·[?]无穷递缩等比数列的物理题

JQX/进取芯 席明纳第6期（2025.4.29）

二体问题与约化质量

JQX|Xiao

一、水平弹簧双球系统的简谐振动分析
水平面上有两个质量分别为$m_1$和$m_2$的两个小球，中间由一个劲度系数为k的弹簧连接。我们分析该系统做简谐振动的性质。

1.求周期：由牛顿第二定律，两个小球的运动方程是：$m_1 \ddot{r}_1 = k(r - r_0)$,
$m_2 \ddot{r}_2 = -k(r - r_0)$，将两个方程联立可得：$\ddot{r}_2 - \ddot{r}_1 = \ddot{r} = -k \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) (r - r_0)$，化简为：$\ddot{r} = -\frac{k}{\mu}(r - r_0)$。引入约化质量：$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$，可以看到振动方程有简谐振动的形式，振动的频率为：$\omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}}$，根据周期公式：$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{\mu}{k}} = 2\pi \sqrt{ \frac{m_1 m_2}{(m_1 + m_2) k} }$。该系统可等效为质量为$\mu$的单质点在弹簧力作用下的简谐运动。

2.两个小球的振幅：根据能量守恒定律：$\frac{1}{2} \mu v_0^2 = \frac{1}{2} k A^2$，可得：$A = v_0 \sqrt{\frac{\mu}{k}} = v_0 \sqrt{ \frac{m_1 m_2}{(m_1 + m_2) k} }$，两个小球的振幅按照质量分配，$A_1 = A \cdot \frac{m_2}{m_1 + m_2} ,A_2 = A \cdot \frac{m_1}{m_1 + m_2}$ 。
求任意时刻两个小球的位置坐标：以质心为参考系：两个小球分别做简谐振动，根据动量守衡定律，速度和相对质心位移按照质量的反比分配，坐标分别为$A_1 = A \cdot \frac{m_2}{m_1 + m_2} ,A_2 = A \cdot \frac{m_1}{m_1 + m_2}$ 。
3.两个小球的位置坐标：回到地面系，质心速度为$V_c = \frac{m_1}{m_1 + m_2} V_0$，为简化运算，以初始时刻质心坐标为坐标原点，质心位移为$x_c(t) = v_c t=\frac{m_1}{m_1 + m_2} V_0 t$。两个小球在地面参考系下的位置坐标为：$x_1(t) = x_c(t) - A \cdot \frac{m_2}{m_1 + m_2} \sin(\omega t)$ ,
$x_2(t) = x_c(t) + A \cdot \frac{m_1}{m_1 + m_2} \sin(\omega t)$。附：若两个小球质量相等，会出现很有趣的结果，在地面参考系下，两个小球相差$\pi$个相位，平均而言，两个小球在推和拉的过程整体向右运动，但是它们将交替达到静止，一个速度最大时，另一个速度为零。

二、竖直弹簧双球系统的简谐振动分析
将两个小球与弹簧组成的系统用细线竖直悬挂，并处于静止状态。现将细线烧断，试分析两个小球的运动？同水平方向，两个小球的牛二定律同样满足简谐振动的质点运动方程，因此在质心系两个小球将同样做简谐振动，其振幅和周期的分析方法与水平方向的情形相同，结论一致。但是在地面参考系中，质心在做自由落体运动，运动方程会稍有不同，这里不做详细推导。

三、双星问题
两个质量分别为$m_1,m_2$的两个天体，距离为r，引力大小为$F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$，根据牛顿第二定律，对两个物体分别有$F = m_1 a_1,F = -m_2 a_2$。两个星体的相对加速度为$a = a_1 - a_2 = \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) F$ ，引入约化质量$\mu$,根据向心力公式和牛顿第二定律：$\mu \omega^2 r = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ ,解得周期T为：$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{ \frac{r^3}{G(m_1 + m_2)} }$。与我们常规推导方法相同。

上述三个问题虽然不同，但是核心都是利用约化质量和相对加速度来把二体问题简化为单质点问题，双星问题的周期是开普勒第三定律的推广形式，这里用到了高考模式下的星体在引力作用下做圆周运动的简单解，更普遍的形式应该为椭圆。值得一提的是我们利用约化质量处理了二体问题，自然就会想到有没有类似的方法来处理三体甚至其他的多体问题。看过小说或电视剧“三体”的同学们应该都知道，游戏内外的科学家们为了计算三体问题绞尽脑汁，最后也没有得到准确的答案，遗憾的是当系统扩展到三体甚至更多天体时，上述简化不再适用，三体问题因为缺乏通解而成为经典力学的经典难题之一。

【下期预告】星球上无限长摆长单摆的周期
从$T=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$的理解入手，从极限的角度理解无限长单摆的周期等相关问题···

对这本《演讲的本质》（my impact）的感受，我想到的了“挂洋头”（Martin Newman），可能也是很多人都说好的商业的东西，对于一个小知识分子来说就如碰到榴莲吧。
“我人生最遗憾的事就是当机会窍门时，我却错过了。”
四陪（这种词其实不太适合书面语，特别是对女“公关”）
被日本誉为“演讲之神”的马丁（对这个说法表示怀疑）（DeepSeek了一下，商界和政界却有这种说法。）
拒绝帮助客人成为乔布斯，培训师要帮助客户呈现更理想的自己。
一、演讲时领导者的必备能力

