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2021

《无穷小》Infinitesimal
一个危险的数学理论如何塑造了现代世界 阿米尔·亚历山大著 凌波 译
人物
Galileo Galilei伽利略·伽利雷 因为提倡哥白尼的学说而遭SJ的迫害...伽利略在他的作品中使用了无穷小量,并支持和鼓励年轻一代数学家发展这一概念。即使在遭到判决之后,仍是意大利无穷小量论者的无可争议的领袖。
托里拆利是伽利略的弟子,并最终成为伽利略在佛罗伦萨的继任者。最突出的成就是,成功计算出了具有无穷长度的几何体的体积。
弗朗西斯·培根本身不是一位科学家,但由于他倡导利用实验法对自然界进行研究,因此仍被认为是科学革命的领军人物之一。
罗伯特·波义耳 现代化学的奠基人之一,在伦敦皇家学会的早期成员之一,是一位杰出的和最受人敬佩的科学家。倡导以谦虚的实验法作为研究自然的正确方法,认为实验法无论对宗教还是对国家都是有益的。
查理二世 1662年对一个由自然哲学家组成的团体授予了皇家特许状,这些哲学家相信,他们对自然的研究方法将会对社会和政治的和平起到至关重要的作用。这个团体最终成为伦敦皇家学会。
五二班八世 就任教皇之前是伽利略的朋友和保护者,当上教皇之后继续作为伽利略的资助者,这引起了罗马一个黄金“自由时代”。但到了1632年,在伽利略发表了关于哥白尼体系的《对话》以及一些不利的政治姿态之后,改变了对伽利略的立场,从而导致了后者的受审判、被流放。从此,SJ重返罗马的权利中心,并能更加自由地压制无穷小学说。
查尔斯·卡文迪许 卡文迪许家族是英国最伟大的贵族之一...也是霍布斯的终身资助人。

时间
公元前6世纪,毕达哥拉斯及其追随者声称“万物皆数”,世界上的所有事物都可以用整数的比值来进行描述。
公元前5世纪,德谟克利特用无穷小计算了圆锥体和圆柱体的体积。
公元前5世纪,毕达哥拉斯学派发现了不可通约性(即无理数)。由此可见,不同的数值不是由独立的微小原子或无穷小量构成的。
公元前5世纪,芝诺提出了若干悖论,说明无穷小会导致逻辑上的矛盾。此后无穷小成了古代数学家有意避开的问题。
公元前300年,欧几里得发表了《几何原本》,它小心避开了无穷小问题。
公元前250年,阿基米德打破了回避无穷小的常规,开始尝试利用无穷小解决问题。
1616年,伽利略不仅提倡了哥白尼学说,而且使用无穷小方法,SJ与他发生了冲突。
1637年,伽利略的《两种新科学的对话》在荷兰莱顿获得出版,这本书讨论了无穷小的长度,并称赞弟子卡瓦列里为新阿基米德。(这本书谈了运动相对性,等比例放大不可行性等)
1684年,莱布尼兹在《教师学报》杂志上发表了第一篇关于微积分的学术论文。
1687年,牛顿出版了《自然哲学的数学原理》,对物理学起到了革命性作用,并建立了首个有关太阳系的现代理论。
1703年,沃利斯去世。被誉为领先的数学家、微积分的先驱,以及伦敦皇家学会的创始人之一。

