又多了一位我要穷追的作家，就如我最初看到弗里曼·戴森的书一样。难怪霍金称赞他是最会讲故事的物理学家呢（Leonard Mlodinow never fails to make science both accessible and entertaining），书中真读到史蒂芬·茨威格的影子。很庆幸我有两本，目前我读的科学史相关的书中，能与之比较的估计也就卡约里的《物理学简史》[?]。比如看看博士的宗谱，赵教授与蒙洛迪诺的物理阅历比较起来还是两个级别吧，但最大的区别还是对于科学史的细节把握和连贯性处理等方面。考虑到赵教授所处的环境，他的书[?]已经是很难得也很珍贵了。有机会正好再看看弗里曼·戴森的《反叛的科学家》的台版。
台版翻译为《科学大历史》比较准确吧，日本翻译的似乎是《人类科学的400万年史》，相比龚睿翻译的《思维简史》，最初还以为是心理学著作呢，都忘记了什么原因购买的，还买重了哈哈哈，封面设计就不吐槽了，毕竟中信进入了好书，翻译的读起来也很顺畅，除了个别小错误，比如赫兹并没能活到76···
Leonard Miodinow并没有走入两朵乌云的俗套，这很有胆识，更是自信。
献给西蒙·蒙洛迪诺
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JQX/进取芯 席明纳第7期（2025.5.8）

无限常摆长单摆周期问题

零、关于$T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$
这个公式是Qiusir在JQX第四期与新疆部学生进行头脑风暴时用到的公式。
根据天体运动中万有引力充当向心力，可以推导近地卫星（贴地卫星）的周期公式，为$T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$，这个公式很容易让人想到摆长为R单摆的周期，可事实上是这样吗？

一、关于$T = 2\pi\sqrt{\frac{r}{g}}$
后来讨论的过程中，学生提到他想表达的公式是这个。这个公式可以看做一个小球在圆轨道做小振幅往复运动的周期（等效单摆）。

二、从能量角度推导简谐振动的动力学方程和单摆周期公式
1. 简谐运动
简谐运动满足能量守恒方程：$\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}=E$，
简化这个方程，即当动力学方程满足$\frac{k}{m}x^{2}+\dot{x}^{2}=C$（$C$为常数）时，可判定为简谐运动。其中，$\frac{k}{m}$定义为角频率$\omega$的平方。
2. 单摆
选取单摆摆动的最低点作为重力势能零点。对于摆角为$\theta$的任意位置，根据机械能守恒定律，单摆系统的总能量$E$满足方程$\frac{1}{2}mv^{2}+mg(l - l\cos\theta)=E$，其中$m$为摆球质量，$v$为摆球线速度，$l$为摆长，$g$为重力加速度。
根据圆周运动线速度与角速度关系$v = \omega l$，且角速度$\omega$可表示为摆角$\theta$对时间的一阶导数$\omega=\dot{\theta}$，同时，利用小角度近似条件（当$\theta\approx0$时），$\cos\theta$可展开为$\cos\theta\approx1-\frac{\theta^{2}}{2}$。
将上述关系代入能量方程，可得：$\frac{1}{2}m\cdot\dot{\theta}^{2}\cdot l^{2}+mg\cdot l\cdot\frac{\theta^{2}}{2}=E$

由于在小角度下$\theta\approx\frac{x}{l}$（$x$为摆球偏离平衡位置的水平位移），将其代入上式，整理后得到：$\dot{x}^{2}+\frac{g}{l}x^{2}=C$。对比简谐运动的动力学方程，可得出单摆运动的角频率$\omega^{2}=\frac{g}{l}$。

可得到单摆的周期公式：$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

三、无限摆长问题的提出
我们知道单摆的周期公式是$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$，现在我们来思考一下，当摆长$l$趋于无穷大，还有当摆长$l$等于地球半径的时候，这个周期会是多少呢？
我们先来推导一下单摆周期公式。
当单摆的摆角$\theta$极小时，重力沿圆弧切线方向的分力$F = mg\sin\theta$作为回复力。

