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上图是2011年杨振宁先生在香港浸会大学演讲[?]PPT的一张截图,年近九十的他还记得七十多年前自学到向心加速度的事情,作为教师深知对加速度的直觉和向心加速度向量运算结果的冲突是一个普遍的认知现象,正如杨先生提到的那样,对向心加速度求解的理解也是很好的提升机会。

重新思考这个问题(deriving formula for centripetal acceleration)也是受胡茗淞同学分享的一种旋转类比方法的启发,以匀速转动物体为参考点进行向量平移,向心加速度a、角速度\omega和线速度v分别和等速圆周运动的线速度v、角速度\omega和半径r对应,v=\frac{\Delta r}{\Delta t}a=\frac{\Delta v}{\Delta t},既然v=\omega r,那a=\omega v。(\vec{a}=\vec{\omega}\times\vec{v}\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}关于时间的求导...)
关于角速度的矢量方向,满足右手螺旋定则,大拇指方向为ω方向,而线速度和向心加速度类比电磁感应部分的手则...

我接触的最常见的方法是矢量三角形和几何三角形相似:
这离不开用弧长近似弦长。\Delta l\approx \Delta s =v \Delta t\frac{\Delta v}{\Delta s}=\frac{v}{r}\frac{\Delta v}{v\Delta t}=\frac{v}{r}a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v^2}{r}
或者用弧长\Delta s =r\Delta\theta=r\omega\Delta t近似弦长,\frac{\Delta v}{r\omega\Delta t}=\frac{v}{r}a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\omega^2r
也可以用正弦近似求弦长,l=2rsin(\frac{\omega\Delta t}{2})\approx r \omega\Delta t
当然完全可以在矢量三角形中直接求解,sin(\frac{\omega \Delta t}{2})=\frac{\frac{1}{2}\Delta v}{v}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\omega v...
在矢量三角形中用余弦定理,
\Delta{v}=\sqrt{2v^2-2v^2cos(\omega\Delta t)}=\sqrt{2}v\sqrt{1-cos(\omega\Delta t)}=\sqrt{2}v\sqrt{2sin^2\frac{\omega\Delta t}{2}}=2vsin\frac{\omega\Delta t}{2}
\Delta v=v\omega\Delta t\frac{\Delta v}{\Delta t}=v\omega...

和前面不同,另一个思路是从运动叠加的角度推导向心加速度:
这里可以顺便练习一下余弦的近似计算,\frac{r}{cos(\omega \Delta t)}-r=\frac{1}{2}a\Delta t^2cos(\omega \Delta t)\approx 1-\frac{(\omega \Delta t)^2}{2}\frac{1}{2}a\Delta t^2=r\frac{\frac{1}{2}\omega^2\Delta t^2}{1-\frac{1}{2}\omega^2\Delta t^2}...
同样是运动叠加,用勾股定理近似计算也可,\frac{1}{2}a\Delta t^2=\sqrt{r^2+(v\Delta t)^2}-r,简化处理,\frac{1}{2}a\Delta t^2=\frac{(\sqrt{r^2+(v\Delta t)^2}-r)(\sqrt{r^2+(v\Delta t)^2}+r)}{\sqrt{r^2+(v\Delta t)^2}+r}=\frac{v^2\Delta t^2}{\sqrt{r^2+(v\Delta t)^2}+r}\frac{1}{2}a=\frac{v^2}{2r}...
对于上面的处理,孙浚豪同学是用移项后平方,高阶无穷小量消项。\frac{1}{2}a\Delta t^2+r=\sqrt{r^2+(v\Delta t)^2}ar\Delta t^2+r^2+(\frac{1}{2}a\Delta t^2)^2=r^2+v^2\Delta t^2ar=v^2

用速度矢量的正交分解可关联到简谐振动,v_x=\omega r cos(\omega t)v_y=-\omega r sin(\omega t),分别对时间求导得a_x=-\omega^2 r sin(\omega t)a_y=-\omega^2 r cos(\omega t)a=\sqrt{a_x^2+a_y^2},和通常的极限法分析\Delta v向心不同,这里可以直接得出加速度方向指向圆心的结论。

重新整理了这些对应试的意义不大,除了顺便用一下物理中偶尔用到的近似计算,大多数学生只关心结论就可以应付了,但对知识认知的层次是不同的。通常的中学物理教学,不仅对积分和导数的应用过分延后,对向量(矢量)的运算更是脱节,而且意识上的重视明显不够。

美国科学促进会(AAAS)1985年启动2061计划(哈雷彗星2061年会再次光临地球),帮助美国人提高科学、数学及技术素养,“美国历史上最显著的科学教育改革之一”
,号称“终极的科学计划”
。“既然数学对理解自然科学等具有中心重要地位,因而我们再次强调需要把数学与这些学科以综合的方式去教。综合的方法表明,一个现象的数学描述具有阐明和加强的效果。”

直接用加速度是位置矢量关于时间的二阶导数运算不香吗?有时更一般的方法反而会降低认知难度。
sin\theta=\frac{y}{r}cos\theta=\frac{x}{r}
\vec{v}=vsin\theta \hat{x}-vcos\theta \hat{y}=v\frac{y}{r}\hat{x}-v\frac{x}{r}\hat{y}
\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}\vec{a}=\frac{v}{r}(v_y\hat{x}-v_x\hat{y})
\left|\vec{a}\right|=\frac{v}{r}\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\frac{v^2}{r}
更一般:
\vec{r}(t)=rcos\theta(t)\hat{x}+rsin\theta(t)\hat{y}
\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=r(-sin\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\hat{x}+rcos\theta(t)\frac{d\theta}{dt}\hat{y}
对于等速圆周运动,\frac{d\theta}{dt}=\omega=const.
\vec{v}=\omega r(-sin\theta(t))\hat{x}+rcos\theta(t)\hat{y}
\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=-\omega^2 r(cos\theta(t))\hat{x}+sin\theta(t)\hat{y}
\left|\vec{a}\right|=\omega^2 r
前面是对向心加速度的推导,而对它的理解大多局限在直接应用的层面,在FloatHeadPhysics频道上看到更直观的逻辑:
半径不变速度加倍,相同两个位置的速度变化量同样加倍,而所需要时间则因为速度加倍而减半,所以速度变化量应该是平方倍;同理,速度不变半径加倍,相同位置(角度)的速度变化量不变,而由于弧长加倍速度不变,所需时间加倍,那速度变化率减半。