2021

“我就是国家”
数学原子
柏拉图把几何学作为自己哲学体系中的正确理性推理的模型,据说柏拉图在自己学院的入口处刻上了“不懂几何者莫入”的标语。

对抗无序之战
“没有上级与下级之间的绝对服从就不会有秩序。”依纳爵·罗耀拉
1依纳爵的孩子
“圣人是上帝的军队,他们永远在对抗魔鬼,防止魔鬼侵占人类的灵魂。”
他的虔诚和自我强加的贫穷给他的同学们留下了深刻的印象。
每个成员都立下了传统的修士誓言,即贫穷、贞洁和服从。
利玛窦是SJ会士。
传统的神秘主义者往往会被导向孤独的生活和深刻的自省。但SJ会士则与之相反,他们将自己内心的自信投射到万物之上,践行自律、秩序和忍耐。这使得他们成为世界上最有效的一个组织。他们具有神秘主义者的积极性和确定性,并且具有一支精锐部队所应具备的严密的组织和专注的目标。
传统的教区学校不仅教学质量令人堪忧,而且据说那些伟大的大学中的学生很少专注于实际的学术研究。SJ却与之截然相反,他们为学生提供了严格的课程设置,并由高素质的教师队伍进行授课,而且罗马学院的杰出学者还会对课程进行定期更新。
《圣依纳爵的奇迹》
SJ不相信少数服从多数,在他们看来,真理是绝对的。他们不相信权力和权威的多元化,一但真理被发现,那么所有的权力必须归属于那些知道真理的人,并将真理强加给那些还没有接受它的人。“真理”不会给异议和挑战留下任何空间,他们认为,只有上帝的使者所具有的绝对权威以及他们所持有的神圣真理,才能使世界实现和平与和谐。
2数学的秩序
“对于我们来说,课程与学术实践就如同鱼钩一样,我们靠它来钓灵魂之鱼。”
“不仅要避免创新,而且要避免任何人怀疑我们在试图创造新的东西。”(比封建主义还封建吗?)
1582年成为历史上唯一仅有的355天的年份。
最后一个采用格里历的欧洲国家是希腊,直到1923年才采用。
在数学领域,真理可以通过自身的证明强迫读者接受它,不管他们喜欢与否。
数学可以强加在听着的头脑中,甚至能迫使那些最顽固的人接受数学真理。
在每一步推导中,欧几里得不只证明其结果是合理的,或是有可能的,而是证明其结果是绝对正确的。
几何学的严格性和层次性,使得几何学成为SJ会士心目中的理想科学。
学习和传授数学的全部意义就在于,它展示了如何将普遍真理以理性、有序和不可避免的方式强加给这个世界。
“人们宁愿受到克拉维斯的责备,也不愿意得到其他人的赞扬。”
在克拉维斯看来,数学之所以值得研究,不是因为这个学科可以进行开放式的研究并取得新的发现,而是数学能够提供稳定、有序和不变的永恒真理
3数学的无序
伽利略承认,只要没有专门的论文能够作为科学依据,我们就应该一直接受圣经之书的权威性,领会它最简单、最直接的含义。但是,如果我们确实有了科学依据,那么两者的角色就应该互换,圣经需要得到重新解释,以使圣经之书与自然之书保持一致。
林琴科学院,愿意为猞猁科学院,猞猁这种动物目光明锐,以它为名象征着对自然奥秘的洞悉。伽利略也是院士之一 Academia Linceorum
亚里士多德的车轮悖论。
卡瓦列里的方法从对世界的直觉入手,然后再推广到更广泛和更抽象的数学归纳,这种方法可以被恰当地成为“自下而上”的数学。
卡瓦列里引用了罗马使人贺拉斯的话,将伽利略比作“第一个敢于教育浩瀚的大海,并投身于海洋的人”。
“大自然讨厌真空”的特性使得物体聚合在一起。
托里拆利到来仅仅3个月之后,他的使命便戛然而止。1642年伽利略与世长辞,享年77岁。作为一个被判决为“有强烈异端嫌疑”的人,他被安葬在佛罗伦萨圣十字大教堂的一侧的小房间里,一个世纪以后才被迁到位于中央大殿的荣誉位置。
接下来的6年里,托里拆利成果斐然,此前的他一直鲜为人知,以至于伽利略几乎没有听说过他,卡斯泰利必须把他作为以前的学生来引荐给伽利略。但随着伽利略的去世,以及他被任命为美第奇的宫廷数学家,他一跃成为欧洲领先的科学家之一。
1647年托里切利去世,年仅39岁。
随着1647年接近尾声,意大利数学界的辉煌传统也即将结束。意大利这个天才辈出的时代属于伽利略、卡瓦列里和托里拆利,此后要再过几个世纪才会再次出现像他们这样最高层次的创造性的数学家。
4生存还是灭亡
5数学家之战
对于SJ会士涞水,数学的目的是构造一个确定的、永恒的世界,这个世界的秩序和等级结构永远不应受到挑战。因此,世界上的每样东西都必须细致和理性地构造出来,不能容忍任何矛盾和悖论的存在。

“他是SJ蜂巢中的劳作者,所以可以称他为蜜蜂,这样比喻是再恰当不过了,因为他就像蜜蜂一样,既能制造蜂蜜又能蜇人。一方面,他通过传授最甜蜜的学说来制造蜂蜜,而另一方面,他又会攻击自认为的错误学说。”遗憾的是,贝蒂尼是“一只不幸的蜜蜂”,虽然他“利用自己的毒刺来抵御不可分量学说,但他自己却也处在了危险之中”,因为从安杰利的讨论细节来看,伽利略的悖论证明了贝蒂尼的观点是站不住脚的。

一种方法坚持绝对的完美秩序,而另一种方法却愿意与模糊和不确定性共存。
伽利略公开嘲笑过SJ会士和他们对权威的崇敬,“在科学上,成千上万的观点的权威性也比不上个人的哪怕一次理性思考。”(In the sciences, the authority of thousands of opinions is not worth as much as one tiny spark of reason in an individual man.)
到了17世纪末,无穷小学说已经被镇压下去。在意大利,一场持续数百年的衰退和萧条即将上演。

