·[?]无穷递缩等比数列的物理题

又多了一位我要穷追的作家，就如我最初看到弗里曼·戴森的书一样。难怪霍金称赞他是最会讲故事的物理学家呢（Leonard Mlodinow never fails to make science both accessible and entertaining），书中真读到史蒂芬·茨威格的影子。很庆幸我有两本，目前我读的科学史相关的书中，能与之比较的估计也就卡约里的《物理学简史》[?]。比如看看博士的宗谱，赵教授与蒙洛迪诺的物理阅历比较起来还是两个级别吧，但最大的区别还是对于科学史的细节把握和连贯性处理等方面。考虑到赵教授所处的环境，他的书[?]已经是很难得也很珍贵了。有机会正好再看看弗里曼·戴森的《反叛的科学家》的台版。
台版翻译为《科学大历史》比较准确吧，日本翻译的似乎是《人类科学的400万年史》，相比龚睿翻译的《思维简史》，最初还以为是心理学著作呢，都忘记了什么原因购买的，还买重了哈哈哈，封面设计就不吐槽了，毕竟中信进入了好书，翻译的读起来也很顺畅，除了个别小错误，比如赫兹并没能活到76···
Leonard Miodinow并没有走入两朵乌云的俗套，这很有胆识，更是自信。
献给西蒙·蒙洛迪诺
推荐序1
剑齿虎已经灭绝了，事实上是被我们的祖先灭绝的。这一点说明，我们的脑子比四肢重要。好奇心和不断从失败中总结经验的本领，系统思考的方法和挑战极限是人类思维的第三个值得称道的特点，是人类立足世界的根本。

中世纪是一个把精神世界看得比物质世界重要的时代。
大学的拉丁文一词最早是复数，意思是很多人的共同体。
人和人之间的差异，首先还不是在学识上，更不是在金钱上，而是思维方式和做事的方法上。
推荐序2
脱离日常生活才有科学（开启科学的第一步是脱离日常生活）
智人相对于其他直立人的一个认知升级，是我们能够想象一些不存在现在的东西，很多事情是我们先想到然后才做到。（伽利略想象一个不受摩擦和空气阻力的世界）
牛顿在写第一版《原理》的时候，仍然只把引力当成是天体之间的作用力，他没有想到，或者想到了但是还不确信，地球上各种东西之间也存在引力。牛顿是到后来才相信引力是普遍现象。（真理的认知永远不是一蹴而就的。）
科学是一个反常识的、永远在革命的、不以实用为目的的东西，是纯粹精神上的追求，是人类想要知道这个世界的底层逻辑，是想破解世界的源代码。
罗马比希腊人强大，但罗马没有科学，连希腊人都放弃了科学，幸亏阿拉伯人把希腊的经典著作翻译了过去，科学得以在伊斯兰世界保存。

一、直立的思想家（神秘感是一个人所能经历的最美好。）
1、我们求知的动力
我们从过去将潮涨潮落视为女神的旨意，发展到后来认识到这只是月球引力的结果而已。
科学在错的人手里会非常枯燥。
孤立的天才诸如伽利略和牛顿等人的作品，并不是一个从真空的社会或者文化中出现的。它深深扎根于古希腊人对知识的求索过程中，成长于宗教提出的重大问题中，与艺术创作的新手法一同发展，炼金术赋予了它斑斓的色彩···
科学“如同人类其他努力一样主观和充满心理暗示。”
2、好奇心

大自然花费600万年制造出人类的祖先---猿猴；我们身体上的进化发生在100万年时间里；我们的文化发展只用了1万年。“所有的生命进化到某一点，接着我们转向了正确的方向，然后开始爆发式发展。”心理学家布恩斯

大脑的结构---神经元以及神经元组之间相连接的性质---比起大脑的体积来说更为重要。（拜伦5磅，爱因斯坦2.7磅）
人类没有强有力的肌肉组织，但我们却拥有超大的头盖骨。
某些宗教将提问视为最高等级的理解，在科学和工业领域，提出正确的问题是一个人能拥有的最终哦古窑的天赋。另一方面讲，黑猩猩和倭猩猩可以学会通过简单标识和它们的训练员进行交流，甚至可以回答问题，但它们从不会向他们提出问题。它们有着强有力的身体，但它们却不会思考。
3、文化
每天早上我们照镜子时都会看到其他动物无法看到的形象：我们自己。
大自然耗费数百万年才使人类的大脑有能力提出关于自身存在的问题，而一旦人类具备这种能力，我们这个物种就能在很短的时间里产生重塑我们生活和思考方式的文化。
提出马力这个概念的詹姆斯·瓦特
天文学家艾德蒙·哈雷拜访牛顿，向他请教一个数学问题，这次偶然的造访给了牛顿灵感。没有这次造访，牛顿很有可能不会写出《原理》···
艾略特，“不成熟的诗人去模仿，成熟的诗人去剽窃···优秀的诗人让它变得更好，或者至少看起来会不同。”
黑猩猩能够给它的同伴展示捕捉白蚁的技巧，但它们不会去提升这种技巧。
考古学家有时会将文化创新同病毒作比较。（如今盛行的应试教育一定是某种病毒爆发后的结果）
在谈到新观念的产生时，正如进化遗传学家所言，“并不是需要你有多聪明，而是要看你的交际范围有多广。”
4、文明
“···我站在巨人的肩上”，牛顿在1676年写给胡克的一封信里写下的这句话，表明他所取得的成绩是建立在胡克以及笛卡尔工作之上的。牛顿的确从他的前辈的观点里受益匪浅，实际上，就连他说的这句话也是从其他人那里学来的。1621年牧师伯顿写道，“站在巨人肩头的侏儒比巨人看得更远。”···17世纪，巨人肩头的侏儒和矮子似乎是描绘学术追求的一个必备比喻。
权威意味着权力，为了使权力有效，统治者必须收集数据···正是出于他们工作的需要，这些官僚发明了最重要的思考工具：阅读、书写和计算。
人的思想能够以一种非常复杂和微妙的方式影响他人的思想。