由于摆角$\theta$极小，此时$\sin\theta\approx\theta$，且$\theta=\frac{\overset{\frown}{OP}}{l}\approx\frac{x}{l}$，有回复力$F = - \frac{mg}{l}x$。设$k = \frac{mg}{l}$，则回复力$F=-kx$，这意味着单摆在摆角很小时做简谐运动。把$k$代入简谐运动周期公式$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$，便能推导得出相应结果。
那么，当摆长无限大时，周期应该为多少呢？是无穷大吗？我们慢慢道来，先来看一下这个情况：

四、近地卫星周期
万有引力充当向心力，可以推得$T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$，另外，如果使用近地卫星周期可以求密度的结论：$\rho = \frac{3\pi}{GT^{2}}$，将密度反向带回，也可以推导周期。

五、"地下铁"周期
我们假设在地球赤道对称两级挖通一个隧道，设地球半径为$R$，质量为$M$。在隧道一端由静止释放一个物体，质量为$m$，与地心的距离记为$x$。我们来分析一下这个物体的运动。

我们知道理想球壳对内部物体的引力合力为零，在这个物体在隧道里面运动中距离地心$x$处时，所受引力等效于半径为$x$的部分地球对其施加的引力。
球体质量公式$M = \rho\times\frac{4}{3}\pi R^{3}$（$\rho$为地球平均密度），可推导出半径为$x$的球体质量$M_{x}=\rho\times\frac{4}{3}\pi x^{3}$。结合$F = G\frac{Mm}{r^2}$、$mg = G\frac{Mm}{R^{2}}$、$M = \rho\times\frac{4}{3}\pi R^{3}$，可得到$F = -\frac{mg}{R}x$，图像请见黑板。带入简谐周期公式，容易算得$T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$。
可以发现，"地下铁"周期的计算结果，与近地卫星的周期数值是相等的，如果在地下铁释放物体的同时，在地面同时发射一颗近地卫星，会发现二者在各自轨道上的运动具有同步性（投影共线），这一现象背后其实蕴含着简谐运动是匀速圆周运动分运动的物理规律。

如果我们将地下铁的轨道换到更高纬度，经过计算（涉及到受力分解等，过程请尝试自行推导）依然可以算得$T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$，如果我们进一步提高纬度，将纬度极限到北极附近非常小的一部分，那么这个往复运动，应该可以视为无限摆长的单摆运动（摆长无限，近似于直线运动），那么，这个无限摆长的单摆周期，竟然不是无穷大，而是$T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$。

六、单摆周期公式的修正
通过前面的讨论我们发现，传统单摆周期公式在特殊情况下需要修正。在推导单摆公式时，我们默认重力场类似匀强电场一样方向不变，但实际将视角扩大到地球半径尺度下，我们可以发现其实重力方向是指向地心（忽略自转），那么修正后的单摆周期公式是什么呢？
如黑板七图所示，设摆长为$l$，地球半径为$R$。万有引力即为重力，$G \frac{Mm}{R^2}=mg$
回复力$F = mg \sin(\beta + \alpha)$
基于小角度近似关系$\sin\theta \approx \theta$，有$\sin(\beta + \alpha) \approx \beta + \alpha$
再根据小角度几何关系，有$\beta = \frac{x}{R}, \quad \alpha = \frac{x}{l}$
考虑到回复力方向与位移方向的反向关系，进而得到：$F = -mg \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{l} \right) x$
回复力系数为$k = mg \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{l} \right)$，代入简谐振动周期公式 $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$，
综上，单摆周期的最终表达式为：$T = 2\pi\sqrt{\frac{Rl}{g(R + l)}}$
这个公式中的摆长，可以等效为两个摆长并联的结果，我们前几期探讨了约化质量也是这个模式，这个难道是"约化长度"？

