JQX/进取芯 席明纳第6期（2025.4.29）

二体问题与约化质量

JQX|Xiao

一、水平弹簧双球系统的简谐振动分析
水平面上有两个质量分别为$m_1$和$m_2$的两个小球，中间由一个劲度系数为k的弹簧连接。我们分析该系统做简谐振动的性质。

1.求周期：由牛顿第二定律，两个小球的运动方程是：$m_1 \ddot{r}_1 = k(r - r_0)$,
$m_2 \ddot{r}_2 = -k(r - r_0)$，将两个方程联立可得：$\ddot{r}_2 - \ddot{r}_1 = \ddot{r} = -k \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) (r - r_0)$，化简为：$\ddot{r} = -\frac{k}{\mu}(r - r_0)$。引入约化质量：$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$，可以看到振动方程有简谐振动的形式，振动的频率为：$\omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}}$，根据周期公式：$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{\mu}{k}} = 2\pi \sqrt{ \frac{m_1 m_2}{(m_1 + m_2) k} }$。该系统可等效为质量为$\mu$的单质点在弹簧力作用下的简谐运动。

2.两个小球的振幅：根据能量守恒定律：$\frac{1}{2} \mu v_0^2 = \frac{1}{2} k A^2$，可得：$A = v_0 \sqrt{\frac{\mu}{k}} = v_0 \sqrt{ \frac{m_1 m_2}{(m_1 + m_2) k} }$，两个小球的振幅按照质量分配，$A_1 = A \cdot \frac{m_2}{m_1 + m_2} ,A_2 = A \cdot \frac{m_1}{m_1 + m_2}$ 。
求任意时刻两个小球的位置坐标：以质心为参考系：两个小球分别做简谐振动，根据动量守衡定律，速度和相对质心位移按照质量的反比分配，坐标分别为$A_1 = A \cdot \frac{m_2}{m_1 + m_2} ,A_2 = A \cdot \frac{m_1}{m_1 + m_2}$ 。
3.两个小球的位置坐标：回到地面系，质心速度为$V_c = \frac{m_1}{m_1 + m_2} V_0$，为简化运算，以初始时刻质心坐标为坐标原点，质心位移为$x_c(t) = v_c t=\frac{m_1}{m_1 + m_2} V_0 t$。两个小球在地面参考系下的位置坐标为：$x_1(t) = x_c(t) - A \cdot \frac{m_2}{m_1 + m_2} \sin(\omega t)$ ,
$x_2(t) = x_c(t) + A \cdot \frac{m_1}{m_1 + m_2} \sin(\omega t)$。附：若两个小球质量相等，会出现很有趣的结果，在地面参考系下，两个小球相差$\pi$个相位，平均而言，两个小球在推和拉的过程整体向右运动，但是它们将交替达到静止，一个速度最大时，另一个速度为零。

二、竖直弹簧双球系统的简谐振动分析
将两个小球与弹簧组成的系统用细线竖直悬挂，并处于静止状态。现将细线烧断，试分析两个小球的运动？同水平方向，两个小球的牛二定律同样满足简谐振动的质点运动方程，因此在质心系两个小球将同样做简谐振动，其振幅和周期的分析方法与水平方向的情形相同，结论一致。但是在地面参考系中，质心在做自由落体运动，运动方程会稍有不同，这里不做详细推导。

三、双星问题
两个质量分别为$m_1,m_2$的两个天体，距离为r，引力大小为$F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$，根据牛顿第二定律，对两个物体分别有$F = m_1 a_1,F = -m_2 a_2$。两个星体的相对加速度为$a = a_1 - a_2 = \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) F$ ，引入约化质量$\mu$,根据向心力公式和牛顿第二定律：$\mu \omega^2 r = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ ,解得周期T为：$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{ \frac{r^3}{G(m_1 + m_2)} }$。与我们常规推导方法相同。