“证明黑猩猩有语言能力，就跟生活在某个小岛上的一种不会飞的鸟儿等着人类去教它们飞翔的可能性一样大。”语言学家乔姆斯

就和飞行不是鸟儿的发明，幼鸟也无须去飞行学校学习飞行一样，语言对于人类来说是很自然的---但也仅限于人类。
“至今还没有发现过不会说话的部落，也没有记录显示有哪种语言从作为语言摇篮的某个地区扩散到之前没有语言的族群。”
在整个历史中一直有人诋毁数学。早在公元前415年，圣奥古斯丁写道：“危险···数学家与魔鬼签订盟约，他们让灵魂变得阴暗，把人囚禁在地狱之中。”
p+，m—直到15世纪才被引入欧洲，等号也在1557年才被发明。
汉莫拉帝法典和金字塔不同，并非一个伟大的物质成就，而是一个不朽的智力成就。
伟大的希腊奇迹孕育了数学求证的观念，科学和哲学以及今天称为推理的概念，发生在牛顿出生前的2000年。
5、推理
亚历山大征服了美索不达米亚以后，那种认为希腊的东西要更好的想法迅速传遍了整个近东地区。
“人应该对一个混乱的世界有所预期，这个世界无法以任何形式被人的大脑所理解。”“关于宇宙最不可理解的事情竟然是它可以被理解。”
牲畜理解不了把它们束缚在地球上的力量，乌鸦也对使它们飞翔的空气动力学一无所知。
米利都得财富给了人们闲暇时间，有了闲暇人们就能够投入到对有关生存在的问题的思索当中了。
公元前600年，新米利都城在某种程度上变成了古代的纽约。
泰勒斯是一个精明的富裕商人，简直就是一个人的“石油输出国组织”，并且和独裁者私交甚好。
“要耐心对待你心中的未解之谜，试着去喜欢问题。去实践问题。”
泰勒斯是第一个求证几何真理的人，而不只是简单地陈述看起来有用的事实结论。
据说泰勒斯是第一个明白日食发生原因的人，也是第一个提出月亮发光其实是反射的太阳光的希腊人。
毕达哥拉斯真正的贡献不在于他得出了什么具体定律，而是在于他推广了宇宙是依照数字关系构建的这个概念，他的影响力不是因为他发现了自然世界的数字练习，而是来自他对其的颂扬。
到目前为止对未来科学发展影响力最大的人不是发明了理性分析的泰勒斯，也不是把数学带入理性分析的毕达哥拉斯，甚至不是柏拉图，而是他的学生，后来成为亚历山大大帝的导师，亚里士多德。
亚里士多德很小的时候就成了孤儿。罗素说他是第一个“像教授一样写作的人···”“被常识稀释过的柏拉图。”
科学是成见和权威的天帝。
在亚里士多德的时代，任何试图将自然哲学转变成量化追求的努力都会毫无意外地遭遇古希腊知识界的阻力···和其他人一样，亚里士多德只是单纯地对量化表述没有兴趣而已。他非但理解不了作用力或加速度的概念，甚至不关心这些东西。
科学最早产生于人类试图了解世界并从中发现意义的基本欲望。
“我的物理学只是第一步，因而也是很小的一步。”亚里士多德公元前322年去世，享年62岁。
亚里士多德从来都是一位深刻的思想家，产生了逃跑的念头，而不是冒险当一名烈士。他为自己的决定找到了一个高尚的理由---避免雅典人再一次犯下对抗哲学的罪孽---但这个决定，就和他探究日常生活的方法一样，是非常实用的。
他的思想经过部分修正最终成为罗马天主教会的官方哲学。接下来的19个世纪里，研究自然世界就意味着研究亚里士多德。

二、科学
6、新的推理方式
罗马的崛起是人们在几个世纪的时间里对哲学、数学和科学兴趣衰减的开始---甚至在那些讲希腊语的知识分子当中也是如此---因为实用至上的罗马人并不重视这些领域的研究。（“希腊人”成了贬义词）
富有的阿拉伯赞助人乐意为把希腊科学翻译成阿拉伯语的活动提供资金支持。

教育系统收到严苛的控制，主要集中在文学和道德修养方面的学习，几乎不重视科技创新和创造力，这种情况从明朝初年一只到20世纪也没有实质性的改变。
今天意义上的大学1088年在博洛尼亚，1200年在巴黎，1222年在帕多瓦，1250年在牛津，这这些地方，自然科学而不是宗教成为教学的重点。
教授无故缺席或者迟到，或者没有回答学生提出的难题，学生是要罚老师的钱的。莱比锡大学校方甚至不得不通过一项规定，禁止向教授投掷石块。
牛津大学默顿学院。默顿法则：物体从静止状态开始持续加速所经过的距离，和以这个加速物体最高速度一般的速度运动的物体在相同时间经过的距离相同。
今天一个普通的六年级学生懂得的数学知识要比14世纪最前沿的科学家还要多。28世纪的儿童和21世纪的科学家是否会出现类似的表述呢，这是一个有趣的问题。
（奥雷姆战士默顿法则的图标）
在文艺复兴行将结束时，伽利略出世了，比莎士比亚早了两个月。
伽利略最后并没有修完医学、数学或者任何专业的学位，他退学了，开始了长期缺钱和经常欠债的生命旅程。
伽利略最初靠给别人补习数学来养活自己。
伽利略成了比萨大学的一名教授，讲授一门占星学课程，目的是帮助医学专业的学生决定何时给病人放血治病。他还给有抱负的医生提供宝瓶座的位置对于水蛭放置有何意义的建议。

伽利略的观察结果后来被称为惯性定律，之后牛顿经过改造把它变成自己的第一运动定律。在陈述完这个定律后，牛顿在随后的几页纸上补写说它是由伽利略发现的---这是一个牛顿把功劳算在别人头上的罕见例子。

伽利略是科学界的摩西，带领着科学走出了亚里士多德主义的荒漠。
一个历史学家把伽利略的自然概念描绘成“一个由不相容元素构成的不合情理的混合物，产生于互相矛盾的世界观，在这之间他泰然自若。”
他把这本书献给教皇，并附带了长长的解释，说明为什么他的观点不是异端邪说。
（荷兰）当时有两个小孩在换一个默默无闻的眼睛制作商的作坊里玩耍，他们把两个镜片叠在一起，透过它们去看远处教堂屋顶的风向标，风向标被放大了···
学术史上那些伟大发现的视角通常是含糊的，而不是清晰的，相较于传奇故事，或者发现者自己经常希望去承认的那样，他们的成就更要归功于他们的朋友和同事---以及运气。
1609年，伽利略已经发明了一个放大小姑偶达20倍的望远镜···
就望远镜而言，这样的困难表明伽利略的天才并非体现在他是如何改进仪器的，而是体现在他是如何使用它。
被软禁的伽利略，尽管是一个囚犯，却被允许接待访客，甚至异教徒---只要他们不是数学家。
伽利略（和莎士比亚同年出生）1642年去世，享年77岁，同年牛顿出生。
伽利略临死时，儿子陪在身边，是的，还有少数几个数学家。
图书管理员勇敢地写道：“不仅照亮了佛罗伦萨，也照亮了全世界和整个世纪。从这个非凡的人物身上，我们获得的辉煌要比从几乎所有其他普通哲学家身上获得的辉煌还要多。”
7、力学宇宙
“对牛顿理论来说，没有什么东西是不确定的，未来，就像过去一样，将会呈现在它的眼前。”
牛顿的世界观现在是我们的第二天性。
“你可别像牛顿那样，专注在一个领域就可以了。”（今天体育杨老师忽然问，牛顿和爱因斯坦谁更厉害。关公战秦琼？但从个人开拓领域来看，牛顿物理很多方面和数学微积分等都是开拓性的）
担任过牛顿5年助理的人说，他只见牛顿笑过一次，当时有人问他为什么居然会有人想研究欧几里得。
霍金曾经告诉蒙洛迪诺说他有一种很高兴自己瘫痪的感觉，因为这让他可以更专注于自己的工作。

“吸引人们投入到艺术和科学研究中的一个最强烈的动机是他们可以从日常生活里那些让人痛苦的粗鄙和毫无希望的枯燥中逃离···每一个动机都让这个宇宙和它的结构成为他情感生活的支点，从而以这种方式寻获平静和安全感，而这些是他无法从个人经历的狭隘漩涡中找到的。”@爱因斯坦

