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很多年前听过这样一个故事:说大陆的一位访问学者一次去一所美国中学听课,数学课上老师问\frac{1}{2}+\frac{1}{3}等于多少?学生答\frac{2}{5},一堂课下了也都没有异议...下课后访问学者耐心教上课老师正确的方法...几个月后访问学者恰好又听到那位老师的课,课堂上还是有学生说\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{5},下课后访问学者就问上课的老师,“我不是告诉过你这样计算不对吗?”老师很无奈,“我知道,可是大家都喜欢这样计算。”

这原本是“专家”用来讽刺美国课堂上所谓的民主,也反衬我们“领先国际”的基础教育...但换个角度看,难道分数的加法一定要通分吗?我就听过这样的范例,“说一场比赛中,姚明上半场罚球两罚一中(\frac{1}{2}),下半场罚球三罚一中(\frac{1}{3}),整场就是五罚两中(\frac{2}{5})。”你看这不就是\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{1+1}{2+3}=\frac{2}{5}吗,看来人家老美课堂是按照NBA的算法。

数学上分数加法的规则是分母相同的,分母不变分子相加,分母不同的要先通分母后再相加。而由\frac{B}{A}+\frac{C}{A}=\frac{B+C}{A}的形式,我们想能不能有\frac{B}{A}+\frac{B}{C}=\frac{B}{A+C}的等式,或是\frac{B}{A}+\frac{D}{C}=\frac{B+D}{A+C}的运算规则呢?(就如罚篮的例子)

或者是否可以给出更一般形式的分数运算规则:

1、\frac{B_{1}}{A}+\frac{B_{2}}{A}+\frac{B_{3}}{A}+\cdots=\frac{\Sigma{B_{i}}}{A}

2、\frac{B}{A_{1}}+\frac{B}{A_{2}}+\frac{B}{A_{3}}+\cdots=\frac{B}{\Sigma{A_{i}}}

3、\frac{B_{1}}{A_{1}}+\frac{B_{2}}{A_{2}}+\frac{B_{3}}{A_{3}}+\cdots=\frac{\Sigma{B_{i}}}{\Sigma{A_{i}}}

就如矢量的运算满足平行四边形法则一样,其实有一些物理量的计算就可以按照上面的泛加法规则进行,我戏称之为分数加法的自然法则。比如物理中串并联电路等效电阻的计算,题目尽管相对容易,而计算的速度和准确程度往往并不理想。这里按照上面的思路给出另外的一种视角,或许可以解决这样的困惑。

电阻的串联,满足规则1。
由电阻的定义式R=\rho\frac{L}{S},假定串联的两个电阻材料(电阻率\rho相同,横截面积S相同,电阻的区别仅仅反映在程度L上。\rho\frac{L_{1}}{S}+\rho\frac{L_{2}}{S}=\rho\frac{L_{1}+L_{2}}{S},所以有R_{1}+R_{2}=R。更一般的情况是,R=\rho\frac{\Sigma{L_{i}}}{S}=\rho\frac{L_{1}}{S}+\rho\frac{L_{2}}{S}+\rho\frac{L_{3}}{S}+\cdots=\Sigma{R_{i}}。而对于n个相同的电阻串联,等效电阻R_{s}=nR_{0},这也可以理解为有限的电阻值是由无限的无限小电阻串联累加的,就如1是由2个1/2、3个1/3、4个1/4...n个1/n串联的。

串联电路等效电阻的计算相对容易,比如\frac{1}{2}\Omega\frac{1}{2}\Omega串联,\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{1+5}{2}=3\Omega,也可以考虑成\frac{1}{2}+5\times\frac{1}{2}=6\times\frac{1}{2}=3\Omega。就是通常的的分数加法运算。

电阻并联的运算,满足规则2。
由电阻定义公式\frac{1}{R}=\frac{S}{\rho{L}},假定并联的两个电阻材料(电阻率\rho相同,长度L相同)电阻的区别仅仅反映在横截面积S相同。\frac{S_{1}}{\rho{L}}+\frac{S_{2}}{\rho{L}}=\frac{S_{1}+S_{2}}{\rho{L}}。所以有\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}=\frac{1}{R}。更一般的情况是,\frac{1}{R}=\frac{S_{1}}{\rho{L}}+\frac{S_{2}}{\rho{L}}+\frac{S_{3}}{\rho{L}}+\cdots=\frac{\Sigma{S_{i}}}{\rho{L}}=\Sigma{\frac{1}{R_{i}}}

而对于n个相同的电阻并联,等效电阻R_{p}=\frac{1}{n}R_{0},这样有限的电阻可以看成是无限多个无限大并联而成。比如1是有2个2、3个3...n个n并联。

比如计算\frac{1}{2}\Omega\frac{1}{3}\Omega并联等效电阻,方法为\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{1}{5}\Omega。再如3和6两个电阻并联,\frac{6}{2}+\frac{6}{1}=\frac{6}{2+1}=2\Omega(并联中3相当于2个6)。由此我们可以给出这样的电阻并联公式\frac{R}{n}+\frac{R}{m}=\frac{R}{n+m}\frac{R}{n_{1}}+\frac{R}{n_{2}}+\frac{R}{n_{3}}+\cdots=\frac{R}{\Sigma{n_{i}}}

在串联电路中6等于2个3,3与6串联是(2+1)个3为9;而并联电路中,3相当于2个6,3与3并联,(1+2)个6并联为2。也就是说电阻串联需要分母通分,电阻并联需要的是分子通分。电路中1是由无穷多个无穷小电阻串联,1也是由无穷多个无穷大电阻并联。一个1包含无穷多个无穷小,可以看成无穷多个无穷大...很哲学呀。

对于规则2,不仅电阻的并联,等额定电压电器串联后总电功率的运算和加热时间的运算等都满足。比如(220V,120W)的灯与(220V,60W)的灯串联在220V的电路中,总功率的计算就满足\frac{120}{1}+\frac{120}{2}=\frac{120}{3}=40W,再如某热水器单独烧水一壶水的时间为30分钟,另一热水器单独烧开同一壶水的时间为15分钟,并联两热水器后共同烧水的时间计算可以按照\frac{30}{1}+\frac{30}{2}=\frac{30}{3}=10分钟。具体的可以参考以前的一篇电功率计算的一种方法

那什么物理量的运算会满足规则3呢?想来平均速度的运算和平均密度的运算就满足。

\overline{V}=\frac{X}{t}=\frac{\Sigma{X_{i}}}{\Sigma{t_{i}}}

\frac{X_{1}}{t_{1}}+\frac{X_{2}}{t_{2}}=\frac{X_{1}+{X_{2}}}{t_{1}+t_{2}}\frac{X_{1}}{t_{1}}+\frac{X_{2}}{t_{2}}+\frac{X_{3}}{t_{3}}+\cdots=\frac{\Sigma{X_{i}}}{\Sigma{t_{i}}}

\overline{\rho}=\frac{M}{V}=\frac{\Sigma{M_{i}}}{\Sigma{V_{i}}}

\frac{M_{1}}{V_{1}}+\frac{M_{2}}{V_{2}}=\frac{M_{1}+{M_{2}}}{V_{1}+V_{2}}\frac{M_{1}}{V_{1}}+\frac{M_{2}}{V_{2}}+\frac{M_{3}}{V_{3}}+\cdots=\frac{\Sigma{M_{i}}}{\Sigma{V_{i}}}

以上的方法耐心体会联系,如果使用恰当可以大大提高计算的速度,不过等式仅仅是物理结果上的等,考试的计算过程课不要直接用呀。

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