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该守规矩的时候总有人只图自己方便,不该守规矩的地方,却成了百般乖巧的良民了。教学大纲大概就是这么个类似无形绳索的东西。既然积分/变化率和导数/微元累积的思想早在物理上体现,积分和导数的工具是不是也该在中学的物理中松松绑了呢?


一般来说,简谐振动可以从运动的特殊性为线索引入。比如一般的运动分类,机械运动、热运动、电磁运动...有同学还说社会运动:)而就机械运动来说,静止、匀速直线运动、匀变速直线运动、匀变速曲线运动、匀速率圆周运动...(接下来特殊点的会是什么样的运动呢?)

从受力的角度看\Sigma\vec{F}=0对应的平衡态,\Sigma\vec{F}=C对应的匀变速运动(直线和曲线),F=C对应的匀速率圆周运动...接下来的运动一定是“非匀变速直线运动”了,而从受力的角度更容易想到特殊的受力情况,\vec{F}=-k\vec{X},当然也可以让学生思考一下\vec{F}=k\vec{t}的运动情况。


弹簧振子的简谐振动可以通过匀速圆周运动在直径上的投影来分析。设定圆周半径为A,角速度为\omega,初相为\varphi,经过时间t转过的角度为\omega{t}+\varphi
旋转直径在水平方向的分量(振子位移)X=Asin(\omega{t}+\varphi)
圆周运动线速度在水平方向的速度分量V_{x}=\omega{A}cos(\omega{t}+\varphi)
圆周运动向心力加速度在水平方向的分量a_{x}=-\omega^2{A}sin(\omega{t}+\varphi)
这些都符合简谐振动的特征。当然圆周运动在水平方向的投影时简谐振动,也可以从回复力的角度证明。向心力在水平方向的分力F_{x}=-m\omega^2{A}sin(\omega{t}+\varphi)=-m\omega^2X


通过简谐振动的位移时间图像X=Asin(\omega{t}+\varphi),利用导数可以得出速度、加速度的时间关系图像(当然反过来考虑积分的问题也未尝不可)。即便不用导数,单从速度是位移的变化率、加速度是速度的变化率的定义也可以接受。动态过程的想象,特殊点的分析。

数学的工具在物理上恰当的应用范例会得到正向的反馈。提到正弦函数的导数问题,电磁感应的正弦交流电部分大体类似。
\Phi=BScos(\omega{t}+\varphi)
U=NBSsin(\omega{t}+\varphi)...

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