牛顿实际上保存了他写过的所有东西，甚至一次性的演算纸和学校的旧笔记本···“我们无法简单地按照我们理解同类的标准去理解牛顿。”
牛顿理解世界的努力来源于他非凡的好奇心，以及完全发自内心的对于探索的强烈渴望，就跟驱使我父亲拿一片面包去换那道数学难题的答案的冲动一样。研究宇宙定律就是研究上帝，对科学的热情其实就是另一种形式的宗教热情。
牛顿对孤独的嗜好和他长期的工作，至少从他的学术成就这个角度看，是极大的优点。（说牛顿情商低的就如奴仆嘲笑他干不好农活一样，电视上那个小孩子还不如说自己智商低更贴切）
牛顿是一个早产儿，当初两名妇女被拍到几十英里之外的地方买补品时一直都在磨蹭，因为她们相信在赶回来之前这个孩子肯定就死了。
如果说牛顿从来没有发现在他生命中拥有别人有什么用处的话，或许那是因为他的母亲似乎从来不觉得他有什么用处。
仆人们庆祝牛顿的离去---不是因为他们为牛顿感到高兴，而是因为牛顿对他们一直很严厉。
剑桥大学在超过35年的时间里一直都是牛顿的家。
牛顿1665年勉强毕业，并被授予学者头衔，同时获得4年额外的经济资助用于学习。
和橄榄球运动员一样，我们科学家之所以忍受这些撞击带来的疼痛，是因为我们热爱我们的运动胜过我们讨厌疼痛。
1666年牛顿本人还不是一个牛顿主义者，依然认为匀速运动源于运动物体的内在属性，而说到“重力”，他指的是某种源于原材料的内在属性，而不是地球施加的一种额外的作用力。他当时提出的观点仅仅是一个开始，一个让他对很多东西感到困惑和纠结的开始。
皇家邮政在1635年开始向公众提供服务，这让不善社交的牛顿有机会可以和其他科学家通过信件进行交流，甚至是那些偏远地区的科学家。（技术推动变革）
牛顿设想你可以让时间小到比任何有限数还要小---然而又要比零大。
一条曲线在给定时间点上的斜率---所用到的数学定律构成了微积分的基础。如果构成化学物质的原子是不可分割的，那么无穷小就像构成空间和时间的不可分割物。
利用他的微积分，牛顿发明了变化的数学。
“问题是这个理论还不够疯狂。”（沃尔夫冈·泡利）（保利的翻译很特别）
波义耳和胡克的著作启发了牛顿，尽管他从未承认这一点。（前面站在巨人的肩膀上的话出自写给胡克的信）
哲学家认为太阳的白光是最纯的那种，完全没有颜色。胡克推断是棱镜这样的物质产生了颜色。牛顿宣称白光是一种复色光。（托马斯杨提出三原色···）
牛顿发现他的引力定律后，甚至相信摩西、毕达哥拉斯以及柏拉图在他之前就已经知道它的存在。
我曾经很担心上体育课，尤其要在其他男孩的面前洗澡。理论物理暴露的不是身体，而是智商，其他人真的会看，并且也会品头论足。
牛顿的孤立，正如中世纪阿拉伯世界的学术孤立导致伪科学的扩散一样···
由于对批评过敏，牛顿同样不愿意分享他在瘟疫发生期间完成的关于运动物理学的革命研究。
这些遗留下来的数学和物理学观点就像一杯过饱和的盐水，内容很多，但却尚未结晶。
“假如牛顿在1684年就死了，而他的论文保留了下来，我们只能从这些论文中得知有一位天才曾经生活过。”我们并不会把他誉为塑造现代学术的标志性人物。

在1684年，科学的历史进程被一个几乎是偶然的碰面改变了。

哈雷和他的两位同事怀疑开普勒的定律反映出一些更深层次的真相。
接下来的18个月，牛顿除了扩充他的论文之外什么也没做。他像一台物理学机器，一直的习惯就是当他忙于某个课题时，会省略掉吃饭甚至睡觉的时间。据说他的猫由于老吃他留在盘子里的食物而变得肥硕起来。
牛顿最终关闭了他炼金实验室的大门···他的确还按照要求继续讲课，但讲课的内容却怪异晦涩并且无法听懂。后来人们才发现，牛顿只是在上课时出现在课堂上，朗读他的《原理》的草稿。
牛顿取得突破的一个催化剂是胡克5年前写给他的一封信。胡克在信中提出了一个观点，认为轨道运动可以被视作两种倾向不同的运动的总和。
重力普遍存在这个重要观点似乎是牛顿在修订《原理》早期草稿时才逐步发展形成的。
牛顿并没有设想过人类访问其他行星，但是他断言作用力会引起加速···
直到牛顿去世之后很久，差不多在他提出牛顿第二定律之后的100年，他的第二定律才以数学等式的形式出现。
牛顿第三定律中，牛顿说宇宙中的运动总量不会发生改变。今天的运动总量就是宇宙刚形成时的运动总量，只要宇宙继续存在，它就一只保持不变。
1686年，皇家学会同意发表《原理》，但要哈雷愿意支付印刷费用。
洛克准备钻研这本书。
罗伯特·胡克将《原理》成为“世界形成以来自然界最重要的发现”。接着他忿恨地宣称牛顿从他那里偷走了平方反比定律的重要观点。他的话有一定的道理···
有一些人指责牛顿宣扬超自然现象或者“神秘力量”，因为他的作用力在远处也能发挥作用，承认巨大的天体通过宇宙真空去影响远处的物体，而它们并没有明显的传导其影响力的途径。也让爱因斯坦迷惑不解---特别是牛顿的重力是即时传导的事实。爱因斯坦用实际行动证明了自己的怀疑，并创造出了他的重要理论。牛顿同时代的那些人尽管批评重力在远处发挥作用的观点，但又无法提出替代选项，只得承认牛顿成就的科学力量。
1696年，已经在剑桥生活了35年的牛顿放弃了大学生活，接下来的27年里，牛顿一直按照伦敦的上层社会圈子的方式生活，他很享受这种生活。
1703年胡克去世后，牛顿被选举为皇家学会主席，年龄和成功并没使他变得平和。他以铁腕手段管理皇家学会···通过各种手段报复和惩罚他人以维护自己的地位。（牛顿拖后了英国数学100年的时间···罗素说）
牛顿凭借近乎神圣的思考力，以及他独有的数学原理，探索了行星的轨道和形状、彗星的路径、大海的潮汐、光线的差异以及由此产生的颜色的性质，这一点别的学者之前从未想过。他用勤奋、睿智以及忠诚诠释了自然、历史和《圣经》，他以他的哲学思想维护了全能和仁慈的上帝的威严，并通过他的举止传达了《福音书》的简朴。人类应该为他们中间存在过这样一个伟大的装饰屋而感到欣喜。
牛顿和伽利略的生命加起来跨越了160多年···

8、物质的构成
阿基米德说摘要给他一根足够长的杠杆，他就能撬动地球；我相信只要给我合适的家用化学品，我就可以让它爆炸。
物质的科学科学和变化的科学物理是并肩发展的。
物理开始于泰勒斯、毕达哥拉斯和亚里士多德的头脑中，而化学则诞生在商人的密室和炼金术士的小屋里。化学具有一种求知欲和征服物质的高贵品质，但它也一直具备获得巨大收益的潜力。
从某种意义上说，牛顿发现的三条运动定律是比较简单的，尽管它们掩藏在由于摩擦和空气阻力的迷雾以及重力的隐形外衣构成的普通表象之下。

就像物理学的诞生依靠的是新数学的发明一样，真正意义上的化学的诞生不得不等待某种技术发明---可以精确测量物质重量的仪器···
古埃及时代，对于死者命运不断增加的担忧推动了木乃伊制作技术的出现。
Better things for a better after life, through chemistry.(Better living through chemistry.)
既然尸体防腐是一门生意，而非科学，因此它的发现并没有被当成古代的爱因斯坦们发明的理论，却更像是爱因斯坦牌百吉饼的秘方：他们是严加守卫的秘密。这些生意人从事的原始化学正式炼金术神秘主义文化的起源。
帕拉塞尔苏斯，没有胡子，女里女气，名字的意思是比赛尔苏斯更伟大。

罗伯特·波义耳的父亲不仅有钱，他或许是大英帝国最有钱的人。

波义耳仔日内瓦度过的时光对他影响至深。14岁那年，他在某天晚上被剧烈的雷暴惊醒，发誓说如果能活下来，他将把自己献给上帝。如果每个人都能遵守甚至依然记得他们在迫不得已的情况下所发的誓言，这个世界将会变得更好。

不知怎么的波义耳得到一本伽利略关于哥白尼的书，他的《对话》。这在人类思想史上是一个偶然却不可忽视的事实。读过这本书后，15岁的波义耳爱上了科学。
波义耳和牛顿以及帕拉塞尔苏斯一样是独身主义者，相信理解自然之道的努力是一条通往上帝之道的图景。
波义耳的伟大工作以抨击气是一种元素的观点开始。他得到一个脾气暴躁的助理，罗伯特·胡克。
识别元素的研究是波义耳工作的重心，能够证明空气是由不同成分构成的气体就足以有效打击亚里士多德的理论，就跟伽利略观察到月球上有山丘和陨石坑、木星拥有卫星对亚里士多德理论产生的冲击效果一样。