二 利维坦与无穷小
“对于数学来说,微积分就如同物理学中的实验。”
6利维坦的到来
掘土派
1649年查理一世在伦敦的白厅宫被斩首,这是唯一一位被审判并且被处决的的英国国王。
母亲因为听到西班牙无敌舰队入侵英国的消息,惊吓过度而导致早产。霍布斯在临终之际,在自传中用拉丁文写下的诗句:“我的母亲生了双胞胎,我的孪生兄弟是恐惧。”(有的人的孪生兄弟是贪婪、贫困...)
许多意大利伟大的艺术家和人文主义者比如米开朗基罗等都曾得到过贵族或教皇的资助,即使是当时声名显赫的伽利略,也选择成为美第奇宫廷的朝臣以作为庇护,而他的世俗身份则是帕多瓦大学教授。
培根曾是英国领先的法学家之一,曾担任詹姆斯一世手下的大法官,直到他在1621年被指控贪污并遭弹劾为止。退休之后,他转向了哲学家,把大多数时间都用在整理自己的哲学思想上面,主要涉及自然科学及其正确的研究方法。
那些自认为是培根的真正继承者并把培根的思想付诸实践的学者,却把培根的秘书霍布斯视为最危险的敌人。
“伟大的利维坦,被称为国家...他就是一个人造的人artificial man,但他比普通人具有大得多的身材和力量。”
在霍布斯看来,在自然状态下时没有对与错之分的,因为每个人都会尽自己最大的努力来保证自身利益。只要在利维坦出现时才会有多与错的概念,而对与错的标准很简单。“法律就是唯一的衡量标准,法律体现了国家意志。”
7“几何学家”托马斯·霍布斯
在几何学中,每个结果都是建立在另一个更简单的结果之上,所以人们可以逐步进行逻辑推理,从不证自明的公理开始,一直可以得到更为复杂的结果。这在霍布斯看来是一项了不起的成就:终于有一门科学可以真正地证明其结果,同时人们对其真实性又不会产生任何疑问。因此,他认为几何学是“迄今为止上帝赐予人类的唯一科学”,并且也是其他所有科学的合理模式。
几何学迫使人们达成共识:“因为在几何学中,当其他人发现了他的错误之后,没有人会愚蠢到既然发现了错误却还坚持这个错误的地步。”
高中生之所以如今还在学习欧几里得几何,部分是因为传统,部分是因为借此来传授给学生严格的演绎推理方法。
当时的欧几里得几何被许多人认为是人类的一项崇高成就,是推理方法无懈可击的堡垒。
沃利斯利用自己的人脉关系,从伦敦的印刷工那里获得了未经发表的文本。
8约翰·沃利斯是谁
霍布斯认为,真正的知识源自于正确的定义和严格的逻辑推理;沃利斯认为这种知识既属于上帝又属于魔鬼。沃利斯认为,知识的最高形式是基于感性的,是“看出”,甚至“品尝出”的真理,霍布斯则鄙视这种感性的知识,认为它是不可能的,容易出错的。他们两人似乎只在一个问题上达成了完全的共识:数学是一种关于正确的推理和准确的知识的科学,它应该成为所有其他学科的典范。
在霍布斯看来,内战危机的唯一答案就是专制的利维坦国家;而沃利斯则认为,在国家中应该允许多元化的观点和广泛的不同意见。霍布斯依赖于欧氏几何的严格体系来支持他僵化的利维坦国家,而沃利斯则依赖一种新的数学书方法,它既灵活而强大,又带有矛盾和争议,即无穷小数学。
沃利斯从来没有满足于简单的知道,而是一直在寻求更深刻的理解,“因为这一直是我的习惯,无论学习什么知识,都不只考死记硬背来学习---那这样很快就会忘记,而是要探究所学知识的依据或原因。”
除了和他弟弟学到的这些早期课程之外,所有的数学知识都是沃利斯靠自己自学的。
在整个空位期间,他们定期在伦敦和牛津的私人会所集会,无形学院 invisible college,哲学会 philosophical society。1662年,查理二世复辟时,终于给它办法了正式的许可,并正式命名为伦敦皇家学会。
牛顿在1702年到1727年去世为之一直担任皇家学会会长,法国人拉瓦锡、美国的开国元勋富兰克林、开尔文勋爵、达尔文、卢瑟福、爱因斯坦、沃森和克里克以及霍金都是皇家学会会员。
“他们的首要目的就是为了享受更加自由和宽松的氛围,并能彼此平和地交谈,远离那个阴霾的激情和疯狂。”
实现和平与秩序的唯一方式就是重建有产阶级的权威。