特地找到杨振宁演讲的原视频截取了关于向心加速度的一段。因为战乱等原因,数学教授的儿子也没有学过高中物理,但似乎不妨碍他日后在物理学上的贡献。而现在的小朋友似乎学的有点多...




1937年杨振宁的父亲到西南联大教书,一家人搬到昆明。1938年高二的杨振宁参加大学入学考试(同等学力报考),报考化学系也要求考物理,没有学过高中物理的他借了一本高中物理学在家自学了一个月,觉得物理学很有意思,比化学还有意思,一考入西南联大立刻从化学系转到物理系。

另,
发现有用F_g表示重力的,我觉得这样非常方面,和F_fF_n等表示一致,比用W表示更统一,特别是和万有引力常数G区分开。至于向心加速度,a_na_c都可以,我更习惯弹力用F_N,而向心力用F_n,都是normal...
关于是匀速圆周运动还是等速圆周运动,个人更偏向台湾那等速圆周运动的称谓...

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几年前我曾编过一道题目,竖直平面光滑轨道上,求小球从2r等高处静止释放上升的最大高度。起初不少学生不理解为什么不能到达圆形轨道最高点,因为那并不违反能量守恒,后来有学生陆续能计算出\frac{5}{3}r,最后为数不多的学生能继续计算,斜上抛的运动学角度或者求出抛体最高点动能再用机械能守恒,计算出h_{max}=\frac{50}{27}r...
前一阵子注意到高三模拟的一道题目和上面很像,但我当时记错了数据,有两位学生(远卓等,他觉得后面的结论很神奇,也期待他们的论证)算出复杂的分数...

昨天在推上看到@TaRoS_physics分享的结果,以前没有留意到30°(落到水平点最外点)、45°(落到中心对称点)、60°(竖直点)有这么好的结论。就让侯课代表检验一下并找找规律,当然我自己也没有闲着...
关于满足机械能守恒的竖直平面圆周运动的脱离点与落点角度等疑惑,今天用电脑计算了一下,不仅原来结论很完美,似乎还有小的发现,落到圆周上的点是脱离点和竖直面的3倍角,等我要发布的时候发现@hakuryu27071454也给出了一样的结论,我如费赖登塔尔所言的reinvent...
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土拨鼠洞穴的一个入口是比另一个高不少的(挖洞挖出的土基本上是堆到一侧),这可是利用了伯努利原理以保证有足够的氧气流通,这是自然选择的结果吧,相信也有其他动物进化出如此的本领。以前留意过,地下通道的设计可以借鉴[?]...

蝙蝠和海豚以相同的方式进化了回声定位。有研究表明,它们有200个基因以相同的方式独立发生了变化...物种的进化,某种程度上是物理定律的选择...

一直以为电源的符号的长线段是代指充当正极的碳棒,看资料才知道,电池符号的灵感来自 19 世纪初伏打电池的外观。
(1780年,意大利科学家伽伐尼提出动物是由电驱动的,电流计(galvanometer)正是以伽伐尼命名的。伏特对抽搐的青蛙腿很感兴趣...1799年伏特鼓捣出了电池的雏形。)

"Everything is interesting if you go into it deeply enough."---Richard Feynman

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网课的习题备份。动能定理,类平抛,竖直面圆周运动,等效重力场,速度分解,绳导致能量损失...



辰西童鞋考虑了纯数学方法,并用韦达定理求解抛体细绳拉直的位置。
下面的题目是功能关系转化相关...

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Solvay_conference_1927

Solvay_conference_1927
索尔维不是地名,是索尔维制碱法的那位,比利时的诺贝尔一样的人物,业余学者、企业家的他创立了索尔维会议。
1927年第5届索尔维会议在比利时布鲁塞尔召开。“上帝不会掷骰子”爱因斯坦与“别指挥上帝该怎么做”的尼尔斯·玻尔都已获得诺贝尔奖了。
前排C位的荷兰物理学家洛伦兹(1902年诺奖得主,晓人文地理,掌握多门外语)算是东道主了,和爱因斯坦是不是有意突出第二排的保罗·狄拉克呢,预言了正电子的他配得上这份殊荣。
作为哥本哈根学派的掌门人的尼尔斯·玻尔看似低调很多,这里最佩服的人,也是佳士得啤酒终生免费畅饮者。(那位学生的理想竟然是35岁躺平)
普朗克,1900-12-14
朗之万是中国物理学会第一位名誉会员。(和居里夫人的八卦也挺劲爆)
大师的大师索末菲尽管没来,但是他的学生海森堡和泡利来了。
除了德布罗意、波恩等人,还有康普顿(教材上还提到吴有训),威尔逊(云室)。
薛定谔和泡利都是奥地利人,荷兰算是东道主,除此之外德国人居多。
比利时物理学乔治·勒梅特(宇宙大爆炸起源论)一生中与爱因斯坦四度会面,第一次在1927年的索尔维会议...很遗憾勒梅特没有在照片上。

双立春拔了智齿吃了春饼发了博客...

·号称集中地球上三分之一智慧的照片[?]