道尔顿在一个仅仅5页篇幅的章节里提出了让他在今天闻名于世的划时代时代观点：一种利用给你在实验室中可以进行测量来计算原子相对重力的方法。（是不是把质量翻译成了重力？）
道尔顿喜欢散步，十来岁开始研究牛顿的《原理》，迷恋牛顿的微粒理论···
在拉瓦锡的工作基础上，道尔顿用他的观点创造了有史以来第一种化学定量语言---按照分子之间交换原子的理论来理解化学家展开的实验的新方法。
霍金认为顽固是他最优秀的品质，我认为他也许是对的。尽管这让他很难共事，但他知道他的顽固不但让他活了下来，也给了他继续开展研究的力量。
随着时间的推移带着持续的兴趣和努力追逐长期目标的性格。
门捷列夫也非常适合供奉在倔强的骡子的万神殿里。（使性子，一阵阵发脾气，每年只修剪一次头发和胡子···）没有受过教育的母亲的遗言：戒除空想，专注工作，放弃空谈，耐心寻找上帝和科学的真理。
人们很容易把门捷列夫的成功归于他在正确的时间提出正确的问题，归功于他职业道德、热情、顽固以及极端的自信。···和他的智力因素同样重要的是偶然事件发挥的作用，或者至少为一个这样品质取得胜利提供了舞台的无关事件。在这种情况下，它就是门捷列夫想写一本化学教科书的偶然决定。（哈雷的来访触动牛顿要写一本书的偶然事件····）
他只依靠着直觉和信念坚持了下去。
英雄主义就是用于冒险。
1901年首次颁发诺贝尔化学奖，离门捷列夫去世还有6年。
从防腐师和炼金术士的实验开始的长达2000年工作的顶点。

9、生命世界
细胞让胡克联想到修道院分给修道士的小卧室。
人们可以把细胞看作生命的院子，但它比原子更复杂。一粒细胞最重要的产品就是自己的一个复制品。我们人类从一粒单个细胞开始，经过一系列40次以上的细胞分裂，最终由大约30万亿粒细胞组成。我们细胞的活动总量---一群没有思考能力的个体之间的互动---加在一起就构成了完整的我们，这简直是一个伟大的奇迹。就像一台电脑在没有得到程序员的指令的情况下对自己进行分析。这就是生物的奇迹。
亚里士多德把女人视为畸形的或者有缺陷的男性。
正是那些与众不同的人经常能看到别人看不到的东西。
伽利略甚至使用同样的仪器---他的望远镜---分别从两端进行观察，1609年告诉一位访客，“我看到的苍蝇就像羊羔一样大。”
有学者不相信任何在他们和他们观察对象之间的装置。望远镜有它的伽利略，很快就直面批评家并使用它，而显微镜却需要花上半个世纪的时间来让它的拥有者留下它们的印记。
41岁的列文虎克设计的显微镜放大效果是胡克显微镜的10倍。
如果伽利略喜欢观察月球地貌和土星环的话，列文虎克也从他的显微镜观察奇特的微生物构成的新世界中得到了乐趣。
50年的时间列文虎克从没有参加过一次皇家学会的会议，但他写给奥尔登博的几百封信，大部分被保存下来，“一个科学学会所能收到的最重要的系列通信。”即便英国荷兰海军正在向对方发射炮弹···
他揭示了我们自己的构造以及它们是多么平常，因为我们和其他生命形式有太多的共同之处。
俄国的彼得大帝甚至亲自拜访过列文虎克。1680年，没有列席的情况下被选为皇家学会的会员。
在漫长的一生中，列文虎克创立了未来生物学的许多领域---微生物学、胚胎学、昆虫学、组织学···和伽利略之于物理学以及拉瓦锡之于化学一样，列文虎克帮助确立了生物学领域的科学传统。
假如胡克和列文虎克从某种意义上说是生物学领域的伽利略的话，那么查尔斯·达尔文就是生物学上领域的牛顿。
达尔文一家经济条件优渥，但查尔斯却是一个讨厌学校的差生，后来他记录下对于死记硬背式的学习和没有什么特别天赋的糟糕回忆。其实是他妄自菲薄，因为他还没有发现对于“事实和它们的意义又强烈的好奇心”以及“在同一个研究主题上旺盛和持久的思考能量。”
就像哈雷没有停下来去看望牛顿并询问平方反比定律的话，牛顿就极有可能不会完成和出版他的伟大著作。（如果法拉第没有听到戴维和那位意大利朋友谈论电生磁和磁生电的话···）那个职位已经被提供给很多人，假如他们中有一个接受的话，达尔文极有可能在教堂中过完他平静的一生，永远不可能创造出他的进化论。（如果不是和二姨的一封求助信并得到回应的话···）
“上帝通过物理定律而不是命令和奇迹发挥作用。”这种观点为宗教和科学共存提供了最有前景的基础，很吸引年轻的达尔文。
随机变化和自然选择一起创造了具备新特征的个体。
意识到随机性发挥的作用代表着科学发展史上一个重要的里程碑。
就和伽利略和牛顿曾经对非生命世界所做的贡献一样：使科学从宗教质疑和古希腊传统中摆脱出来。
达尔文还需要收集大量权威的证据来支持他的理论，这种努力占用他接下来的15年时间，但最终，他将因此而获得成功。（像剧本，也有茨威格风格。）
亚当斯密已经证明，如果人们专门从事某一部分的生产，而不是每个人都试着制作完整的物品，生产效率会更高。
阿尔弗雷德·拉塞尔·华莱士
达尔文一直清楚他需要培养一种对他有利的共识，他安排发行人大量赠送这本书。
和牛顿一样，达尔文的影响力远远超出了他的科学理论，它包含了对于和生命完全无关的新思维方式。
达尔文73岁去世，在他所写的最后的信件中，有一封是写给华莱士的，“我拥有的一切都让我感到幸福和满足，但生命已经变得非常让人厌倦。”

三、超越感官
这可能是活着的最好时代，因为几乎所有你认为你知道的东西都是错误的。《世外桃源》1993
10、人类体验的极限
200万年前，当人类学会把石头做成切割工具时，我们实现了第一个伟大创新，那是我们利用自然为自己的需求服务的初次体验，实际上自此以后没有什么能像它这样代表着更伟大的顿悟或者使我们的生活方式发生更大的改变。
人们经常会提及科技革命、计算机革命、信息革命以及原子时代，这些最终都可以归结为一件事：把原子变成一种工具。
杜威，批判性思想通常涉及“忍受一种精神上的动荡和纷扰的意愿”。

哈佛大学系主任告诉学生们所有重要的东西都已经被发现了；慕尼黑大学物理系在1875年就提醒说这个领域不值得进行研究了，因为“物理学这一知识的分支即将完善”。就预知能力而言和泰坦尼克号建造者的豪言壮语不相上下。宣称这艘“近乎人脑能设计出的最完美的杰作”，1900年左右的物理学就像它一样，也被认为是无懈可击的，然而那个时代的物理学注定会沉默。（真好的比喻）
马克斯·普朗克是听到慕尼黑大学物理系主任那毫无价值科研的额建议的学生中的一个，他受一位高中教师的启发而研究物理学。这位教师赋予他一种激情去“研究在严谨的数学和多种自然定律之间存在的和谐”···“提前仔细思考每一步，但接下来，如果你相信自己可以承担这份责任，不要让任何东西阻止你。”
普朗克在1879年关于热力学的博士论文既没有成功地证实原子的存在，也没有证实原子的不存在。基尔霍夫认为它是错误的，亥姆霍兹和克劳修斯婉拒审阅的请求，克劳修斯甚至拒接见他。
除了普朗克，世界上至多还有3个人认为这是一个值得研究的问题。
经过大量的实验和试错，普朗克终于把它们缝合进了自己的专门公式中···
一个不想借助原子概念来研究物理学的布道者，从一个他一直反对的理论的拥护者的工作中寻找智力上的救赎。这种对于和自己成见相左的观点的开放态度就是科学应该如何去做的方式，这也是爱因斯坦后来对普朗克赞誉有加的原因之一，但这并不是科学家通常进行的方式。

