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最近在讲电场,翰铮同学分享他看学习心得,说有老师用“臭脚丫”类比电荷,臭味是看不见的那种物质...后来在日语班上课,还特地让打篮球的苏同学拖鞋,如果付出闻点味道的代价就能很好理解“field”倒也合算。
后来我觉得用榴莲代表带电物体可能更好,有人对榴莲的味道喜欢的不得了,而有人则唯恐避之不及,相当于同一点正负电荷受力相反...
尽管我本人不曾吃过榴莲,很多年前还写过关于它的心得:
@qiusir:榴莲似乎可以用来形容一种人,粗硬多刺的外表却裹着柔软丰实的心。不少人被其外表所拒,而能触及其内在的也未必受得那气味,但对敢能享食者来说却多有水果之王之美誉.
@qiusir:有的知识也如榴莲,不畏其表不惧味,能敢食之方知其美味.

电场和引力场中的势能问题是另一个难点。在学习这件事上,也很能体现困难源自美德(深究悉讨)...
1、引力势能
\int\frac{1}{r^2}dr=-\frac{1}{r}
E_p=-\int F\cdot dx
E_p(r)=-\int_{\infty }^{r}-\frac{GMm}{r^2}dr
E_p(r)=-\frac{GMm}{r}
2、重力势能
以地面为零势面(通常是以保存力为零的位置为零势面,这里是为了表达式简洁和方便,就如通常以地面为参照物一样)
E_p=-\frac{GMm}{h+R}-(-\frac{GMm}{R})
E_p=\frac{GMm}{R}-\frac{GMm}{R+h}
E_p=\frac{GMm}{R}(1-\frac{1}{1+\frac{h}{R} })
如果物体在地球表面附近,h\llR,\frac{1}{1+\frac{h}{R} } \approx 1-\frac{h}{R}
E_p\approx\frac{GMm}{R^2}h
所以有E_p\approx mgh,也就是有心力场局部近似为匀强的引力场。
3、电势能
类比万有引力F=\frac{GMm}{r^2}和库仑定律F=\frac{kQq}{r^2}
不难得出对于异种电荷间的电势能和引力势能具有相同表达式,E_p(r)=-\frac{kQq}{r}(此处Q,q仅指电量大小)
如果考虑到电荷的正负问题,以及r的方向问题,库仑定律更一般表达\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}}  \over F}  = k \frac{{Qq}}{{{r^2}}} \hat{r} ,Qq是包含电性正负的...(\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}}  \over F}  =-G \frac{{Mm}}{{{r^2}}} \hat{r}


电势能的表达式:E_p(r)=\frac{kQq}{r}
由电势的定义式\varphi =\frac{E_p}{q},也就方便得出点电荷的电势决定式:\varphi =\frac{kQ}{r}
如此容易理解,正电荷的电场电势为正,负电荷的电场电势小于零;负电荷在负电荷电场的电势能大于零...对等量异种电荷中垂线为零势能面,除了用电场力方向理解,用\varphi =\frac{kQ}{r}+\frac{-kQ}{r}=0理解更直接...

套用点电荷电势的方程,可以得出关于两个关于y轴对称的点电荷在平面某点的电势:
\varphi_n=\frac{k_0Q_1}{\sqrt{(x+l)^2+y^2}}+\frac{k_0Q_2}{\sqrt{(x-l)^2+y^2}}
电场是保守力场...电场线方程和等势面方程互为共轭调和函数(不懂,安排远卓等同学暴力求解去了)...
\psi_n=\frac{k_0Q_1(x+l)}{\sqrt{(x+l)^2+y^2}}+\frac{k_0Q_2(x-l)}{\sqrt{(x-l)^2+y^2}}
根据上年的两个方程,用GeoGebra的曲线“序列”就可以绘制上图了...
另,最近这里[?]发现这张图,按照这里物理量表达习惯略微做了修改(日本教材中,U代表势能,而电势用V表示):

关于电势的高低,用地势的高低类比,而等势面和地里的等高线类同...



On this day..

3 Responses to “引力势能和电势能”

  1. qiusir Says:

    参考:
    https://zhuanlan.zhihu.com/p/150129957
    https://zhuanlan.zhihu.com/p/148638744
    https://max.book118.com/html/2017/0721/123376408.shtm

  2. qiusir Says:

    https://alienkevin.github.io/electric-fields/

  3. qiusir Says: