方励之:“天为什么是蓝色的”一百年

“天空为什么是蓝色？”正确的物理解释完成于1910年，迄今整一百年。“天蓝”物理学的一个重要应用，是光纤通讯，即高锟(曾任香港中文大学校长，2009年获诺贝尔物理学奖一半奖项)先生去年获得物理诺贝尔奖的项目。

“天蓝”物理学似乎很普及。凡是看过“十万个为什么”的初中生，都能说出它的“标准 答案”： “空气中会有许多微小的尘埃、水滴、冰晶等物质，当太阳光通过空气时，波长较短的蓝、紫、靛等色光，很容易被悬浮在空气中的微粒阻挡，从而使光线散射向四方，使天空呈现出蔚蓝色。”

中文世界中，大小权威的教育和科学网站，大多仍采用上述“标准答案”，几乎一字不差。

这个“天蓝”解释，基本上是十九世纪中叶的水平。它是英国物理学家丁铎尔（John Tyndall,1820-1893）首创的。常称作丁铎尔散射模型(中学化学似乎讲过丁达尔现象？)。确实，“波长较短的蓝色光，容易被悬浮在空气中的微粒阻挡，...散射向四方”。但它并不是“天蓝”的真正原因。如果天蓝主要是由水滴冰晶等微粒的散射引起的，那末，天空的颜色和深浅，就应随着空气湿度的变化而变化。因为当湿度变化时，空气中水滴冰晶的数目会明显变化。潮湿地区和沙漠地区的湿度差别很大，但天空是一样的蓝。丁铎尔散射模型解释不了。到十九世纪末叶，丁的天蓝解释已被质疑。

1880年代，瑞利（John Rayleigh,1842-1919）注意到，根本不必求助尘埃、水滴、冰晶等空气中的微粒，空气本身的氧和氮等分子对阳光就有散射，而且也是蓝色光容易被散射。所以，空气分子的散射就可以作为“天蓝”的主因。

然而，各个分子有散射，不等于空气整体会有蓝色。如果纯净的空气是极均匀的，分子再多也没有“天蓝”。就像一块极平的镜子，只有折射或反射，而极少散射。在均匀一致的环境中，不同分子的散射相互抵消了。就如在一个集体纪律超强的环境（如监狱）中，每个人的独立和散漫行为被彻底压缩。而“天蓝”靠的就是分子各自的独立和相互不干涉 ，或少干涉。

为此，瑞利假定，空气不是分子的“监狱”。相反，氧和氮等分子，无规行走，随机分布 。瑞利由这个模型算出的定量结果，很好地符合天蓝的性质。1899年，瑞利写了一篇总结式的文章“论天空蓝色之起源”[1]，开宗明义就说： “即使没有外来的微粒，我们依旧会有蓝色的天”。 “外来的微粒”即指丁铎尔散射所需要的。从此，丁铎尔的天蓝理论被放弃。瑞利散射成 为“天蓝”理论的主流。

瑞利的天蓝理论虽然很成功，瑞利的分子无规分布假定，也有根据。然而，瑞利实质上还要假定空气是所谓理想气体，这是一个不大的，但也不可忽略的弱点。因为空气不是理想气体。

1910年，爱因斯坦最终解决了这个问题。爱因斯坦用当时刚刚发展的熵（混乱的度量）的统计热力学理论证明：那怕最纯净的空气，也是有涨落起伏的。空气本身的密度涨落 也能散射，也是蓝色光容易被散射。密度涨落的散射，不多也不少，正好能产生我们看到 的蓝天。如果空气是理想气体，爱因斯坦的结果就同瑞利的一样。所以，简单地说，天空蓝色之起因是：“空气中有不可消除的‘杂质’，即空气自身的涨落。密度涨落等对阳光的散射，形成了蓝天。”

“天蓝”起源物理不是爱因斯坦首创，但最完整的理论是爱因斯坦奠定的。所以说，“天蓝”物理学，完成于1910年。 瑞利和爱因斯坦的“天蓝”理论，是普遍适用的。可以用来解释纯净空气中的“蓝天”现象，也可以用来解释纯净的水，纯净的玻璃等液体或固体中的“蓝天”现象。当然，也有该理论不适用的地方。多年前，听到过有人对着“蓝天”发（歌）情，“我爱祖国的蓝天 ”，千万不要误听为“我爱祖国的独立而又无规游荡的分子们”。