斯普拉特在他的《皇家学会史》中解释道,教条主义哲学的问题在于,“它通常会产生这样一种人,他们自认为已经解决了问题,并且不会再改变自己的观点,他们变得更加专横,并且对反对观点不屑一顾。”这种态度是有害的,因为“这会使他们易于低估别人的劳动,并容易忽略别人的优点。至少,他们应该把自己放低一些”。拉普拉特继续说道,“这是一种精神上的戾气,这是最有害的”。他把这种戾气归结为“人们知识增长缓慢的原因”。更糟糕的是,这种戾气很容易导致对国家的颠覆:“人们藐视一切权力的原因在于他们对自身的智慧的过渡崇拜...他们认为自己是不可能犯错的”。这必然会导致叛乱行为,因为“叛乱的根源就在于骄傲以及对自己智慧的嫉妒自负。从而,他们会想象自己有足够的能力,可以对管理者的一切行动给予指导或者加以指责”。

比培根更年轻的笛卡尔认为,真正的知识必须基于明确而严格的推理;而培根则坚持认为,自然界的真正知识只能通过观察、实验以及仔细地收集事实来获得。对于皇家学会来说,培根可以称得上是实验方法的鼻祖,他也是皇家学会本身的精神之父。
具有讽刺意味的是,培根在他人生的最后岁月的秘书,不是别人,正是霍布斯。
尽管皇家学会的领导者们在努力地使培根偶像化,但他们从未在实际上结识过这位大法官,而他们的敌人霍布斯却曾经是培根亲密的陪伴者。
在培根出现之前的很久一段时间,一直有一些人试图通过错误而粗略的方法获得自然界的秘密。有时,他们会取得成功,如火药和指南针的发明,更多时候则没有那么幸运...任何通过这些方法所获得的知识,即使它被证明是有用的,也都被认为不适合在高等学府进行传授,因为这是“粗鲁”和“靠体力”得来的知识,它与下层阶级有关,只有下层社会的人才会以脏乱环境下的体力工作为生。
培根几乎单凭一己之力破除了这种观念。让英国大法官来提倡经验主义作为获得正确知识的路径,这是再适合不过的了。猛然间,对于具有求知欲的绅士来说,“粗鲁的体力”活动成为他们一项值得从事的追求。
比知识增长更糟糕的是,“数学家的过分讲究和骄傲,他们几乎要让这种科学凌驾于物理学之上”。
培根对数学家“优雅和骄傲”的警告并没有影响他的追随者,皇家学会的正式名是“促进自然-数学实验知识发展学会”,实际上,数学研究确实严格从属于实验性的自然科学研究。
波义耳和他的同仁们所担心的是,数学就其本质而言能够导致绝对真理、教条主义、暴政威胁,并且很容易导致内战。

9数学的新世界
“我始终尽力按照适度的原则行事,介于两个极端之间...而不是带着强烈的敌意去反对那些不按自己想法行事的人,因为我知道,每一方都有许多杰出的人士。”沃利斯
霍布斯去世之前仍然完全相信,他已经成功地解决了化圆为方的问题。
想要构造一个完全可知和理性的数学世界的任何企图,不仅在政治上是危险的,而且在科学上也是一条死胡同。
后记:两种现代性
沃利斯在《无穷算术》和其他作品中得出的结果,得到了他同仁的验证和肯定,毫无疑问,其中最重要一位读者就是那位剑桥大学的年轻本科生---艾萨克·牛顿。1665年牛顿发明了自己版本的无穷小数学,后来承认,他当时主要是受到了《无穷算术》的启发。
在意大利,SJ战胜了伽利略,在英国,则是沃利斯战胜了霍布斯。(在十七世纪中叶发生的关于无穷小的斗争……在一直保持着杰出的数学传统的意大利,SJ战胜了伽利略;在之前没出现过任何著名的几何学家的英国,沃利斯战胜了霍布斯……)
连续体是否由无穷小量构成,这似乎是一个难解的问题,我们很难衡量它所释放出的力量。但当这场斗争在17世纪被引燃的时候,处于交战的双方都认为,对于即将到来的现代世界,这个问题的答案将会影响到生活的各个方面。他们是正确的:当尘埃落定的时候,无穷小量的捍卫者赢得了胜利,他们的敌人被击败了。世界从此更迭一新。

(这本书是从三班要来的,班主任黄老师购买的,她去上海参加国际数学教育大会期间,我抽空读完但没有整理完这本书。)

On this day..

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