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两根长圆柱轴完全相同、轴线在同一面内,且平面与水平面夹角为θ=30°。现将一个大的匀质圆柱体放置两轴之间,且大圆柱体轴线分别与两长圆柱体轴的轴线形成的两个平面夹角为α=60°。试求解以下问题:
一、若大圆柱体恰好静止在轴上,可认为滑动摩擦力与最大静摩擦力相等,则大圆柱体与轴之间的动摩擦因数μ应满足什么条件?
二、已知某种材质的大圆柱体与轴的动摩擦因数μ=2。某一时刻,左侧轴做逆时针转动,同时右侧轴做顺时针转动,两轴转动时边缘处的线速度大小均为v=3m/s,则由于大圆柱体受力发生变化造成其将沿轴下滑,求大圆柱体下滑稳定时的速度。

一:
2F_Ncos{\frac{\alpha}{2}}=mgcos{\theta}
2F_f=mgsin{\theta}
F_f\leq\mu F_N
\mu\geq0.5
二:
2f_1sin{\frac{\alpha}{2}}+2F_Ncos{\frac{\alpha}{2}}=mgcos{\theta}
2f_2=mgsin{\theta}
\sqrt{{f_1}^2+{f_2}^2}=\mu F_N
45\frac{f_2}{f_1}+\frac{f_1}{f_2}=16\sqrt{3}
\frac{f_2}{f_1}=\frac{\sqrt{3}}{3}\frac{1}{15\sqrt{3}}
\frac{v_1}{v_2}=\frac{f_1}{f_2}
v_2=\sqrt{3}m/s 或\frac{\sqrt{3}}{15}m/s
对于上面的解,洪诚天同学检测到第二个结果对应的F_N是负的。(柱体和轨道有磁性吸引的话?)
如果直接引入两个摩擦力的夹角\beta
代入f_1=\mu F_Nsin\beta f_2=\mu F_Ncos\beta,转化成正切计算同样会出现上述问题,x^2-16\sqrt{3}x+45=0,得\sqrt{3}15\sqrt{3}(增根的出现应是平方导致忽视了支持力为正的隐含条件...)
而求解cos\beta,会直接检验出增根,52x^2+4\sqrt{3}x-45=0\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{15\sqrt{3}}{26}(舍)。
洪同学很聪明,特地设定:
f_1=\mu F_Ncos\varphi f_2=\mu F_Nsin\varphi(前面\beta的余角),化简后方程相对友善:
52x^2-24x-1=0
求解sin\varphi=\frac{1}{2}-\frac{1}{26}(舍)
所以v_2=\sqrt{3}m/s

课代表艺博问起五校联考的这道题目,说是学习认真的阿城发现答案有问题,洪同学提供了简洁的做法。吃过晚饭用GeoGebra构造了个立体模型,偷懒用wolframalpha解了方程...

On this day..

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