1971年梅拉宾法则：一个人对他人的印象，约7%取决于谈话的语言和内容；音量、音质、语速、节奏等声音要素占38%；眼神、表情、动作等形象因素所占比列高达55%。也就是说，哪怕你听不见对方说话的声音，也能理解对方想要表达的至少一半以上的内容。在视觉visual、听觉vocal、语言verbal的综合作用下，最终形成了别人对你的印象。
不做无意义的动作。拒绝没能量的声音。
人们在最初的两秒的直觉很重要。
最好是把演讲的过程录下来，然后客观地做出分析。
拍好后把声音关掉，专注于自己的形象。
不是演，而是展现更好的自己。
那一刻对方给你百分百的关注和友好。
其实自信不是来自你的内心，而是源于他人。当我们得到他人的肯定时，我们会有信心。
自信是礼尚往来的共赢。你对他人有信心，你乐于肯定对方，对方自然会获得自信，反过来你也会觉得愉快，对方也能从中感受到自信，因为越是自信的人，越能接受和尊重他人。

自信是同一个水平线上的互动，你得引导对方先建立他的自信，才能让对感受到你的自信。而且这还有利于你获取他人的信任，因为当对方觉得你是自信的，自然也更愿意信任你。

“神秘的东方人”，总是千篇一律的样子，面无表情，从不泄露任何信息。
西方人用“绕圈子”来形容中国人说话“抓不住重点”（东方人含蓄吧）
平庸的演员试图让观众相信自己的表演，而杰出的演员则毫无疑问地相信自己的表演。
（很多人）之所以认为自己不擅长演讲，多是因为不重视演讲的价值，认知有偏差。
二、形象是一种科学，不是颜值
手势让话语更有力量。
（男模特很一般啊，青涩；后面那个专职形象的，也就那么回事吧。）（涉及到具体的人，很难和理想的形象关联，卡通或者AI设计或许更好。）
演讲的一个最大原则，也是一个很棒简单的道理：“重要的事情说三遍！”（什么马云孙正义，什么日本申奥，那么几个事来回提及，感觉没那么好。）
盛情款待
像蜜蜂采蜜一样注视观众。（这一点，特别家长会等场合，自己目光游移，要试着改变）
演讲时，我们应该像蜜蜂采蜜一样和观众进行眼神接触···演讲时，将你的眼神专注在几个人身上，对方会感受到你的真诚和尊重，然后你再将眼神慢慢转向其他观众。
如果会话中你能多注意自己的身体状态，你会发现很多事情会随之变化，别人对你的印象也会大有改观。
微笑这一行为会让我们的心情变得更好，微笑不仅仅是心情好的产物。
三、声音是一种人格，不是音色
“如果一个人心中有上帝，那么他的声音应该像溪流的汩汩声或风吹在庄稼的沙沙声那般甜美。”
你主持的节目为什么那么受欢迎？“因为我一分钟说125个字。”
沉默之于演讲，就像父亲之于子女。演讲中，停顿的作用非同小可。
四、内容是一种价值，不是权威
说话太复杂，让人难以听懂。
We must learn to live together as brothers or perish together as fools.
断舍离：断是对于自己不需要的东西，坚决不买；舍是处理掉没用的东西；离是脱离对物质的执着，让自己所处的环境干净、空旷，让自己感觉自在。
“天哪！我自己都懒得听自己的演讲！”
作为交流者，重复是你最好的武器。
五、随时随地提升影响力
（作者以自己很牛的经历，当然是接触了很牛的人的经历，描绘理解的表面）
No Negativity No Status（没有否定，没有等级。）
参差多态，乃是幸福本源。
演讲像是装修房子，先定风格，再论梁柱。（壁纸吧）（建造房子还是装修房子）
危机是表，声誉是本
（“沉默的螺旋”，即大多数人持有的观点成为主流意见，而少数人的观点则逐渐被压制和沉默。）
停顿一定要留有足够的时间，甚至让人以为你忘词了或者出现了失误。
服饰是一种资源，也是一种工具，它可以控制并协助满足个人需求和实现目标。
像国王那样演讲。
如果演讲的目的只是传递信息，为什么不干脆发封电子邮件了事呢？
很多人以为演讲时一项脑力活动，实际上它更多的是身体活动。
我想帮助人们实现的是更好的自己，而不是成为别人。

小区的流浪猫~~~

樱花啊，上周来早了，今天有点晚。

公园里的海棠~~~

JQX/进取芯 小教研第五期（2025.4.23）

本期小教研以公开课的形式展现，授课内容是人教版高中物理选择性必修第一册第四章第三节《光的干涉》第二课时。授课对象为东北育才学校浑南校区高中k2304班学生，学生日常课堂氛围比较活跃，也基本掌握了干涉相关知识。

一、复习双缝干涉：（用于薄膜干涉知识的类比）
1）两束光发生干涉的条件？
2）双缝干涉，如何获得相干光？
3）双缝干涉的条纹有什么特点？
4）亮暗条纹与光程差的关系？
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