七、单摆公式修正后的结论
根据修正公式，我们可以发现以下结论：
当l相对R足够小时，该公式就近似于传统单摆周期公式，这也解释了为什么在日常使用传统公式计算普通单摆周期时能得到较为准确的结果。
而当l与R处于相近数量级时，二者差异显著，必须使用修正公式进行计算，
当$l = R$时，$T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{2g}}$。
当 $l$无限大时，单摆的周期 $T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$。该结果与此前推导的近地卫星周期、"地下铁" 周期数值吻合。

八、静电场中的简谐运动
我们再来说说关于电场的问题。如黑板8图，假设有一个正电荷$4q$和一个负电荷$q$，固定在距离为$l$的位置上，延长线有点$O$，与负电荷q 的距离也是$l$。
我们来分析一下在$O$点两侧极短的距离内，有一个正电荷$q_{0}$释放之后的运动情况：
根据库仑定律可得电荷所受合力$F = \frac{4k q q_0}{(2l + x)^2} - \frac{k q q_0}{(l + x)^2}$（其中$q_{0}$是释放的电荷）
我们使用AI软件帮我们进行一些体力操作，把这个力$F$泰勒展开展开一下，$F = \frac{k q q_0}{l^3}x - \frac{9k q q_0}{4l^4}x^2 + \frac{7k q q_0}{2l^5}x^3 + \cdots$
因为$x$远远小于$l$，所以我们可以把一些高阶无穷小项忽略掉，有$F = - \frac{q_{0}}{l^{3}}x$，满足简谐运动回复力关系。
从势能的角度来看，我们知道势能和功的关系是$W = - \Delta E_{p}$，我们对势能求导就可以得到力。同样的，我们如果写出势能与位移的表达式，进行求导，同样也可以得到力的表达式。

九、势能的极值附近，物理做简谐运动
肖老师补充：其实对于势能极值的位置，在附近做往复运动大多（并不是所有）可以认为是一种简谐运动。
如果将势能的表达式进行求导，泰勒展开后忽略高阶小量，可以得到力与位移的关系（满足回复力形式），再将力进行求导，得到的数值即为回复力常量k，进而可以求解周期等。
其实，我们在第二部分用能量进行求解单摆周期的过程，完全可以只分析势能，推导过程可以非常简化如下：
单摆的重力势能表达式为：$E_{p}=mgl(1 - \cos\theta)$
当摆角$\theta$很小时（满足$\cos\theta \approx 1 - \frac{\theta^{2}}{2}$），重力势能可近似为：$E_{p}=mgl\cdot\frac{\theta^{2}}{2}$
结合单摆小角度摆动时，摆球位移$x$与摆长$l$、摆角$\theta$的关系$\theta \approx \frac{x}{l}$，进一步推导可得：$E_{p}=\frac{mg}{2l}\cdot x^{2}$
求二阶导数，得到$E_{p}''(x)=\frac{mg}{l}$，即为k值。

十、利用泰勒展开进一步分析
势能的一阶导为该势能所对应的保守力：$F(x) = -\frac{dU}{dx}$，在平衡位置附近，力关于位置近似呈线性关系：$F(x) \approx -k(x - x_0)$，这与简谐振动的回复力形式相同。因此物体近似做简谐振动。其中$k = \left. \frac{d^2U}{dx^2} \right|_{x_0}$，是等效劲度系数。
泰勒展开的一般形式为：$f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x - a)^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \cdots$
我们把势能U(x)在平衡位置附近展开得到：$U(x) = U(x_0) + (x - x_0) \left. \frac{dU}{dx} \right|_{x_0} + \frac{1}{2}(x - x_0)^2 \left. \frac{d^2U}{dx^2} \right|_{x_0} + \cdots$，由于势能在平衡位置的一阶导数为零，对于足够小的位移，略去三阶以后的项，可近似得到：$U(x) \approx U(x_0) + \frac{1}{2}(x - x_0)^2 \left. \frac{d^2U}{dx^2} \right|_{x_0}$。
简谐振子势能的标准形式为：$U(x) = \text{C} + \frac{1}{2}k(x - x_0)^2$，因此我们可以看出等效劲度系数k为：$k = \left. \frac{d^2U}{dx^2} \right|_{x_0}$。