上述三个问题虽然不同，但是核心都是利用约化质量和相对加速度来把二体问题简化为单质点问题，双星问题的周期是开普勒第三定律的推广形式，这里用到了高考模式下的星体在引力作用下做圆周运动的简单解，更普遍的形式应该为椭圆。值得一提的是我们利用约化质量处理了二体问题，自然就会想到有没有类似的方法来处理三体甚至其他的多体问题。看过小说或电视剧“三体”的同学们应该都知道，游戏内外的科学家们为了计算三体问题绞尽脑汁，最后也没有得到准确的答案，遗憾的是当系统扩展到三体甚至更多天体时，上述简化不再适用，三体问题因为缺乏通解而成为经典力学的经典难题之一。

【下期预告】星球上无限长摆长单摆的周期
从$T=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$的理解入手，从极限的角度理解无限长单摆的周期等相关问题···

对这本《演讲的本质》（my impact）的感受，我想到的了“挂洋头”（Martin Newman），可能也是很多人都说好的商业的东西，对于一个小知识分子来说就如碰到榴莲吧。
“我人生最遗憾的事就是当机会窍门时，我却错过了。”
四陪（这种词其实不太适合书面语，特别是对女“公关”）
被日本誉为“演讲之神”的马丁（对这个说法表示怀疑）（DeepSeek了一下，商界和政界却有这种说法。）
拒绝帮助客人成为乔布斯，培训师要帮助客户呈现更理想的自己。
一、演讲时领导者的必备能力

1971年梅拉宾法则：一个人对他人的印象，约7%取决于谈话的语言和内容；音量、音质、语速、节奏等声音要素占38%；眼神、表情、动作等形象因素所占比列高达55%。也就是说，哪怕你听不见对方说话的声音，也能理解对方想要表达的至少一半以上的内容。在视觉visual、听觉vocal、语言verbal的综合作用下，最终形成了别人对你的印象。
不做无意义的动作。拒绝没能量的声音。
人们在最初的两秒的直觉很重要。
最好是把演讲的过程录下来，然后客观地做出分析。
拍好后把声音关掉，专注于自己的形象。
不是演，而是展现更好的自己。
那一刻对方给你百分百的关注和友好。
其实自信不是来自你的内心，而是源于他人。当我们得到他人的肯定时，我们会有信心。
自信是礼尚往来的共赢。你对他人有信心，你乐于肯定对方，对方自然会获得自信，反过来你也会觉得愉快，对方也能从中感受到自信，因为越是自信的人，越能接受和尊重他人。