高锟先生在他为“光纤通讯”奠基的第一篇论文[3]中引用的第一个物理公式，就是爱因斯坦的“天蓝”瑞利散射公式（即Einstein-Smoluchowski公式）。玻璃是凝固了的液体。即使最理想的玻璃，没有气泡，没有缺陷，玻璃中依旧有不可消除的‘杂质’，即玻璃本身的不可消除的涨落。在光纤中传播的讯号（光波），会被玻璃的涨落散射。“天蓝”机制，是光纤通讯讯号损失的一个物理主因。它是不能用光纤制 造技术消除的。只能选择“不太蓝”的光，减低它的影响。

不少权威的教育和科学（中文）网站上，正在报导高先生是“影响世界的华人”之最。高先生的影响，确实遍及全球。有趣的是，这些网站本身，似乎并不在“被影响”之列。比如，本文开头引用的“天蓝”解释，就还完全没有“被影响”。对青少年来说，那些“标准解释”虽然不算是有毒奶粉，但也是过期一百年的奶粉。
[1]J.Rayleigh,Phil.Mag.XLVII,375,1899
[2]A.Einstein,Ann,Physik,33,1275,1910
[3]C.Kao,Proc.IEE,133,No.7,1966
Update

上午（20210315/28）的雾霾很严重，想起电影《银翼杀手2049》的画面。关于教室的灯光发蓝，王同学说是白平衡的问题，孙同学说是校服的颜色，卫同学想到光的散射就如天空是蓝的...
北京出现了蓝太阳，看到比较合理的解释[?]：
沙尘里的颗粒物散射和吸收了波长更长的红光（米氏散射），导致红光减少，所以太阳看起来是蓝色的。而平常阳光在大气中则是经过瑞利散射，因此看起来才是红色的。由于火星上经常沙尘蔽日，所以太阳在火星上也会呈现出蓝色。不少网民因此在社交媒体上调侃，沙尘暴让自己看到了“火星同款太阳”...

最近在讲洛伦兹力，很多题目用到的数学不过是初中几何知识，但不少学生在运动轨迹上的想象能力被直线束缚。如果连想象力都无法触及，那数学也就无用武之地了。

根据这种相对普遍的状况，用了两节课的时间，单从图形入手，先是淡化量化的数据，突出几何绘制，如此物理课，如果不像数学课，那基本上成了美术课了~

以前用GSP构造过带电粒子偏转循环~

@qiusir:看草叶上的那小洞，没准就是晨露会聚了阳光给烧的哈，要是露珠再大些、阳光再充足些、草再干枯些……

@qiusir:东北育才学校机构和学制的繁复可从期末考生归属略见一斑。同一考场考生有高中部、科学高中部、少儿部、新疆部，悲鸿美校和双语高中还没来，国际部也没凑热闹。而高中部又分特长班、常态班和创新班，曾有过六年制。特长班又分数学特长、英语特长和日语特长，还曾有过计算机特长...当然这只是高一考场～

@qiusir:雨后初蓟~

@qiusir:有写生补充说曾酝酿法语特长，曾呼吁物理特长，下学期高一增加数学与科技创新实验班。

@qiusir:以前主要是超常班也就是少儿班，还教过六年制和常态等，现在主要是数学特长和创新实验班等～所以师兄是从小到大多面授的复合型教师～欧耶～
@qiusir:真的一定要从泥土上踩出一条路来吗？珍珠的光彩或许被遮盖，但被埋没的天赋才会有生机~

@qiusir:绽放是一种天赋，它也遗传～

@qiusir:一如既往的早晨，公园里土坡和水岸被修剪一新，有人看到整齐也闻到草香，我眼里却见尸横遍野。小蓟被斩首，蓝姑也不见了踪影，蜻蜓、小蜜蜂……园丁好可怕？很多时候，善恶也只是处境和视角的不同罢了。

@qiusir:常有指责学校扼杀孩子个性云云，其实这和我抱怨公园的修剪有的一比，本无关花的品相，无关园丁善恶，花草于人的存在也如国家的教育，从境从需而已。学校除整齐的园艺外，还要整齐的服饰、整齐的队列、整齐的坐姿，甚至整齐的分数，至于整齐的是不是地方，自然有人乐见、必然有人执行、当然有人顺从唉。

@qiusir:你比TA先到就更容易被接纳，小蜜蜂如此，小孩子也差不多~
@qiusir:理科部阳光房这天棚是该清洗了，不过雨水和风尘的这创作大有洛伦兹吸引子的范哈～

@qiusir:说某轮滑小童鞋是状元，是因为他最爱告状；说国际部有学生是求学，是因为要老师求他学。早餐路上体育阚老师一说~
@qiusir:五行山下的猴子被唐僧救了，水球下这苍蝇又是在等谁呢，太阳？不，眼见它翅膀都不抖一抖，带着背负飞啦~