JQX|Jin
本期研讨Qiusir由单摆入手，通过揭示传统模型在无限摆长条件下的矛盾，修正了考虑重力方向变化的单摆周期公式，并验证了在常规单摆、无限摆长下的自洽性。更帅的是，进一步通过势能泰勒展开法，阐明简谐运动的普适性——平衡位置附近的势能二阶展开决定回复力系数，统一解释了单摆、电场振动等周期性现象。
这一过程逻辑严谨又前后呼应，不仅优化了单摆模型，更凸显物理中通过打破理想假设、探寻真实系统的研究：从矛盾出发，以数学重构模型，最终实现规律的本质性统一。

【下期预告】加速度的关联···
速度关联问题是高中物理运动合成中的难点之一。速度可以关联，加速度也可以关联吗？
下次席明纳，金老师将从一道经典习题入手，探寻三种常见模型的速度、加速度关联的本质，敬请期待。

JQX/进取芯 席明纳第6期（2025.4.29）

二体问题与约化质量

JQX|Xiao

一、水平弹簧双球系统的简谐振动分析
水平面上有两个质量分别为$m_1$和$m_2$的两个小球，中间由一个劲度系数为k的弹簧连接。我们分析该系统做简谐振动的性质。

1.求周期：由牛顿第二定律，两个小球的运动方程是：$m_1 \ddot{r}_1 = k(r - r_0)$,
$m_2 \ddot{r}_2 = -k(r - r_0)$，将两个方程联立可得：$\ddot{r}_2 - \ddot{r}_1 = \ddot{r} = -k \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) (r - r_0)$，化简为：$\ddot{r} = -\frac{k}{\mu}(r - r_0)$。引入约化质量：$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$，可以看到振动方程有简谐振动的形式，振动的频率为：$\omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}}$，根据周期公式：$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{\mu}{k}} = 2\pi \sqrt{ \frac{m_1 m_2}{(m_1 + m_2) k} }$。该系统可等效为质量为$\mu$的单质点在弹簧力作用下的简谐运动。

2.两个小球的振幅：根据能量守恒定律：$\frac{1}{2} \mu v_0^2 = \frac{1}{2} k A^2$，可得：$A = v_0 \sqrt{\frac{\mu}{k}} = v_0 \sqrt{ \frac{m_1 m_2}{(m_1 + m_2) k} }$，两个小球的振幅按照质量分配，$A_1 = A \cdot \frac{m_2}{m_1 + m_2} ,A_2 = A \cdot \frac{m_1}{m_1 + m_2}$ 。
求任意时刻两个小球的位置坐标：以质心为参考系：两个小球分别做简谐振动，根据动量守衡定律，速度和相对质心位移按照质量的反比分配，坐标分别为$A_1 = A \cdot \frac{m_2}{m_1 + m_2} ,A_2 = A \cdot \frac{m_1}{m_1 + m_2}$ 。
3.两个小球的位置坐标：回到地面系，质心速度为$V_c = \frac{m_1}{m_1 + m_2} V_0$，为简化运算，以初始时刻质心坐标为坐标原点，质心位移为$x_c(t) = v_c t=\frac{m_1}{m_1 + m_2} V_0 t$。两个小球在地面参考系下的位置坐标为：$x_1(t) = x_c(t) - A \cdot \frac{m_2}{m_1 + m_2} \sin(\omega t)$ ,
$x_2(t) = x_c(t) + A \cdot \frac{m_1}{m_1 + m_2} \sin(\omega t)$。附：若两个小球质量相等，会出现很有趣的结果，在地面参考系下，两个小球相差$\pi$个相位，平均而言，两个小球在推和拉的过程整体向右运动，但是它们将交替达到静止，一个速度最大时，另一个速度为零。