自信是同一个水平线上的互动，你得引导对方先建立他的自信，才能让对感受到你的自信。而且这还有利于你获取他人的信任，因为当对方觉得你是自信的，自然也更愿意信任你。

“神秘的东方人”，总是千篇一律的样子，面无表情，从不泄露任何信息。
西方人用“绕圈子”来形容中国人说话“抓不住重点”（东方人含蓄吧）
平庸的演员试图让观众相信自己的表演，而杰出的演员则毫无疑问地相信自己的表演。
（很多人）之所以认为自己不擅长演讲，多是因为不重视演讲的价值，认知有偏差。
二、形象是一种科学，不是颜值
手势让话语更有力量。
（男模特很一般啊，青涩；后面那个专职形象的，也就那么回事吧。）（涉及到具体的人，很难和理想的形象关联，卡通或者AI设计或许更好。）
演讲的一个最大原则，也是一个很棒简单的道理：“重要的事情说三遍！”（什么马云孙正义，什么日本申奥，那么几个事来回提及，感觉没那么好。）
盛情款待
像蜜蜂采蜜一样注视观众。（这一点，特别家长会等场合，自己目光游移，要试着改变）
演讲时，我们应该像蜜蜂采蜜一样和观众进行眼神接触···演讲时，将你的眼神专注在几个人身上，对方会感受到你的真诚和尊重，然后你再将眼神慢慢转向其他观众。
如果会话中你能多注意自己的身体状态，你会发现很多事情会随之变化，别人对你的印象也会大有改观。
微笑这一行为会让我们的心情变得更好，微笑不仅仅是心情好的产物。
三、声音是一种人格，不是音色
“如果一个人心中有上帝，那么他的声音应该像溪流的汩汩声或风吹在庄稼的沙沙声那般甜美。”
你主持的节目为什么那么受欢迎？“因为我一分钟说125个字。”
沉默之于演讲，就像父亲之于子女。演讲中，停顿的作用非同小可。
四、内容是一种价值，不是权威
说话太复杂，让人难以听懂。
We must learn to live together as brothers or perish together as fools.
断舍离：断是对于自己不需要的东西，坚决不买；舍是处理掉没用的东西；离是脱离对物质的执着，让自己所处的环境干净、空旷，让自己感觉自在。
“天哪！我自己都懒得听自己的演讲！”
作为交流者，重复是你最好的武器。
五、随时随地提升影响力
（作者以自己很牛的经历，当然是接触了很牛的人的经历，描绘理解的表面）
No Negativity No Status（没有否定，没有等级。）
参差多态，乃是幸福本源。
演讲像是装修房子，先定风格，再论梁柱。（壁纸吧）（建造房子还是装修房子）
危机是表，声誉是本
（“沉默的螺旋”，即大多数人持有的观点成为主流意见，而少数人的观点则逐渐被压制和沉默。）
停顿一定要留有足够的时间，甚至让人以为你忘词了或者出现了失误。
服饰是一种资源，也是一种工具，它可以控制并协助满足个人需求和实现目标。
像国王那样演讲。
如果演讲的目的只是传递信息，为什么不干脆发封电子邮件了事呢？
很多人以为演讲时一项脑力活动，实际上它更多的是身体活动。
我想帮助人们实现的是更好的自己，而不是成为别人。

小区的流浪猫~~~

樱花啊，上周来早了，今天有点晚。

公园里的海棠~~~

JQX/进取芯 小教研第五期（2025.4.23）

本期小教研以公开课的形式展现，授课内容是人教版高中物理选择性必修第一册第四章第三节《光的干涉》第二课时。授课对象为东北育才学校浑南校区高中k2304班学生，学生日常课堂氛围比较活跃，也基本掌握了干涉相关知识。

一、复习双缝干涉：（用于薄膜干涉知识的类比）
1）两束光发生干涉的条件？
2）双缝干涉，如何获得相干光？
3）双缝干涉的条纹有什么特点？
4）亮暗条纹与光程差的关系？
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玛丽·斯图亚特传 斯蒂芬·茨威格作品（黄敬甫和郝雅娟两个翻译者放在这示众，舒昌善教授可不需此等来衬托的）（翻译中喀尔文名字文中不匹配，后面部分又来个了卡尔文，可序言中就有加尔文的，西西弗斯等惯用的不用，标点等错误即便是编辑的，也可以看成是翻译者不够珍惜自己羽毛的不专业）（对这本书的好感完全来自对茨威格的崇信，而整体的读感不错，也好比是上等的海鲜即便遇到不好的厨子，吃起来也未必多差劲。）

心灵计时不同于冰冷的日历，它是从内心计算时间的流逝。
茨威格的星空 熊培云
一艘船要沉了，最要紧的事救起自己，茨威格（故乡的囚徒）开始逃。
在并不漫长的人生里，茨威格经历了两次世界大战。
没有一丝挣扎，也抛弃了一切琐碎。
罗曼罗兰称茨威格是“灵魂的猎者”。对于人类的苦难，茨威格抱有同情的态度，同时他深知牺牲的难得。就像他在小说中所揭示的，一个人可能会因为逃避生活而无谓赴死，却不愿为了担起他人的责任而用于牺牲。
如果生是为了自由，而死也是为了自由，那么在自由面前生与死就是平等的。
用自己的星空建立了一个与尘世并立的自己的世界。
陀思妥耶夫斯基，“我只担心一件事，就是怕我配不上我所受的苦难。”
为那些保持着崇高道德精神的人物写传记。
“像镜面似的反射他自己观点的精神奴仆。”
海涅，一个会焚书的政府接下来也会焚人。

