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无限长摆长单摆的周期···

教学|〖基础物理〗 金庆辰 2025

JQX/进取芯 席明纳第7期（2025.5.8）

无限常摆长单摆周期问题

零、关于 T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}
这个公式是Qiusir在JQX第四期与新疆部学生进行头脑风暴时用到的公式。
根据天体运动中万有引力充当向心力，可以推导近地卫星（贴地卫星）的周期公式，为 T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}} ，这个公式很容易让人想到摆长为R单摆的周期，可事实上是这样吗？

一、关于 T = 2\pi\sqrt{\frac{r}{g}}
后来讨论的过程中，学生提到他想表达的公式是这个。这个公式可以看做一个小球在圆轨道做小振幅往复运动的周期（等效单摆）。

二、从能量角度推导简谐振动的动力学方程和单摆周期公式
1. 简谐运动
简谐运动满足能量守恒方程： \frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}=E ，
简化这个方程，即当动力学方程满足 \frac{k}{m}x^{2}+\dot{x}^{2}=C （ C 为常数）时，可判定为简谐运动。其中， \frac{k}{m} 定义为角频率 \omega 的平方。
2. 单摆
选取单摆摆动的最低点作为重力势能零点。对于摆角为 \theta 的任意位置，根据机械能守恒定律，单摆系统的总能量 E 满足方程 \frac{1}{2}mv^{2}+mg(l - l\cos\theta)=E ，其中 m 为摆球质量， v 为摆球线速度， l 为摆长， g 为重力加速度。
根据圆周运动线速度与角速度关系 v = \omega l ，且角速度 \omega 可表示为摆角 \theta 对时间的一阶导数 \omega=\dot{\theta} ，同时，利用小角度近似条件（当 \theta\approx0 时）， \cos\theta 可展开为 \cos\theta\approx1-\frac{\theta^{2}}{2} 。
将上述关系代入能量方程，可得： \frac{1}{2}m\cdot\dot{\theta}^{2}\cdot l^{2}+mg\cdot l\cdot\frac{\theta^{2}}{2}=E

由于在小角度下 \theta\approx\frac{x}{l} （ x 为摆球偏离平衡位置的水平位移），将其代入上式，整理后得到： \dot{x}^{2}+\frac{g}{l}x^{2}=C 。对比简谐运动的动力学方程，可得出单摆运动的角频率 \omega^{2}=\frac{g}{l} 。

可得到单摆的周期公式： T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

三、无限摆长问题的提出
我们知道单摆的周期公式是 T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} ，现在我们来思考一下，当摆长 l 趋于无穷大，还有当摆长 l 等于地球半径的时候，这个周期会是多少呢？
我们先来推导一下单摆周期公式。
当单摆的摆角 \theta 极小时，重力沿圆弧切线方向的分力 F = mg\sin\theta 作为回复力。

由于摆角 \theta 极小，此时 \sin\theta\approx\theta ，且 \theta=\frac{\overset{\frown}{OP}}{l}\approx\frac{x}{l} ，有回复力 F = - \frac{mg}{l}x 。设 k = \frac{mg}{l} ，则回复力 F=-kx ，这意味着单摆在摆角很小时做简谐运动。把 k 代入简谐运动周期公式 T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} ，便能推导得出相应结果。
那么，当摆长无限大时，周期应该为多少呢？是无穷大吗？我们慢慢道来，先来看一下这个情况：

四、近地卫星周期
万有引力充当向心力，可以推得 T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}} ，另外，如果使用近地卫星周期可以求密度的结论： \rho = \frac{3\pi}{GT^{2}} ，将密度反向带回，也可以推导周期。

五、"地下铁"周期
我们假设在地球赤道对称两级挖通一个隧道，设地球半径为 R ，质量为 M 。在隧道一端由静止释放一个物体，质量为 m ，与地心的距离记为 x 。我们来分析一下这个物体的运动。