“科学新真理并不是通过说服他反对者来取得胜利，而是因为它的反对者最终都将死去，而熟悉它的新一代将会茁壮成长。”

科学的每一次进步都是在葬礼上取得的。
普朗克获得1918年的诺贝尔奖
某些物理学家只是把普朗克的著作视为胡言乱语，尽管它与实验数据高度一致。
“为什么抛弃一种信仰，仅仅因为它不再真实。”
人们倾向于相信他们一直相信的东西。
爱因斯坦把这所大学预科学校称为一台“教育机器”，他的意思并不是说它做了什么有用的工作，而是说它喷出了让人头脑混乱的废气。
爱因斯坦后来写道，格罗斯曼是“无可挑剔的学生，我自己目无法纪，爱白日梦。他与老师关系融洽，什么都懂；我就像一个弃儿，少人怜爱。”格罗斯曼后来成了数学家，当爱因斯坦需要用到奇异几何来完成相对论时，格罗斯曼还给他讲过课。（好学生和坏学生）
索末菲是重要的量子理论先驱；迈特钠发现核裂变；戴森在电磁学的量子理论中发挥重要作用；伽莫夫等预测了宇宙背景辐射···
如果你准备称为一名理论物理学家，你最好具备顽固的性格和持久的毅力，可以为一个微小的发现激动不已，你掌握的点滴数学似乎可以神奇地破解大自然的一个奥秘，这个奥秘在你公布之前只有你知道。
我们每个人观察和测量的结果只不过是我们自己的个人观点，而不是一个所有人都认同的事实。这就是爱因斯坦狭义相对论的精髓。
在日常生活中，我们每个人所经历的现实都只是个人体验，取决于我们的位置和运动，爱因斯坦已经开始拆除牛顿的世界，就像伽利略开始拆除亚里士多德的世界一样。

相对论的神奇效果只会在极端条件下显现，比起量子理论，相对论在日常存在中的重要性要小得多，量子理论解释的正是构成我们的原子的稳定性。
“感谢爱因斯坦为理论物理学做出的贡献，尤其是他对光电效应定律的发现做出的贡献。”
“所有这50年的思索，并没有使我更接近这个问题的答案：什么是光子。”

11、看不见的王国
无论有多少同事或批评家说你的作品糟糕透顶，都没有一个人能证明它，但在物理学领域就能够证明。
终身教职为什么对科学如此宝贵，它可以让科学家即使失败了也有安全保障，这对于培养创造力至关重要。
爱因斯坦对光子理论的忽视让密立根写道，“尽管···爱因斯坦的光电效应公式取得了明显的成功，它表达的这个光子的物理理论被发现是如此站不住脚，以至于爱因斯坦本人，我认为，也不再相信它了。”
卢瑟福认为一种元素会衰变成另一种原子，这种观点遭人轻视，就仿佛留着长须、披着炼金术士长袍的人才会提出这种观点。1941年，科学家将会学会如何把水银变成黄金···
汤姆逊1906年被授予诺奖，卢瑟福则在1908年获得诺奖，不过是化学奖。
卢瑟福只比爱因斯坦小5岁，这种代购却大到足以使他成为一个新生代。
玻尔选择了分析和批评汤姆逊的理论，但汤姆逊将不会和他讨论他的论文---甚至不会阅读它。对波尔来说，汤姆逊的忽视将被证明是因祸得福，在剑桥大学饱受煎熬之际，见到了来访的卢瑟福，卢瑟福欣赏波尔的观点，邀请玻尔去他的实验室工作。一个操着浓重新西兰口音，一个讲一口丹麦英语。
当卢瑟福在谈话过程中被反驳时，他会饶有兴趣地聆听，但直到谈话结束时也不会做出任何回应。玻尔则是为辩论而生的，他很难创造性思考问题，除非房间里有另一个人可以和他进行针锋相对的辩论。（互补性真强啊）
马斯登研究一种雷达技术，作为纳粹支持者，改革将研究德国原子弹。
人们不清楚的是，原子需要的并不是一个更聪明的解释，而是一个革命性的解释。

12、量子革命
引入“光子”的（“量子力学”也是）马克斯·玻恩写道：“我毫无希望地思索着量子理论，试图找出一种计算氦原子和其他原子的秘诀···”
1923年德国马克的价值是它战前价值的一万亿分之，买一公斤面包需要5000亿这样的“德元”。尽管如此，新量子物理学家还在从理解原子以及那个微小层面的自然基本定理中寻求养分。
维尔纳·海森堡是一位古典语言教授的儿子，天资聪慧以及争强好胜，经常和大一岁的兄长大家，用木椅攻击对方···终其一生都没有和对方说过话。在未来的日子里，海森堡还将同样凶猛地攻击他的工作带给他的挑战。海森堡一直把竞争当做个人挑战，通过训练变成了一名优秀的滑雪者。
听到这个年轻人对物理学的兴趣后，作为数学理论家的林德曼突然终止了面试，说道：“假如那样的话，你根本就不懂数学。”他真正的意思可能是，在接触了一个更有趣的科目后，海森堡将很难再有耐心去研究数学。
师从索末菲的海森堡1924年去哥本哈根拜访尼尔斯·波尔。
我们崇拜费曼和狄拉克，因为他们发明了表面上不合规定的数学概念，并通过它们得到了神奇的结果；我们崇拜波尔，是因为他的直觉。我们把这些人视为英雄，超人般的天才。他们的思路总是那么清晰，观点总是那么正确。
“我在生命中一次又一次地失败，这就是为什么会成功。”