导言
玛丽·斯图亚特属于那种把真正的人生才智在短暂中迸发出来、令人激动的、罕见的女性，属于那种星光灿烂但又一闪而过的女性，她的一生不是像花那样慢慢凋谢，而是如同激情在炽热的熔炉中迅速燃尽。
在人的命运中，外部时间和内心时间似乎是一致的，其实只有内心充实才能作为心灵计时的尺度···
一个人只有搏尽全部的精力，对自己和别人才算是真正活着；他的内心只有在燃烧，并且烧得通红，才能看得见。

一
那时的苏格兰在习俗和法律、物质和文化方面比起英国和欧洲至少落后100年。
玛丽·斯图亚特还不到5岁，就已经因为她的缘故血流成河。
只有一个玛丽陪她过流放生活，直到她上断头台：在生命最黑暗的时刻闪烁着欢乐的童年时代的光芒。
二
“星星把最美妙的光辉洒在她的眼睛上、面颊上，使她妩媚动人。”
“只是把她当做一个优秀的学生来称赞的。”
她良好的教养和世界文化方面的丰富知识还掩盖着她内心激情的力量···
只有通过爱和痛苦女子才能真正成熟。
玛丽·斯图亚特，一个17岁少女就超越了所有的同龄人，达到了权力的顶峰。
三
她刚刚意识到早春的到来，可是春天已经凋零，已经逝去。
伊丽莎白耽误了唯一的机会，无法以慷慨和宽容的态度去解决争端，赢得令她害怕的对手的感激。但是理性和政治难以秉性，也许正是由于被耽误了的机会才使世界历史得以戏剧性的发展。
只有诗人感到真正的悲伤和痛苦。
在诗人看来，不行才是真正高尚，他们赞扬过她那高尚的美，现在她处在不幸中，他们将更加热爱他。
四
开头的印象对心灵能产生一种巨大的影响力，并且刻骨铭心，永不磨灭。
没有哪一种仇恨比目标相同，力量相等的同类之间的仇恨更可怕的了。（应试的同质化的问题之一在此）
国王的骄傲和教士的傲慢发生了碰撞。
权力不单单靠血统流传下来，而且要靠斗争和屈辱才能不断赢得。
五
天上没有两个太阳，地上没有两个成吉思汗。

