八 11
11.机械振动
1、简谐振动
弹簧振子、单摆,竖直放置的弹簧,万有引力下的
2、简谐振动的描述
相位的概念phase
简谐振动的位移描述:所处位置到平衡位置的有向线段。
对应三角函数
平衡位置的特点。
3、简谐振动的回复力和能量
简谐振动的对称性在计算题中常常有应用。
三角函数的导数对应的速度,位移和加速度的关系图像。
一个周期内一个质点运动的路程4A,半个周期2A,其他则需要通过三角函数运算得到。
4、单摆
物体下落,单摆,斜面运动时间的比较。
近似简谐振动的证明。
摆线要求尽量细,伸缩性小,摆球要尽量质量大,体积小的。
5、外力作用下的振动
共振过程中,频率接近的可不一定是周期接近的,相等的除外。
上课带领学生推双星的公式,,类比开普勒第三定律很容易记忆...而对地球贴地卫星周期公式化简,
,
,
类比单摆的公式,,以及圆锥摆的周期公式
,很容易建立起关联。巧妙的是
也是地球上摆长无限的单摆周期,这个时间还是穿越地心隧道(简谐振动)时间的二倍。
![](http://www.qiusir.com/wp-content/gallery/physics/epqneycc.png)
和简谐振动一章推到单摆的周期很接近,设想地面上(可以设想是在很高建筑上)悬点o悬挂摆长l的单摆(摆角很小,一样能近似简振的),万有引力的切向分力提供回复力。
摆球在地表,所有有
![\frac{GMm}{R^2}=mg](http://www.qiusir.com/wp-content/plugins/latex/cache/tex_49296849fc1c326e00943d8b5d706cd8.gif)
![F_t=mgsin(\alpha+\beta)](http://www.qiusir.com/wp-content/plugins/latex/cache/tex_b28be8b3b0a107823bd8e10c90f3cd07.gif)
![sin\theta\approx\theta](http://www.qiusir.com/wp-content/plugins/latex/cache/tex_780fe565c11c4eda55d2915f8b2221a1.gif)
![F_t=mg(\alpha+\beta)](http://www.qiusir.com/wp-content/plugins/latex/cache/tex_dae5cd83f052875281956530374c9eef.gif)
![F_t=-mg(\frac{1}{R}+\frac{1}{l})x](http://www.qiusir.com/wp-content/plugins/latex/cache/tex_5512894d951ce5a7ff38e12a485b8262.gif)
套用弹簧振子周期公式,
![T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}](http://www.qiusir.com/wp-content/plugins/latex/cache/tex_237cb1e42fcfd11922c5aba8e572bfe9.gif)
![T=2\pi\sqrt{\frac{Rl}{g(R+l)}}](http://www.qiusir.com/wp-content/plugins/latex/cache/tex_d6a35eeda0517121ba145136d56d74a6.gif)
带入特殊值到上述公式,比如摆长远小于地球半径,
![T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}](http://www.qiusir.com/wp-content/plugins/latex/cache/tex_5920822aff6dc914e8ebb9b67b331d95.gif)
![T=2\pi \sqrt{\frac{R}{2g}}](http://www.qiusir.com/wp-content/plugins/latex/cache/tex_7777d004528723cfea992ed49fdb8d6d.gif)
![T=2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}](http://www.qiusir.com/wp-content/plugins/latex/cache/tex_c6d96c2fb33d14cf05eda216c1b343d3.gif)
![](http://www.qiusir.com/wp-content/gallery/physics/eqbzh.jpg)
关于贯穿地球的地下铁通行时间的推算,也是用简谐振动的周期。由于球壳对球壳内物体的万有引力为零,所以物体穿行地球时所受的万有引力仅与此处内部球体有关,
![F=\frac{GMm}{r^2}=\frac{Gm\rho\frac{4}{3}\pi r^3}{r^2}](http://www.qiusir.com/wp-content/plugins/latex/cache/tex_2b544928845bf9b36c405a9839055b83.gif)
![F_x=-Gm\rho\frac{4}{3}\pi rsin\alpha=-kx](http://www.qiusir.com/wp-content/plugins/latex/cache/tex_5ef3b1e6fddc2100c10004e7a9da24c9.gif)
继续套用弹簧振子周期公式,
![T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}](http://www.qiusir.com/wp-content/plugins/latex/cache/tex_237cb1e42fcfd11922c5aba8e572bfe9.gif)
![gR^2=GM=G\rho\frac{4}{3}\pi R^3](http://www.qiusir.com/wp-content/plugins/latex/cache/tex_dee28b9ea45cb787bf1d21245ceb6091.gif)
![G\rho\frac{4}{3}\pi=\frac{g}{R}](http://www.qiusir.com/wp-content/plugins/latex/cache/tex_8387b88969888ed16737e7b423a3a282.gif)
![T=2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}](http://www.qiusir.com/wp-content/plugins/latex/cache/tex_c6d96c2fb33d14cf05eda216c1b343d3.gif)
![\theta](http://www.qiusir.com/wp-content/plugins/latex/cache/tex_2554a2bb846cffd697389e5dc8912759.gif)
如果是横贯地心的地下铁,不仅时间和贴地卫星周期相同,更是大撒心心相映的狗粮(圆周运动的投影点)...
当然,这个周期也是和地球半径(大小)无关的,由Kepler's Law III,
![T=\sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}](http://www.qiusir.com/wp-content/plugins/latex/cache/tex_1fb174bc7df52b8128f04b2022e47165.gif)
·我们要变更好/单摆[?]
7月 11th, 2008 at 10:47
振动图像对应的时刻用三角函数解决,特别注意w的量纲问题,w=2pi/T=2pai*n