@qiusir:近来有点贪篮，主要是觉得和足球一样刺激，当然是指我的进球数了哈~

@qiusir:在听师德标兵候选人事迹巡讲，各种大爱少了点自爱，各种辛苦听着心酸。教师首先是一份工作，而即便是事业心一样是要有底线的唉～
@qiusir:她用伞遮阳，它用伞飞翔~

@qiusir:封建的大地上，原始的草丛中，资本的蓝天下，四处弥漫着社会的温度。今天好蓝哈，今天好热唉～

@qiusir:如果说修剪的技能和养护的规程是一个园丁被传授和被遵守的外修，那对小花小草的喜爱和好奇则是园丁的内修，也是不能简单被要求，这或许也是把老师比喻成园丁的一种原因吧。

@qiusir:古人赞莲之出淤泥而不染，而现今还有清的水吗？

@qiusir:每每临近到期末，学年都有安排学生自愿参与的午间补习。中午从体育馆回教室上课路上，看不少学生在使蛮力打球，想想这做题和运动还真有几分相似，有的仅仅是看教练满头大汗，有的根本不听什么规则技巧，自己也忙道得不亦乐乎~

@qiusir:杜姥师说这是旱莲，很怀疑哪天中间冒出尊菩萨来哈～

@qiusir:本次五校联考的物理试题偏于简单和陈旧，以至于答题纸上有画了国际象棋棋盘和一个老丁头什么的~其实对重点中学高一下的学生，适当提升点难度没什么坏处。不管怎样，这个学期基本算是完结了~
@qiusir:随着雨点的锤落，去展览馆露天看球的想法也泡汤了唉，倒是可以早起了哈～

@qiusir:有时很好奇，再不堪的人也不比一道小学数学题简单吧，那网路上何以常见对人品性的轻言重语呢？也是的，我不也就会解几道小学奥数题吗。如此的反思也帮我体谅那些视国家方略如韭菜炒鸡蛋一样简单的公知母知了。

@qiusir:http://weibo.com/qiusir
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通过动滑轮拉动物块，力F始终与水平成角theta，则此过程中力F做功多少？

常见错误1、$W=FS$；常见错误2、$W=FScos\theta$；常见答案3、$W=FS+FScos\theta$
通过功定义直接求解的答案4、$W=F2Scos\frac{1}{2}\theta\times cos\frac{1}{2}\theta$（力的作用点在绳端）虽结果通3，但3正确的结果里却有关键的盲点。
当然也可等效成水平力和成theta角的两个F共同作用，此时力的作用点在物体上，位移是水平S，合力是如果是$F_{net}=2Fcos\frac{1}{2}\theta\times cos\frac{1}{2}\theta$。

更简便的办法是把绳端位移看成两个向量合成...
$W=\vec F\cdot\vec S=\vec F\cdot(\vec S_{1}+\vec S_{2})=\vec F\cdot\vec S_{1}+\vec F\cdot\vec S_{2}$
$W=FS+FScos\theta$
错误的结果不乏正确的成分，而正确的结果往往有忽视细节的运气。如此对课堂上正误评判边界需模糊，而自我修正也是探究的意义。

$W = \int \frac{d\vec{p}}{dt} \cdot d\vec{s} = \int m \frac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{s} = \int m \vec{v} \cdot d\vec{v} =\frac{1}{2} \int m d (\vec{v} \cdot \vec{v}) = \frac{1}{2}mv^2 + C_0$
$E_r = \frac{1}{2} \int v^2 dm = \frac{1}{2} \int r^2 \omega^2 dm = \frac{1}{2} \omega^2 \int r^2 dm = \frac{1}{2} I \omega^2$
P.S.常用数学符号的 LaTeX 表示方法

高椭圆轨道（Highly Elliptical Orbit，缩写为HEO）是一种具有较低近地点和极高远地点的椭圆轨道，其远地点高度大于静止卫星的高度（36000千米）。根据开普勒定律，卫星在远地点附近区域的运行速度较慢，因此这种极度拉长的轨道的特点是卫星到达和离开远地点的过程很长，而经过近地点的过程极短。这使得卫星对远地点下方的地面区域的覆盖时间可以超过12小时。这种特点能够被通信卫星所利用。

具有大倾斜角度的高椭圆轨道卫星可以覆盖地球的极地地区，这是运行于地球同步轨道的卫星所无法做到的。由于苏联（以及现在的俄罗斯）大部分国土处于纬度较高的地区，发展地球同步卫星对其意义不大，所以苏联是最重视发展高椭圆轨道卫星的国家。[via:张怀华?]

倾斜地球同步轨道卫星。凡是周期为一天且运转方向与地球一致的卫星都是地球同步卫星。静止轨道卫星的星下点是固定的；倾斜轨道卫星的星下点是“八”字的。