她这种不会掩饰自己的情感的品质，使她在政治上遇到的麻烦，要比最恶意的欺骗和最无情的冷酷给别人带来麻烦还要多。

她像一块黑色的磁铁把她周围的男子吸引到她灾难性的命运上。
六
她像孔雀开屏那样展示自己。
七
即使在一个女王身上，女性也会要求她的最神圣的权利，爱并且被爱。
这些固执的幻想家从过高评价人和物跌到绝望的境地仍不清醒。他们一旦丢掉一个幻想，总是又沉湎于另一个幻想。
没有发觉他漂亮的外表底下缺乏深刻的内涵，结实的肌肉缺少真正的力量，风度翩翩却匮乏精神文明。（精神文明？）
希望一个热恋中的年轻女子思维合乎逻辑，那等于在黑夜里寻找太阳。
八
巨大的赠送只有对受之无愧的人才有益处，而对其他人却又危险。
蜡做的心
轻率和勇敢作为缺点与优点总是存在于一个性格中，就像一枚硬币的两面。
无声的仇恨要比激烈的言语危险得多。
阴谋分子的匕首不仅在她面前杀死了忠诚的李乔，而且也杀死了她性格上的轻信和正直。
十
这个可悲的年轻人以令人不解的忠顺和贪婪紧紧地缠住这个强大而高傲的女人。
十一
如果感情达到如此炽热的程度，而你却用逻辑和理性的尺度去衡量它，那么，这种做法是很幼稚的，因为这种不可抑制的爱情，其表现方式也是非理性的。激情像疾病一样，既不能控诉它，又不能原谅它。人们只能非常惊讶地去描述它···
用道德来评价一个被激情击倒的人是荒谬的，就像人们想追求雷雨的责任或者惩罚火山一样。
一场巨大的激情到来之前，几乎总是先有一场小的激情作为前奏。
十二
正如玛丽·斯图亚特服从于博斯韦尔，达伦雷也服从了玛丽·斯图亚特
十三
在强烈的爆发之后，激情本身也仿佛被消耗殆尽，渐渐熄灭。受激情支配的犯罪与天生的、怙恶不悛的真正返穗之间的区别也正在于此。
她在犯罪中耗尽了所有的精力，精神和身体都垮了下来。上帝要谁灭亡，必先叫他疯狂。
女王为丈夫送葬时穿的鞋子还没有穿旧，就和谋杀她丈夫的凶手走进婚礼的圣堂。
十四
一块石头掉下深渊，越接近深渊，下落的速度就越快。
十五
在君主立宪制的观点来看，或许可能夺去一个国王的生命，但不能剥夺他的王冠。
“最气势汹汹、最积极反对女王的是妇女，但男人也好不到哪儿去。”
十六
如果一个神话传说被编得美妙动人，人们又何苦去拆穿它呢。
今天在苏格兰，她的弱点和莽撞早已被人们淡忘了，由她的情欲所引发的过失也已得到了宽恕和谅解。
谁的手一旦触摸过不幸，他就很难再摆脱霉运。
她的生活就像是火焰，一团疯狂燃烧的火焰，火焰的反光几个世纪之后还在闪耀。
十七
友谊和爱护---毕竟信纸值不了几个钱。
伊丽莎白是个易动感情的女人，就连气压的一点点变化都有可能引起她的情绪波动。
无论是处理人际关系还是在政治上，模棱两可的态度都是有害的，因为这会引起误会，使问题更加复杂化。
这颗心灵被一种疯狂的自尊自傲扭曲着···
谁一旦将自己的命运交由别人的爱憎来决定，那么任何哀告乞怜都帮不了她。胜利者的权利原本就是从失败者的不幸中得来的。
十八
那个时代对良心谴责一说很陌生。
她失去王冠的头上，奉献了一顶殉难者的桂冠。
十九

这场无尽头的囚禁的最残忍之处就在于，它表面上看起来丝毫不残忍。

在摧残一颗高傲心灵的自由同时，hiatus对她毕恭毕敬，卑躬屈膝，这比任何手段都更能灼伤这颗心。
鲁莽妄为和疯狂行动是很难界定的，因为英雄壮举总是伴有不理智的冲动。
永恒的不幸又一次降临到玛丽·斯图亚特。
二十
她巨大的勇气和无所顾忌的决心总是莱斯似乎可能得失利或者一败涂地的绝境。
廿一
世界历史历来不是公正和平等地书写而成的，它几乎只是记述了世间权倾天下王者的苦难，有头有脸人的沉浮，冷漠无视无名无权小人物的存在，只字不提。（很多人在一起的时候用一个数字替代所有，也是呢，我们很少关心河滩的小石头的，就如没人在意沙漠的沙子，但山就不同了，无关有无树木或湖泊。）
廿二
伊丽莎白决定恶不是一个人的生死，而是一种观念的存亡。
在全世界面前以自己光荣的死来羞辱伊丽莎白，证明她的凶残。
幸运和不幸都不可能改变一个人的性格。
她将自己在世间的财产分赠给自己的仆人。
“人类两大最凶恶的敌人---恐惧和希望”歌德
廿三
我的终结便是我的开始
只有英勇不屈、从容镇定才能战胜者灭绝人性的极端残酷。
把死亡判决当做福音来聆听。
（女王的爱犬）这只幼小的生灵为它的女主人激烈地奋战，比女主人自己的儿子、比成千上万向她效忠起誓的人都要英勇无畏。
尾声
詹姆斯六世换上丧服，但很快又骑上了伊丽莎白送给他的骏马，牵着伊丽莎白送给他的纯种良犬···
国家大厦总是由严酷和非正义的硬石建造而就得，它们的基础总是由鲜血浇筑的。在政治斗争中，战败者总是错的，历史无情地踏着他们的躯体前进。