我们知道理想球壳对内部物体的引力合力为零，在这个物体在隧道里面运动中距离地心 x 处时，所受引力等效于半径为 x 的部分地球对其施加的引力。
球体质量公式 M = \rho\times\frac{4}{3}\pi R^{3} （ \rho 为地球平均密度），可推导出半径为 x 的球体质量 M_{x}=\rho\times\frac{4}{3}\pi x^{3} 。结合 F = G\frac{Mm}{r^2} 、 mg = G\frac{Mm}{R^{2}} 、 M = \rho\times\frac{4}{3}\pi R^{3} ，可得到 F = -\frac{mg}{R}x ，图像请见黑板。带入简谐周期公式，容易算得 T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}} 。
可以发现，"地下铁"周期的计算结果，与近地卫星的周期数值是相等的，如果在地下铁释放物体的同时，在地面同时发射一颗近地卫星，会发现二者在各自轨道上的运动具有同步性（投影共线），这一现象背后其实蕴含着简谐运动是匀速圆周运动分运动的物理规律。

如果我们将地下铁的轨道换到更高纬度，经过计算（涉及到受力分解等，过程请尝试自行推导）依然可以算得 T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}} ，如果我们进一步提高纬度，将纬度极限到北极附近非常小的一部分，那么这个往复运动，应该可以视为无限摆长的单摆运动（摆长无限，近似于直线运动），那么，这个无限摆长的单摆周期，竟然不是无穷大，而是 T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}} 。

六、单摆周期公式的修正
通过前面的讨论我们发现，传统单摆周期公式在特殊情况下需要修正。在推导单摆公式时，我们默认重力场类似匀强电场一样方向不变，但实际将视角扩大到地球半径尺度下，我们可以发现其实重力方向是指向地心（忽略自转），那么修正后的单摆周期公式是什么呢？
如黑板七图所示，设摆长为 l ，地球半径为 R 。万有引力即为重力， G \frac{Mm}{R^2}=mg
回复力 F = mg \sin(\beta + \alpha)
基于小角度近似关系 \sin\theta \approx \theta ，有 \sin(\beta + \alpha) \approx \beta + \alpha
再根据小角度几何关系，有 \beta = \frac{x}{R}, \quad \alpha = \frac{x}{l}
考虑到回复力方向与位移方向的反向关系，进而得到： F = -mg \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{l} \right) x
回复力系数为 k = mg \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{l} \right) ，代入简谐振动周期公式 T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} ，
综上，单摆周期的最终表达式为： T = 2\pi\sqrt{\frac{Rl}{g(R + l)}}
这个公式中的摆长，可以等效为两个摆长并联的结果，我们前几期探讨了约化质量也是这个模式，这个难道是"约化长度"？

七、单摆公式修正后的结论
根据修正公式，我们可以发现以下结论：
当l相对R足够小时，该公式就近似于传统单摆周期公式，这也解释了为什么在日常使用传统公式计算普通单摆周期时能得到较为准确的结果。
而当l与R处于相近数量级时，二者差异显著，必须使用修正公式进行计算，
当 l = R 时， T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{2g}} 。
当 l 无限大时，单摆的周期 T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}} 。该结果与此前推导的近地卫星周期、"地下铁" 周期数值吻合。

八、静电场中的简谐运动
我们再来说说关于电场的问题。如黑板8图，假设有一个正电荷 4q 和一个负电荷 q ，固定在距离为 l 的位置上，延长线有点 O ，与负电荷q 的距离也是 l 。
我们来分析一下在 O 点两侧极短的距离内，有一个正电荷 q_{0} 释放之后的运动情况：
根据库仑定律可得电荷所受合力 F = \frac{4k q q_0}{(2l + x)^2} - \frac{k q q_0}{(l + x)^2} （其中 q_{0} 是释放的电荷）
我们使用AI软件帮我们进行一些体力操作，把这个力 F 泰勒展开展开一下， F = \frac{k q q_0}{l^3}x - \frac{9k q q_0}{4l^4}x^2 + \frac{7k q q_0}{2l^5}x^3 + \cdots
因为 x 远远小于 l ，所以我们可以把一些高阶无穷小项忽略掉，有 F = - \frac{q_{0}}{l^{3}}x ，满足简谐运动回复力关系。
从势能的角度来看，我们知道势能和功的关系是 W = - \Delta E_{p} ，我们对势能求导就可以得到力。同样的，我们如果写出势能与位移的表达式，进行求导，同样也可以得到力的表达式。