听一听波尔的误导概念或牛顿在炼金术上毫无成果的努力，知道我们的智力偶像也会和我们一样产生错误观点和失败，这具有同样的价值。

放弃对原子内部活动方式的物理想象是可行的，甚至是必要的---比如电子的运动轨道，它是我们在头脑中想象出来的，但在现实中却无法观察。
为什么非得执着于这些旧观点呢？（从对原子的认识，看我们的教育，思维还停留在亚里士多德之前。）
1925年春天海森堡回到哥本哈根并在波尔的研究所担任讲师。和22岁就改变了世界政坛的亚历山大一样，23岁的海森堡将引领一场重塑世界科学版图的行军。（茨威格式的描写）
“理论物理学实际上就是哲学。”
海森堡对于可被测量的东西的关注与爱因斯坦在创造相对论对如何计量时间的操作方面的谨慎关注相似。
2000多年前原子概念的诞生，200多年前牛顿发明了数学力学，20多年前普朗克和爱因斯坦引入量子概念。从某种程度上说，海森堡的理论是所有这些长长的科学思维脉络的顶点。
（海森堡和波尔合照）
海森堡在一个岩石小岛上孤独地完成了他的著作，薛定谔（38岁高龄）的作品完成于圣诞节假期，当时和一名情妇在阿尔皮斯山脉的休闲小镇度假···
费曼将创造第三种量子理论构想。
人们可以说创造量子理论的过程是某种意义上的发现，物理学家在探索自然的过程中意外地发现了自然的很多原理。然而，量子理论却是被发明的！科学家所设计和创造的许多不同概念框架具备同样的功能。
和我们的生命一样，科学理论既可以矗立于岩层之上，也可以修建在砂砾之中。爱因斯坦对物理世界的绝对希望就是量子理论将证明是修建在后者之上的，时间一长，这个脆弱的地基将导致它坍塌。
关于希特勒的崛起，海森堡曾欣喜地评论道，“至少现在我们有了秩序，可以结束这场动荡了，我们有一双强有力的手统治着德国，这对欧洲有好处。”
纳粹开始把相对论和量子理论称为“犹太人的物理学”。正如他们痛恨“堕落”的艺术一样，他们讨厌它的超现实和抽象概念，最糟糕的是，大部分内容是犹太科学家的成果（爱因斯坦、波恩、波尔（他应该不是犹太人，是热心帮助犹太人吧）、泡利）
作为剑桥大学卢卡斯教授，狄拉克因为道德的原因拒绝了曼哈顿计划的工作邀请···
1932年玻恩选择对诺贝尔奖置之不理，于是海森堡获得了它。玻恩1954年获得了自己的诺奖。
丘吉尔营救波尔，装在一架德哈维兰蚊式轰炸机弹仓的垫子中，缺氧昏了过去，但是他还是活着到了英国，依然穿着离开丹麦时所穿的衣服。
和伟大的实验主义者盖革一样，乔丹也是一名狂热的纳粹分子，是早期先驱中唯一没有获得诺贝尔奖的人。
普朗克最亲近的小儿子被盖世太保杀害了。两年后普朗克离世，享年89岁。
德国人在战争初期的胜利将导致他们彻底的失败：纳粹政权最初内有部署太多资源来研究原子弹---在他们可以造出原子弹之前纳粹就被打败了。
1973年，当我还是一名学生时，获得参加海森堡在哈佛的一个关于量子理论发展的讲座的机会，我没办法让自己参加。数年后，我成了一个在他曾经担任过主任的研究所研究员时，我经常会站在他曾经工作过的办公室外，思索着这种帮助他发明出量子力学的精神。
波义耳和牛顿那样把自然研究当成是理解上帝本质的一种途径的开拓者。
我们人类并没有超脱于自然，而是像鲜花或者达尔文研究的鸟儿一样转瞬即逝。
尽管我父亲从来没有机会进入一所高中，但他对于物理世界却有着深刻的体会和好奇心。
我告诉他有一天我会写一本关于物理世界的书。

后记
伽利略想象物体在一个没有阻力的理论世界下落；道尔顿想象如果元素由不可见的原子构成，它们将如何发生反应来形成化合物；海森堡想象原子王国是由一种和我们在日常生活中体验到的定律完全不同的奇异定律统治的。这种幻想式思维方式的一头贴着“疯狂”，另一头贴着远见。正是靠着一代又一代观点介于两点之间的思想家勤恳的努力，我们对于宇宙的理解才会发展到今天这个境界。

JQX/进取芯 席明纳第7期（2025.5.8）

无限常摆长单摆周期问题

零、关于$T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$
这个公式是Qiusir在JQX第四期与新疆部学生进行头脑风暴时用到的公式。
根据天体运动中万有引力充当向心力，可以推导近地卫星（贴地卫星）的周期公式，为$T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$，这个公式很容易让人想到摆长为R单摆的周期，可事实上是这样吗？

一、关于$T = 2\pi\sqrt{\frac{r}{g}}$
后来讨论的过程中，学生提到他想表达的公式是这个。这个公式可以看做一个小球在圆轨道做小振幅往复运动的周期（等效单摆）。

二、从能量角度推导简谐振动的动力学方程和单摆周期公式
1. 简谐运动
简谐运动满足能量守恒方程：$\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}=E$，
简化这个方程，即当动力学方程满足$\frac{k}{m}x^{2}+\dot{x}^{2}=C$（$C$为常数）时，可判定为简谐运动。其中，$\frac{k}{m}$定义为角频率$\omega$的平方。
2. 单摆
选取单摆摆动的最低点作为重力势能零点。对于摆角为$\theta$的任意位置，根据机械能守恒定律，单摆系统的总能量$E$满足方程$\frac{1}{2}mv^{2}+mg(l - l\cos\theta)=E$，其中$m$为摆球质量，$v$为摆球线速度，$l$为摆长，$g$为重力加速度。
根据圆周运动线速度与角速度关系$v = \omega l$，且角速度$\omega$可表示为摆角$\theta$对时间的一阶导数$\omega=\dot{\theta}$，同时，利用小角度近似条件（当$\theta\approx0$时），$\cos\theta$可展开为$\cos\theta\approx1-\frac{\theta^{2}}{2}$。
将上述关系代入能量方程，可得：$\frac{1}{2}m\cdot\dot{\theta}^{2}\cdot l^{2}+mg\cdot l\cdot\frac{\theta^{2}}{2}=E$

由于在小角度下$\theta\approx\frac{x}{l}$（$x$为摆球偏离平衡位置的水平位移），将其代入上式，整理后得到：$\dot{x}^{2}+\frac{g}{l}x^{2}=C$。对比简谐运动的动力学方程，可得出单摆运动的角频率$\omega^{2}=\frac{g}{l}$。

可得到单摆的周期公式：$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

三、无限摆长问题的提出
我们知道单摆的周期公式是$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$，现在我们来思考一下，当摆长$l$趋于无穷大，还有当摆长$l$等于地球半径的时候，这个周期会是多少呢？
我们先来推导一下单摆周期公式。
当单摆的摆角$\theta$极小时，重力沿圆弧切线方向的分力$F = mg\sin\theta$作为回复力。

由于摆角$\theta$极小，此时$\sin\theta\approx\theta$，且$\theta=\frac{\overset{\frown}{OP}}{l}\approx\frac{x}{l}$，有回复力$F = - \frac{mg}{l}x$。设$k = \frac{mg}{l}$，则回复力$F=-kx$，这意味着单摆在摆角很小时做简谐运动。把$k$代入简谐运动周期公式$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$，便能推导得出相应结果。
那么，当摆长无限大时，周期应该为多少呢？是无穷大吗？我们慢慢道来，先来看一下这个情况：

四、近地卫星周期
万有引力充当向心力，可以推得$T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$，另外，如果使用近地卫星周期可以求密度的结论：$\rho = \frac{3\pi}{GT^{2}}$，将密度反向带回，也可以推导周期。

五、"地下铁"周期
我们假设在地球赤道对称两级挖通一个隧道，设地球半径为$R$，质量为$M$。在隧道一端由静止释放一个物体，质量为$m$，与地心的距离记为$x$。我们来分析一下这个物体的运动。

我们知道理想球壳对内部物体的引力合力为零，在这个物体在隧道里面运动中距离地心$x$处时，所受引力等效于半径为$x$的部分地球对其施加的引力。
球体质量公式$M = \rho\times\frac{4}{3}\pi R^{3}$（$\rho$为地球平均密度），可推导出半径为$x$的球体质量$M_{x}=\rho\times\frac{4}{3}\pi x^{3}$。结合$F = G\frac{Mm}{r^2}$、$mg = G\frac{Mm}{R^{2}}$、$M = \rho\times\frac{4}{3}\pi R^{3}$，可得到$F = -\frac{mg}{R}x$，图像请见黑板。带入简谐周期公式，容易算得$T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$。
可以发现，"地下铁"周期的计算结果，与近地卫星的周期数值是相等的，如果在地下铁释放物体的同时，在地面同时发射一颗近地卫星，会发现二者在各自轨道上的运动具有同步性（投影共线），这一现象背后其实蕴含着简谐运动是匀速圆周运动分运动的物理规律。

如果我们将地下铁的轨道换到更高纬度，经过计算（涉及到受力分解等，过程请尝试自行推导）依然可以算得$T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$，如果我们进一步提高纬度，将纬度极限到北极附近非常小的一部分，那么这个往复运动，应该可以视为无限摆长的单摆运动（摆长无限，近似于直线运动），那么，这个无限摆长的单摆周期，竟然不是无穷大，而是$T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$。