二、竖直弹簧双球系统的简谐振动分析
将两个小球与弹簧组成的系统用细线竖直悬挂，并处于静止状态。现将细线烧断，试分析两个小球的运动？同水平方向，两个小球的牛二定律同样满足简谐振动的质点运动方程，因此在质心系两个小球将同样做简谐振动，其振幅和周期的分析方法与水平方向的情形相同，结论一致。但是在地面参考系中，质心在做自由落体运动，运动方程会稍有不同，这里不做详细推导。

三、双星问题
两个质量分别为$m_1,m_2$的两个天体，距离为r，引力大小为$F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$，根据牛顿第二定律，对两个物体分别有$F = m_1 a_1,F = -m_2 a_2$。两个星体的相对加速度为$a = a_1 - a_2 = \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) F$ ，引入约化质量$\mu$,根据向心力公式和牛顿第二定律：$\mu \omega^2 r = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ ,解得周期T为：$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{ \frac{r^3}{G(m_1 + m_2)} }$。与我们常规推导方法相同。

上述三个问题虽然不同，但是核心都是利用约化质量和相对加速度来把二体问题简化为单质点问题，双星问题的周期是开普勒第三定律的推广形式，这里用到了高考模式下的星体在引力作用下做圆周运动的简单解，更普遍的形式应该为椭圆。值得一提的是我们利用约化质量处理了二体问题，自然就会想到有没有类似的方法来处理三体甚至其他的多体问题。看过小说或电视剧“三体”的同学们应该都知道，游戏内外的科学家们为了计算三体问题绞尽脑汁，最后也没有得到准确的答案，遗憾的是当系统扩展到三体甚至更多天体时，上述简化不再适用，三体问题因为缺乏通解而成为经典力学的经典难题之一。

【下期预告】星球上无限长摆长单摆的周期
从$T=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$的理解入手，从极限的角度理解无限长单摆的周期等相关问题···

JQX/进取芯 小教研第五期（2025.4.23）

本期小教研以公开课的形式展现，授课内容是人教版高中物理选择性必修第一册第四章第三节《光的干涉》第二课时。授课对象为东北育才学校浑南校区高中k2304班学生，学生日常课堂氛围比较活跃，也基本掌握了干涉相关知识。

一、复习双缝干涉：（用于薄膜干涉知识的类比）
1）两束光发生干涉的条件？
2）双缝干涉，如何获得相干光？
3）双缝干涉的条纹有什么特点？
4）亮暗条纹与光程差的关系？
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JQX/进取芯 小教研第四期（2025.4.16）

关于周期：
Qiusir以学生随意发挥（意识流）的形式带领学生（新疆部）总结高中很多关于周期的概念。
1. 圆周运动的周期：$T = \frac{2\pi R}{V}$
2. 单摆周期公式：$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$
3. 近地（“贴地”）卫星速度：由$\frac{GMm}{R^2} = m \frac{v^2}{R} = mg$，$v = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{gR}$，再代入$T = \frac{2\pi R}{V}$，$T = \frac{2\pi R}{V} = \frac{2\pi R}{\sqrt{gR}} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$。（此公式除了关联半径为R槽内小角度摆动周期，也可以拓展到地球上无限摆长的周期）