九、势能的极值附近，物理做简谐运动
肖老师补充：其实对于势能极值的位置，在附近做往复运动大多（并不是所有）可以认为是一种简谐运动。
如果将势能的表达式进行求导，泰勒展开后忽略高阶小量，可以得到力与位移的关系（满足回复力形式），再将力进行求导，得到的数值即为回复力常量k，进而可以求解周期等。
其实，我们在第二部分用能量进行求解单摆周期的过程，完全可以只分析势能，推导过程可以非常简化如下：
单摆的重力势能表达式为： E_{p}=mgl(1 - \cos\theta)
当摆角 \theta 很小时（满足 \cos\theta \approx 1 - \frac{\theta^{2}}{2} ），重力势能可近似为： E_{p}=mgl\cdot\frac{\theta^{2}}{2}
结合单摆小角度摆动时，摆球位移 x 与摆长 l 、摆角 \theta 的关系 \theta \approx \frac{x}{l} ，进一步推导可得： E_{p}=\frac{mg}{2l}\cdot x^{2}
求二阶导数，得到 E_{p}''(x)=\frac{mg}{l} ，即为k值。

十、利用泰勒展开进一步分析
势能的一阶导为该势能所对应的保守力：F(x) = -\frac{dU}{dx}，在平衡位置附近，力关于位置近似呈线性关系：F(x) \approx -k(x - x_0)，这与简谐振动的回复力形式相同。因此物体近似做简谐振动。其中k = \left. \frac{d^2U}{dx^2} \right|_{x_0}，是等效劲度系数。
泰勒展开的一般形式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x - a)^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \cdots
我们把势能U(x)在平衡位置附近展开得到：U(x) = U(x_0) + (x - x_0) \left. \frac{dU}{dx} \right|_{x_0} + \frac{1}{2}(x - x_0)^2 \left. \frac{d^2U}{dx^2} \right|_{x_0} + \cdots，由于势能在平衡位置的一阶导数为零，对于足够小的位移，略去三阶以后的项，可近似得到：U(x) \approx U(x_0) + \frac{1}{2}(x - x_0)^2 \left. \frac{d^2U}{dx^2} \right|_{x_0}。
简谐振子势能的标准形式为：U(x) = \text{C} + \frac{1}{2}k(x - x_0)^2，因此我们可以看出等效劲度系数k为：k = \left. \frac{d^2U}{dx^2} \right|_{x_0}。


JQX|Jin

本期研讨Qiusir由单摆入手，通过揭示传统模型在无限摆长条件下的矛盾，修正了考虑重力方向变化的单摆周期公式，并验证了在常规单摆、无限摆长下的自洽性。更帅的是，进一步通过势能泰勒展开法，阐明简谐运动的普适性——平衡位置附近的势能二阶展开决定回复力系数，统一解释了单摆、电场振动等周期性现象。
这一过程逻辑严谨又前后呼应，不仅优化了单摆模型，更凸显物理中通过打破理想假设、探寻真实系统的研究：从矛盾出发，以数学重构模型，最终实现规律的本质性统一。

【下期预告】加速度的关联···
速度关联问题是高中物理运动合成中的难点之一。速度可以关联，加速度也可以关联吗？
下次席明纳，金老师将从一道经典习题入手，探寻三种常见模型的速度、加速度关联的本质，敬请期待。

On this day..

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