JQX/进取芯 席明纳第22期（2025.12.09）
从麦克斯韦方程组到光速
JQX|Xiao
一、波动方程
对于一个机械波，想描述它在空间的分布，它的方程为：\( D(x) = A \sin \frac{2\pi}{\lambda} x \)。如果这个机械波以速度 \( v \) 向右传播，则 \( t \) 时刻的波函数为：\( D(x,t) = A \sin \left[ \frac{2\pi}{\lambda} (x – vt) \right] \)，引入周期 \( T \) 可变形为：\( D(x,t) = A \sin \left( \frac{2\pi x}{\lambda} – \frac{2\pi t}{T} \right) \)。
简化为：\( D(x,t) = A \sin (kx – \omega t) \)
其中 \( k = \frac{2\pi}{\lambda} \)，称为波数。由此得到波的传播速度为：\( v = \lambda f = \left( \frac{2\pi}{k} \right) \left( \frac{\omega}{2\pi} \right) = \frac{\omega}{k} \)
二、麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组包含以下四个方程：
1. \( \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q}{\epsilon_0} \)
2. \( \oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0 \)
3. \( \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = – \frac{d\Phi_B}{dt} \)
4. \( \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt} \)
其中第一个是电场的高斯定律，第二个公式说明了磁场无源，第三个是法拉第电磁感应方程，第四个是一般形式的安培环路定律。前面三个我们都比较熟悉，下面我们对第四个方程进行一下解释：
安培环路定律的一般形式为：\( \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I \)。但是科学家们发现了这样的矛盾：假设有一个平行板电容器连着两根导线，正在充电。我们对其中一根导线取一个高斯环路，可以求出它的磁场环路积分。但是现在的问题是等式右面的电流 \( I \) 应该怎么选择？
我们认为电流是指“通过环路所围成的截面”的电流。但是这个截面我们可以任意选择：比如我们可以选择一个平面使这个导线穿过它；或者选取一个曲面，**就像吹起的泡泡糖**，让它把电容器的一个极板包含进去。这样我们发现一个问题：选的第二个曲面（泡泡糖）并没有电流穿过它，但是我们明明选取的高斯环路没有变，也就是说虽然没有电流，但是等式右边一定有什么东西**替代**了这个电流。我们把这个电流叫做**位移电流**。
根据高斯定律：\( \Phi_E = E \cdot A = \frac{Q}{\epsilon_0} \)，我们对它求导可以得到：\( \frac{d\Phi_E}{dt} = \frac{1}{\epsilon_0} \frac{dQ}{dt} = \frac{1}{\epsilon_0} I \)。
得到电流大小：\( I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt} \)，我们称这个电流大小为位移电流，它反应了电场的变化会产生磁场。空间中的磁场可以由两部分产生，一部分由电流产生，一部分由变化的电场产生。当空间中既有电流，又有变化的电场，就是如下的表述形式：\( \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 (I + I_d) = \mu_0 I + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt} \)
三、麦克斯韦方程组推导光速
1. 麦克斯韦方程组（真空环境）。先考虑真空中没有电荷 (\( Q=0 \)) 和电流 (\( I=0 \))。这时麦克斯韦方程组的积分形式如下：
1. 电场高斯定律：\( \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = 0 \)
2. 磁场高斯定律：\( \oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0 \)
3. 法拉第电磁感应定律：\( \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = – \frac{d\Phi_B}{dt} \)
4. 安培-麦克斯韦定律：\( \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt} \)
2. 建立一阶偏微分关系：假设电磁波沿 \( x \) 轴传播，电场 \( E \) 沿 \( y \) 轴，磁场 \( B \) 沿 \( z \) 轴，即 \( E = E_y = E_0 \sin(kx – \omega t) \) 和 \( B = B_z = B_0 \sin(kx – \omega t) \)。
利用法拉第定律计算电场等式左右两边，可得：\( \frac{\partial E}{\partial x} = – \frac{\partial B}{\partial t} \) —— (式 1)
利用安培-麦克斯韦定律（选取 \( xz \) 平面回路）：
计算磁场环路积分与电通量变化率（位移电流），可得：\( – \frac{\partial B}{\partial x} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t} \) —— (式 2)
3. 代入波动方程
计算电场和磁场对空间 \( x \) 和时间 \( t \) 的偏导数：
\( \frac{\partial E}{\partial x} = k E_0 \cos(kx – \omega t) \) 且 \( \frac{\partial E}{\partial t} = -\omega E_0 \cos(kx – \omega t) \)
\( \frac{\partial B}{\partial x} = k B_0 \cos(kx – \omega t) \) 且 \( \frac{\partial B}{\partial t} = -\omega B_0 \cos(kx – \omega t) \)
4. 比较系数
代入法拉第定律关系式：
由 \( \frac{\partial E}{\partial x} = – \frac{\partial B}{\partial t} \)，代入可得：\( k E_0 \cos(\dots) = – [-\omega B_0 \cos(\dots)] \)。化简得：\( k E_0 = \omega B_0 \)，整理得到：\( \frac{E_0}{B_0} = \frac{\omega}{k} = v \)
由 \( – \frac{\partial B}{\partial x} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t} \)，代入安培定律关系式可得：\( – k B_0 \cos(\dots) = \mu_0 \epsilon_0 [-\omega E_0 \cos(\dots)] \)。化简得：\( k B_0 = \mu_0 \epsilon_0 \omega E_0 \)，整理得：\( \frac{E_0}{B_0} = \frac{k}{\mu_0 \epsilon_0 \omega} \)
联立求解：\( v = \frac{k}{\mu_0 \epsilon_0 \omega} = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0 (\omega/k)} = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0 v} \)即：\( v^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0} \)
解得：\( v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} = c \approx 3.00 \times 10^8 \text{ m/s} \)(c=299792458m/s)