分数的物理加法

三 24

分数的物理加法

拾慧|〖寻章摘句〗, 教研|〖数理探究〗 qiusir 2010

很多年前听过这样一个故事：说大陆的一位访问学者一次去一所美国中学听课，数学课上老师问 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ 等于多少？学生答 $\frac{2}{5}$ ，一堂课下了也都没有异议...下课后访问学者耐心教上课老师正确的方法...几个月后访问学者恰好又听到那位老师的课，课堂上还是有学生说 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{5}$ ，下课后访问学者就问上课的老师，“我不是告诉过你这样计算不对吗？”老师很无奈，“我知道，可是大家都喜欢这样计算。”

这原本是“专家”用来讽刺美国课堂上所谓的民主，也反衬我们“领先国际”的基础教育...但换个角度看，难道分数的加法一定要通分吗？我就听过这样的范例，“说一场比赛中，姚明上半场罚球两罚一中（ $\frac{1}{2}$ ），下半场罚球三罚一中（ $\frac{1}{3}$ ），整场就是五罚两中（ $\frac{2}{5}$ ）。”你看这不就是 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{1+1}{2+3}=\frac{2}{5}$ 吗，看来人家老美课堂是按照NBA的算法。

数学上分数加法的规则是分母相同的，分母不变分子相加，分母不同的要先通分母后再相加。而由 $\frac{B}{A}+\frac{C}{A}=\frac{B+C}{A}$ 的形式，我们想能不能有 $\frac{B}{A}+\frac{B}{C}=\frac{B}{A+C}$ 的等式，或是 $\frac{B}{A}+\frac{D}{C}=\frac{B+D}{A+C}$ 的运算规则呢？（就如罚篮的例子）

或者是否可以给出更一般形式的分数运算规则：

1、 $\frac{B_{1}}{A}+\frac{B_{2}}{A}+\frac{B_{3}}{A}+\cdots=\frac{\Sigma{B_{i}}}{A}$

2、 $\frac{B}{A_{1}}+\frac{B}{A_{2}}+\frac{B}{A_{3}}+\cdots=\frac{B}{\Sigma{A_{i}}}$

3、 $\frac{B_{1}}{A_{1}}+\frac{B_{2}}{A_{2}}+\frac{B_{3}}{A_{3}}+\cdots=\frac{\Sigma{B_{i}}}{\Sigma{A_{i}}}$

就如矢量的运算满足平行四边形法则一样，其实有一些物理量的计算就可以按照上面的泛加法规则进行，我戏称之为分数加法的自然法则。比如物理中串并联电路等效电阻的计算，题目尽管相对容易，而计算的速度和准确程度往往并不理想。这里按照上面的思路给出另外的一种视角，或许可以解决这样的困惑。

电阻的串联，满足规则1。
由电阻的定义式 $R=\rho\frac{L}{S}$ ，假定串联的两个电阻材料(电阻率 $\rho$ 相同，横截面积S相同，电阻的区别仅仅反映在程度L上。 $\rho\frac{L_{1}}{S}+\rho\frac{L_{2}}{S}=\rho\frac{L_{1}+L_{2}}{S}$ ，所以有 $R_{1}+R_{2}=R$ 。更一般的情况是， $R=\rho\frac{\Sigma{L_{i}}}{S}=\rho\frac{L_{1}}{S}+\rho\frac{L_{2}}{S}+\rho\frac{L_{3}}{S}+\cdots=\Sigma{R_{i}}$ 。而对于n个相同的电阻串联，等效电阻 $R_{s}=nR_{0}$ ，这也可以理解为有限的电阻值是由无限的无限小电阻串联累加的，就如1是由2个1/2、3个1/3、4个1/4...n个1/n串联的。

串联电路等效电阻的计算相对容易，比如 $\frac{1}{2}\Omega$ 与 $\frac{1}{2}\Omega$ 串联， $\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{1+5}{2}=3\Omega$ ，也可以考虑成 $\frac{1}{2}+5\times\frac{1}{2}=6\times\frac{1}{2}=3\Omega$ 。就是通常的的分数加法运算。