六、单摆周期公式的修正
通过前面的讨论我们发现，传统单摆周期公式在特殊情况下需要修正。在推导单摆公式时，我们默认重力场类似匀强电场一样方向不变，但实际将视角扩大到地球半径尺度下，我们可以发现其实重力方向是指向地心（忽略自转），那么修正后的单摆周期公式是什么呢？
如黑板七图所示，设摆长为$l$，地球半径为$R$。万有引力即为重力，$G \frac{Mm}{R^2}=mg$
回复力$F = mg \sin(\beta + \alpha)$
基于小角度近似关系$\sin\theta \approx \theta$，有$\sin(\beta + \alpha) \approx \beta + \alpha$
再根据小角度几何关系，有$\beta = \frac{x}{R}, \quad \alpha = \frac{x}{l}$
考虑到回复力方向与位移方向的反向关系，进而得到：$F = -mg \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{l} \right) x$
回复力系数为$k = mg \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{l} \right)$，代入简谐振动周期公式 $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$，
综上，单摆周期的最终表达式为：$T = 2\pi\sqrt{\frac{Rl}{g(R + l)}}$
这个公式中的摆长，可以等效为两个摆长并联的结果，我们前几期探讨了约化质量也是这个模式，这个难道是"约化长度"？

七、单摆公式修正后的结论
根据修正公式，我们可以发现以下结论：
当l相对R足够小时，该公式就近似于传统单摆周期公式，这也解释了为什么在日常使用传统公式计算普通单摆周期时能得到较为准确的结果。
而当l与R处于相近数量级时，二者差异显著，必须使用修正公式进行计算，
当$l = R$时，$T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{2g}}$。
当 $l$无限大时，单摆的周期 $T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$。该结果与此前推导的近地卫星周期、"地下铁" 周期数值吻合。

八、静电场中的简谐运动
我们再来说说关于电场的问题。如黑板8图，假设有一个正电荷$4q$和一个负电荷$q$，固定在距离为$l$的位置上，延长线有点$O$，与负电荷q 的距离也是$l$。
我们来分析一下在$O$点两侧极短的距离内，有一个正电荷$q_{0}$释放之后的运动情况：
根据库仑定律可得电荷所受合力$F = \frac{4k q q_0}{(2l + x)^2} - \frac{k q q_0}{(l + x)^2}$（其中$q_{0}$是释放的电荷）
我们使用AI软件帮我们进行一些体力操作，把这个力$F$泰勒展开展开一下，$F = \frac{k q q_0}{l^3}x - \frac{9k q q_0}{4l^4}x^2 + \frac{7k q q_0}{2l^5}x^3 + \cdots$
因为$x$远远小于$l$，所以我们可以把一些高阶无穷小项忽略掉，有$F = - \frac{q_{0}}{l^{3}}x$，满足简谐运动回复力关系。
从势能的角度来看，我们知道势能和功的关系是$W = - \Delta E_{p}$，我们对势能求导就可以得到力。同样的，我们如果写出势能与位移的表达式，进行求导，同样也可以得到力的表达式。

九、势能的极值附近，物理做简谐运动
肖老师补充：其实对于势能极值的位置，在附近做往复运动大多（并不是所有）可以认为是一种简谐运动。
如果将势能的表达式进行求导，泰勒展开后忽略高阶小量，可以得到力与位移的关系（满足回复力形式），再将力进行求导，得到的数值即为回复力常量k，进而可以求解周期等。
其实，我们在第二部分用能量进行求解单摆周期的过程，完全可以只分析势能，推导过程可以非常简化如下：
单摆的重力势能表达式为：$E_{p}=mgl(1 - \cos\theta)$
当摆角$\theta$很小时（满足$\cos\theta \approx 1 - \frac{\theta^{2}}{2}$），重力势能可近似为：$E_{p}=mgl\cdot\frac{\theta^{2}}{2}$
结合单摆小角度摆动时，摆球位移$x$与摆长$l$、摆角$\theta$的关系$\theta \approx \frac{x}{l}$，进一步推导可得：$E_{p}=\frac{mg}{2l}\cdot x^{2}$
求二阶导数，得到$E_{p}''(x)=\frac{mg}{l}$，即为k值。

十、利用泰勒展开进一步分析
势能的一阶导为该势能所对应的保守力：$F(x) = -\frac{dU}{dx}$，在平衡位置附近，力关于位置近似呈线性关系：$F(x) \approx -k(x - x_0)$，这与简谐振动的回复力形式相同。因此物体近似做简谐振动。其中$k = \left. \frac{d^2U}{dx^2} \right|_{x_0}$，是等效劲度系数。
泰勒展开的一般形式为：$f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x - a)^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \cdots$
我们把势能U(x)在平衡位置附近展开得到：$U(x) = U(x_0) + (x - x_0) \left. \frac{dU}{dx} \right|_{x_0} + \frac{1}{2}(x - x_0)^2 \left. \frac{d^2U}{dx^2} \right|_{x_0} + \cdots$，由于势能在平衡位置的一阶导数为零，对于足够小的位移，略去三阶以后的项，可近似得到：$U(x) \approx U(x_0) + \frac{1}{2}(x - x_0)^2 \left. \frac{d^2U}{dx^2} \right|_{x_0}$。
简谐振子势能的标准形式为：$U(x) = \text{C} + \frac{1}{2}k(x - x_0)^2$，因此我们可以看出等效劲度系数k为：$k = \left. \frac{d^2U}{dx^2} \right|_{x_0}$。

JQX|Jin
本期研讨Qiusir由单摆入手，通过揭示传统模型在无限摆长条件下的矛盾，修正了考虑重力方向变化的单摆周期公式，并验证了在常规单摆、无限摆长下的自洽性。更帅的是，进一步通过势能泰勒展开法，阐明简谐运动的普适性——平衡位置附近的势能二阶展开决定回复力系数，统一解释了单摆、电场振动等周期性现象。
这一过程逻辑严谨又前后呼应，不仅优化了单摆模型，更凸显物理中通过打破理想假设、探寻真实系统的研究：从矛盾出发，以数学重构模型，最终实现规律的本质性统一。

【下期预告】加速度的关联···
速度关联问题是高中物理运动合成中的难点之一。速度可以关联，加速度也可以关联吗？
下次席明纳，金老师将从一道经典习题入手，探寻三种常见模型的速度、加速度关联的本质，敬请期待。

JQX/进取芯 席明纳第6期（2025.4.29）

二体问题与约化质量

JQX|Xiao

一、水平弹簧双球系统的简谐振动分析
水平面上有两个质量分别为$m_1$和$m_2$的两个小球，中间由一个劲度系数为k的弹簧连接。我们分析该系统做简谐振动的性质。

1.求周期：由牛顿第二定律，两个小球的运动方程是：$m_1 \ddot{r}_1 = k(r - r_0)$,
$m_2 \ddot{r}_2 = -k(r - r_0)$，将两个方程联立可得：$\ddot{r}_2 - \ddot{r}_1 = \ddot{r} = -k \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) (r - r_0)$，化简为：$\ddot{r} = -\frac{k}{\mu}(r - r_0)$。引入约化质量：$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$，可以看到振动方程有简谐振动的形式，振动的频率为：$\omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}}$，根据周期公式：$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{\mu}{k}} = 2\pi \sqrt{ \frac{m_1 m_2}{(m_1 + m_2) k} }$。该系统可等效为质量为$\mu$的单质点在弹簧力作用下的简谐运动。

