少冲击力”“减轻伤害”(安全带可不是一直都是随意抽拉的,预紧器)。类似的还有拳击手套(减轻彼此的伤害,增加观赏性,脑补下不戴手套拳击的场景,斗鸡...),汽车设计上还有碰撞缓冲区等,反过来我们钉钉子用铁锤子而不是用皮锤~

大上周国家总理答记者问提到中国的经济不会硬着陆,作为经济学术语有其特定的含义,不过用物理的逻辑来理解,大概是作为世界第二大经济体如果经济长期慢减会是全球性灾难(一个三峡水库蓄水都会对地球自转有影响)。

例3(加强矢量性理解)
光滑水平桌面上,质量1kg速度10m/s的小球与竖直挡板成37°,碰撞后等速反弹(类似台球和光的反射),碰撞时间为0.1s,求它对挡板作用力的大小。(矢量差是指向被减数...)

例4(冲量和功的一致性)(最难题目)
弹性系数为k的弹簧被压缩x后释放能使得质量为m的物块获得的速度最大值?
我们尝试从两个角度来解决这个问题。
1、由动能定理\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}mv^{2}v=\sqrt\frac{k}{m}x
\frac{1}{2}kx^{2}完全可以比照匀变速运动类比v-t图得位移公式得到(所谓积分的思想W=\int{Fdx}无外乎F-x的图像面积)。
2、那是不是可以通过F-t图像的面积(I=\int{Fdt})来求冲量呢?当然!
前面刚学过弹簧振子的位移时间图像(x(t)=A\sin(\omega t),类比正弦交流电(i(t)=I_m\sin(\omega t)的平均电流的结论\overline{I}=\frac{2}{\pi}I_{m},由F_{max}=kx,我们很容易得到\overline{F}=\frac{2}{\pi}kx
在四分一个周期内套用动量定理,\overline{F}t=\frac{2}{\pi}kx\cdot2\pi\sqrt\frac{m}{k}\cdot\frac{1}{4}=mv
同样可得 v=\sqrt\frac{k}{m}x (也可以用物理方法来逆推积分的结论)。
如果说功是力对空间的累计,那冲量是力对时间的累计,他们对物理现象解释的结果是自洽的。同样的弹簧振子受力,F-x图像是正比例函数,F-t是正弦函数,图形的面积都能从必修内容找到对应。

例5(强化F-t图像面积和冲量动量的矢量性)(备选题目)
回到最初的运速率圆周运动模型,物体在水平面内作匀速圆周运动整整一周(四分之一周)。有同学说速度没变动量总是守恒,也有同学说向心力恒定,飞行一周向心力的冲量F\cdot t=\frac{mv^2}{r}\cdot \frac{2\pi{r}}{T}
关联3-4学习的圆周运动的投影是简谐振动,通过F_x-tF_y-t图像一个周期内面积为零可以得到合外力冲量为零的结论(圆的对称性,每个位置都有对应的矢量冲量相抵消)(四分之一周期内动量的变化,除直接求动量变化量,也可以通过冲量来解:\frac{2}{\pi}\frac{mv^2}{r}\frac{2\pi}{4\omega}=m\Delta{v} \Delta{v}=v)。


回头再看那段交警支队转发的文宣,
4、碰撞或紧急制动都是作用时间短导致作用力很大,所以才需要安全带的缓冲(不是固定)。
5、安全带、安全气囊外,汽车发动机舱并不是越牢固越好,汽车有碰撞缓冲区的设计等。
6、吸收大量的动能是力在位移上积累的做功过程(反弹题目不严谨此处或有能提出疑问),承受住很大动量(变化)是力在时间上的积累的冲量过程。
......
尽管有惯性或惯性力表述上有小瑕疵(把产生巨大的惯性改成巨大的冲击力似乎更好一点),这段话里的不少词汇还是用了不少心思(粉笔凸显关键词)。好好学习物理,成不了物理学家,或许可以写得出很严谨的文案。一个更讲(物)理的社会,法制才更有意义。
换做是你会怎么样写这样的文案呢?
3.29每周一课 后楼一阶梯教室,高二十班
课堂细节甚至总体逻辑都有出入......

On this day@qiusir blog

2 Responses to “Impulse & Momentum”

  1. qiusir Says:

    1、感谢刘师哥“有理有力有节”的评课,很遗憾没有录音。
    2、感谢杨专家的鼓励,首席......
    3、感谢杨同事的讲座、米国大片......
    4、把总理说成Wjb不知Lkq的没啥,我就不知道沈阳市长辽宁省长......

  2. qiusir Says:

    http://www.neyc.cn/Item/19617.aspx

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