电阻并联的运算，满足规则2。
由电阻定义公式 $\frac{1}{R}=\frac{S}{\rho{L}}$ ，假定并联的两个电阻材料(电阻率 $\rho$ 相同，长度L相同)电阻的区别仅仅反映在横截面积S相同。 $\frac{S_{1}}{\rho{L}}+\frac{S_{2}}{\rho{L}}=\frac{S_{1}+S_{2}}{\rho{L}}$ 。所以有 $\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}=\frac{1}{R}$ 。更一般的情况是， $\frac{1}{R}=\frac{S_{1}}{\rho{L}}+\frac{S_{2}}{\rho{L}}+\frac{S_{3}}{\rho{L}}+\cdots=\frac{\Sigma{S_{i}}}{\rho{L}}=\Sigma{\frac{1}{R_{i}}}$ 。

而对于n个相同的电阻并联，等效电阻 $R_{p}=\frac{1}{n}R_{0}$ ，这样有限的电阻可以看成是无限多个无限大并联而成。比如1是有2个2、3个3...n个n并联。

比如计算 $\frac{1}{2}\Omega$ 与 $\frac{1}{3}\Omega$ 并联等效电阻，方法为 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{1}{5}\Omega$ 。再如3和6两个电阻并联， $\frac{6}{2}+\frac{6}{1}=\frac{6}{2+1}=2\Omega$ （并联中3相当于2个6）。由此我们可以给出这样的电阻并联公式 $\frac{R}{n}+\frac{R}{m}=\frac{R}{n+m}$ ； $\frac{R}{n_{1}}+\frac{R}{n_{2}}+\frac{R}{n_{3}}+\cdots=\frac{R}{\Sigma{n_{i}}}$

在串联电路中6等于2个3，3与6串联是（2+1）个3为9；而并联电路中，3相当于2个6，3与3并联，（1+2）个6并联为2。也就是说电阻串联需要分母通分，电阻并联需要的是分子通分。电路中1是由无穷多个无穷小电阻串联，1也是由无穷多个无穷大电阻并联。一个1包含无穷多个无穷小，可以看成无穷多个无穷大...很哲学呀。

对于规则2，不仅电阻的并联，等额定电压电器串联后总电功率的运算和加热时间的运算等都满足。比如（220V，120W）的灯与(220V,60W)的灯串联在220V的电路中，总功率的计算就满足 $\frac{120}{1}+\frac{120}{2}=\frac{120}{3}=40W$ ，再如某热水器单独烧水一壶水的时间为30分钟，另一热水器单独烧开同一壶水的时间为15分钟，并联两热水器后共同烧水的时间计算可以按照 $\frac{30}{1}+\frac{30}{2}=\frac{30}{3}=10$ 分钟。具体的可以参考以前的一篇电功率计算的一种方法。

那什么物理量的运算会满足规则3呢？想来平均速度的运算和平均密度的运算就满足。

$\overline{V}=\frac{X}{t}=\frac{\Sigma{X_{i}}}{\Sigma{t_{i}}}$

$\frac{X_{1}}{t_{1}}+\frac{X_{2}}{t_{2}}=\frac{X_{1}+{X_{2}}}{t_{1}+t_{2}}$ ； $\frac{X_{1}}{t_{1}}+\frac{X_{2}}{t_{2}}+\frac{X_{3}}{t_{3}}+\cdots=\frac{\Sigma{X_{i}}}{\Sigma{t_{i}}}$

$\overline{\rho}=\frac{M}{V}=\frac{\Sigma{M_{i}}}{\Sigma{V_{i}}}$

$\frac{M_{1}}{V_{1}}+\frac{M_{2}}{V_{2}}=\frac{M_{1}+{M_{2}}}{V_{1}+V_{2}}$ ； $\frac{M_{1}}{V_{1}}+\frac{M_{2}}{V_{2}}+\frac{M_{3}}{V_{3}}+\cdots=\frac{\Sigma{M_{i}}}{\Sigma{V_{i}}}$