4. 扔出一个粉笔头，如果力气足够大，它可以变成一颗近地卫星。那么，它一圈绕地球所需的时间是多少呢？我们知道，同步卫星的周期是 24 小时，其轨道半径约为 36000 公里。根据开普勒第三定律，越靠近地球的卫星周期越短。近地卫星的周期约为 84 分钟。
Qiusir 在刚到高中部任教时的开学第一课里，讲了这样一个例子：学生就像在最内圈的1号轨道，轨道半径最小，一天上八九节课，忙忙碌碌；老师是2号轨道的卫星，半径大些，每天只上一节课；而校长则是最远的3号轨道，一年来不了一次。在这三个轨道中，学生的速度最大。如果假设三者质量相同，学生的动能也最大。那么学生的能量最大吗？校长的能量最小吗？Qiusir 话锋一转，说道：能量除了动能，还有势能。过去我们称之为“位能”。校长虽然速度最小、周期最长，但社会赋予了他特殊的位置。从能量的角度看，总能量是动能加势能。于是，校长的总能量反而是最大的。从自然界的法理出发，大人物不必像小人物那样日夜奔波，而是以一种缓慢而宏大的方式运转。我们之所以努力读书，或许正是希望将来也能成为那种“别人一辈子也见不到你一次”的人。就像波尔的氢原子模型中，轨道越高，能级越高——这和万有引力模型下的天体运动是相通的。开普勒第三定律写作$\frac{a^3}{T^2} = k$，椭圆退化为圆，即$\frac{r^3}{T^2} = k$。结合引力提供向心力：$\frac{GMm}{r^2} = m \cdot \frac{4\pi^2 r}{T^2}$ 可得:$k = \frac{GM}{4\pi^2}$，这个比例常数只与中心天体的质量有关。（知道和理解是两个层次。）

5. qiusir叫起来一个头发很酷的女生，qiusir开玩笑说像爱因斯坦，我回到办公室和同事分享了这一个观点，大家都觉得十分贴切，我也有同样的感觉，甚至惋惜身为物理老师的我居然没有发现这个可爱的女孩与这位伟大物理学家的相似之处。弹簧振子的周期：$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$，振子质量越大，动的越慢，弹簧的劲度系数越大，动的越快。
物理之难，不在理，而在物。
6. LC震荡电路的周期：$T = 2\pi \sqrt{LC}$。从另外一个角度思考这个问题：对于弹簧振子：$-kx = m\ddot{x}$，对于LC震荡电路：$-L \frac{d^2 Q}{dt^2} = \frac{Q}{C}$，化简为：$\ddot{Q} = -\frac{1}{LC} Q$，二者在微分方程上十分接近，所以有相似的物理规律。
7. 秒摆的周期：$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \approx 2s$，其中$\pi^2 \approx g$。（很早以前是有个秒摆的概念）

8. 这位女孩没有退缩，选择继续回答问题。两个小球，编号 1 和 2，悬挂在同样高度h的点上，形成圆锥摆，1 号球的摆动半径较小，2 号球的半径较大。谁的角速度大呢？ $a_n = g \tan\theta = \omega^2 r = \omega^2 h \tan\theta$，推出$\omega = \sqrt{\frac{g}{h}}$。——与半径无关，仅与摆锤到悬点的垂直高度有关。所以，只要h 相同，1 和 2 号球的角速度也是相同的。如果做圆锥摆的两个小球3和4，半径相同，3距离悬点的高度更低，谁的角速度大呢？根据同样的公式，$\omega = \sqrt{\frac{g}{h}}$，3号球的h更小，所以角速度更大。

9. “爱因斯坦”后面的一个像随时拔出刀的剑客同学：两个小球，分别放在两个向下的光滑圆锥内滑动，1 号球在锥角较小的圆锥里，2 号球在锥角较大的圆锥上。虽然两个小球的高度相同，但运动半径不同。第一种思路：$v = \sqrt{gh}$（这个公式可以用前面角速度的二级结论推导，而且类比槽最高点最小速度公式便于记忆），两个小球具有相同的线速度，半径越大的小球向心加速度越小。第二种方法是把支持力等效为绳的拉力，把圆锥模型等效为圆锥摆的模型，根据$\omega = \sqrt{\frac{g}{h}}$，半径大的h大，所以角速度更小。