2.两个小球的振幅：根据能量守恒定律：$\frac{1}{2} \mu v_0^2 = \frac{1}{2} k A^2$，可得：$A = v_0 \sqrt{\frac{\mu}{k}} = v_0 \sqrt{ \frac{m_1 m_2}{(m_1 + m_2) k} }$，两个小球的振幅按照质量分配，$A_1 = A \cdot \frac{m_2}{m_1 + m_2} ,A_2 = A \cdot \frac{m_1}{m_1 + m_2}$ 。
求任意时刻两个小球的位置坐标：以质心为参考系：两个小球分别做简谐振动，根据动量守衡定律，速度和相对质心位移按照质量的反比分配，坐标分别为$A_1 = A \cdot \frac{m_2}{m_1 + m_2} ,A_2 = A \cdot \frac{m_1}{m_1 + m_2}$ 。
3.两个小球的位置坐标：回到地面系，质心速度为$V_c = \frac{m_1}{m_1 + m_2} V_0$，为简化运算，以初始时刻质心坐标为坐标原点，质心位移为$x_c(t) = v_c t=\frac{m_1}{m_1 + m_2} V_0 t$。两个小球在地面参考系下的位置坐标为：$x_1(t) = x_c(t) - A \cdot \frac{m_2}{m_1 + m_2} \sin(\omega t)$ ,
$x_2(t) = x_c(t) + A \cdot \frac{m_1}{m_1 + m_2} \sin(\omega t)$。附：若两个小球质量相等，会出现很有趣的结果，在地面参考系下，两个小球相差$\pi$个相位，平均而言，两个小球在推和拉的过程整体向右运动，但是它们将交替达到静止，一个速度最大时，另一个速度为零。

二、竖直弹簧双球系统的简谐振动分析
将两个小球与弹簧组成的系统用细线竖直悬挂，并处于静止状态。现将细线烧断，试分析两个小球的运动？同水平方向，两个小球的牛二定律同样满足简谐振动的质点运动方程，因此在质心系两个小球将同样做简谐振动，其振幅和周期的分析方法与水平方向的情形相同，结论一致。但是在地面参考系中，质心在做自由落体运动，运动方程会稍有不同，这里不做详细推导。

三、双星问题
两个质量分别为$m_1,m_2$的两个天体，距离为r，引力大小为$F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$，根据牛顿第二定律，对两个物体分别有$F = m_1 a_1,F = -m_2 a_2$。两个星体的相对加速度为$a = a_1 - a_2 = \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) F$ ，引入约化质量$\mu$,根据向心力公式和牛顿第二定律：$\mu \omega^2 r = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ ,解得周期T为：$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{ \frac{r^3}{G(m_1 + m_2)} }$。与我们常规推导方法相同。

上述三个问题虽然不同，但是核心都是利用约化质量和相对加速度来把二体问题简化为单质点问题，双星问题的周期是开普勒第三定律的推广形式，这里用到了高考模式下的星体在引力作用下做圆周运动的简单解，更普遍的形式应该为椭圆。值得一提的是我们利用约化质量处理了二体问题，自然就会想到有没有类似的方法来处理三体甚至其他的多体问题。看过小说或电视剧“三体”的同学们应该都知道，游戏内外的科学家们为了计算三体问题绞尽脑汁，最后也没有得到准确的答案，遗憾的是当系统扩展到三体甚至更多天体时，上述简化不再适用，三体问题因为缺乏通解而成为经典力学的经典难题之一。

【下期预告】星球上无限长摆长单摆的周期
从$T=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$的理解入手，从极限的角度理解无限长单摆的周期等相关问题···

对这本《演讲的本质》（my impact）的感受，我想到的了“挂洋头”（Martin Newman），可能也是很多人都说好的商业的东西，对于一个小知识分子来说就如碰到榴莲吧。
“我人生最遗憾的事就是当机会窍门时，我却错过了。”
四陪（这种词其实不太适合书面语，特别是对女“公关”）
被日本誉为“演讲之神”的马丁（对这个说法表示怀疑）（DeepSeek了一下，商界和政界却有这种说法。）
拒绝帮助客人成为乔布斯，培训师要帮助客户呈现更理想的自己。
一、演讲时领导者的必备能力

1971年梅拉宾法则：一个人对他人的印象，约7%取决于谈话的语言和内容；音量、音质、语速、节奏等声音要素占38%；眼神、表情、动作等形象因素所占比列高达55%。也就是说，哪怕你听不见对方说话的声音，也能理解对方想要表达的至少一半以上的内容。在视觉visual、听觉vocal、语言verbal的综合作用下，最终形成了别人对你的印象。
不做无意义的动作。拒绝没能量的声音。
人们在最初的两秒的直觉很重要。
最好是把演讲的过程录下来，然后客观地做出分析。
拍好后把声音关掉，专注于自己的形象。
不是演，而是展现更好的自己。
那一刻对方给你百分百的关注和友好。
其实自信不是来自你的内心，而是源于他人。当我们得到他人的肯定时，我们会有信心。
自信是礼尚往来的共赢。你对他人有信心，你乐于肯定对方，对方自然会获得自信，反过来你也会觉得愉快，对方也能从中感受到自信，因为越是自信的人，越能接受和尊重他人。

自信是同一个水平线上的互动，你得引导对方先建立他的自信，才能让对感受到你的自信。而且这还有利于你获取他人的信任，因为当对方觉得你是自信的，自然也更愿意信任你。

“神秘的东方人”，总是千篇一律的样子，面无表情，从不泄露任何信息。
西方人用“绕圈子”来形容中国人说话“抓不住重点”（东方人含蓄吧）
平庸的演员试图让观众相信自己的表演，而杰出的演员则毫无疑问地相信自己的表演。
（很多人）之所以认为自己不擅长演讲，多是因为不重视演讲的价值，认知有偏差。
二、形象是一种科学，不是颜值
手势让话语更有力量。
（男模特很一般啊，青涩；后面那个专职形象的，也就那么回事吧。）（涉及到具体的人，很难和理想的形象关联，卡通或者AI设计或许更好。）
演讲的一个最大原则，也是一个很棒简单的道理：“重要的事情说三遍！”（什么马云孙正义，什么日本申奥，那么几个事来回提及，感觉没那么好。）
盛情款待
像蜜蜂采蜜一样注视观众。（这一点，特别家长会等场合，自己目光游移，要试着改变）
演讲时，我们应该像蜜蜂采蜜一样和观众进行眼神接触···演讲时，将你的眼神专注在几个人身上，对方会感受到你的真诚和尊重，然后你再将眼神慢慢转向其他观众。
如果会话中你能多注意自己的身体状态，你会发现很多事情会随之变化，别人对你的印象也会大有改观。
微笑这一行为会让我们的心情变得更好，微笑不仅仅是心情好的产物。
三、声音是一种人格，不是音色
“如果一个人心中有上帝，那么他的声音应该像溪流的汩汩声或风吹在庄稼的沙沙声那般甜美。”
你主持的节目为什么那么受欢迎？“因为我一分钟说125个字。”
沉默之于演讲，就像父亲之于子女。演讲中，停顿的作用非同小可。
四、内容是一种价值，不是权威
说话太复杂，让人难以听懂。
We must learn to live together as brothers or perish together as fools.
断舍离：断是对于自己不需要的东西，坚决不买；舍是处理掉没用的东西；离是脱离对物质的执着，让自己所处的环境干净、空旷，让自己感觉自在。
“天哪！我自己都懒得听自己的演讲！”
作为交流者，重复是你最好的武器。
五、随时随地提升影响力
（作者以自己很牛的经历，当然是接触了很牛的人的经历，描绘理解的表面）
No Negativity No Status（没有否定，没有等级。）
参差多态，乃是幸福本源。
演讲像是装修房子，先定风格，再论梁柱。（壁纸吧）（建造房子还是装修房子）
危机是表，声誉是本
（“沉默的螺旋”，即大多数人持有的观点成为主流意见，而少数人的观点则逐渐被压制和沉默。）
停顿一定要留有足够的时间，甚至让人以为你忘词了或者出现了失误。
服饰是一种资源，也是一种工具，它可以控制并协助满足个人需求和实现目标。
像国王那样演讲。
如果演讲的目的只是传递信息，为什么不干脆发封电子邮件了事呢？
很多人以为演讲时一项脑力活动，实际上它更多的是身体活动。
我想帮助人们实现的是更好的自己，而不是成为别人。