10. 浪漫的Qiusir想叫一个有女朋友的同学，一个同学恰好在那一瞬间挠头，被qiusir以举手为由叫了起来，现在回想，挠头到底是出于头痒还是出于一个年轻人的浪漫，我也不得而知。奇妙的是，与这个男生有着深刻友谊的正是“爱因斯坦”同学。爱因斯坦说过：”Any fool can know. The point is to understand.”知道，是入门；理解，才是入口。qiusir在他的小蓝书《求师得·拾年》里写过这样一句：“有一种亲密叫惺惺相惜，有一种远离叫貌合神离”。真正的亲密并非每日厮守，有时候，空间上的靠近掩盖不了精神世界的疏远。物理中讲“分离”，常常是接触却没有挤压。人与人之间也是如此，如果世界观不一样，即使坐在一起，两个人的心也是远离的，而地球与月亮始终不远不近地相伴着，它们之间，有一种静默而恒久的亲密。qiusir分享了以前的学生写过最好的情诗：“不在你左右，却被你左右”。假设地球开设了一个贯穿地心的地下铁，一趟旅程大概需要42min。这位男同学这时猛地一蹬，把自己变成一颗近地卫星从地球一端飞到另一端的时间——也是42min，而比时间更动人的是两个人的位置始终相对，在整个旅途中时刻对应，这才是物理中的浪漫，这才是旅行中的心心相印。

11. 质量为和的两个小球，用一根劲度系数为k 的轻弹簧连接。忽略摩擦和其他外力。求两个小球在一维平面上的运动周期。
方法一：用王聪方法画出两个小球的速度时间图像，设两个小球达到共速是弹簧的形变量为x，由图像可以看出、两个小球各自的位移大小分别为$x_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2} \cdot x$和$x_2 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} \cdot x$。两个小球相对质心分别做简谐振动，等效劲度系数为$k'_1 = \frac{m_1 + m_2}{m_2} \cdot k = m_1 \cdot k$，因此小球的振动周期为$T = 2\pi \sqrt{ \frac{m_1}{k'_1} } = 2\pi \sqrt{ \frac{m_1 m_2}{(m_1 + m_2)k} }$。
方法二：
定义两个质点的位置为，$x_1$，$x_2$则弹簧的伸缩量为$x(t) = x_1(t) - x_2(t)$
。根据牛顿第二定律，两个小球分别满足：$m_1 \ddot{x}_1 = -k(x_1 - x_2)$，$m_2 \ddot{x}_2 = +k(x_1 - x_2)$。相对位移的二阶导为：$\ddot{x} = \ddot{x}_1 - \ddot{x}_2= -\left( \frac{k}{m_1} + \frac{k}{m_2} \right) x= -k\left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) x$。引入约化质量$\mu = \left( \frac{1}{\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}} \right) = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$，从而系统的相对位移满足：$\mu \ddot{x} = -k x \quad \Rightarrow \quad \ddot{x} + \frac{k}{\mu} x = 0$，这是简谐运动的标准形式，其振动周期为：$T = 2\pi \sqrt{ \frac{\mu}{k} }= 2\pi \sqrt{ \frac{m_1 m_2}{(m_1 + m_2)k} }$。

JQX|Xiao
在qiusir的课上有杨利伟一天看十六次日落的伤感，也有“有一种亲密叫惺惺相惜，有一种远离叫貌合神离”的唏嘘，还有“不被你左右，却被你左右”的浪漫，物理的难不在理而在物，理是可以记，可以背的，但物是我们生活的这个大千世界，可能qiusir讲的更多的是“物”，而把“理”交给学生自己去探索，上课介绍时有句话我忘了说，“虽然只有短短四十分钟，我相信大家一定会有很多收获，可能是物理方面的，可能不止于物理”。

【下期预告】光的干涉---薄膜的奥秘
你是否曾被肥皂泡表面的绚丽色彩吸引？是否好奇油膜上的斑斓条纹从何而来？
下一期，金老师将以公开课的形式，亲手制作彩色肥皂膜，探索薄膜干涉的核心原理。
还将解锁它在科技中的神奇应用——从空气劈尖精准判断玻璃表面的平整度，到眼镜镀膜如何提升清晰度，每一处细节都蕴含着物理与生活的深度对话。
带上你的好奇心，让我们一同揭开光的艺术面纱，在理论与实践的碰撞中，共赴这场“光之盛宴”！