（和MingsongHu一起重新构造了拉格朗日点s）
在了解拉格朗日点之前，应该先对双星系统有所知晓。为了方便，把双星系统中大质量的称为恒星，质量$M_1$，比如太阳；小质量的称为行星，质量$M_2$，比如地球。
由$\frac{GM_1M_2}{R^2}=M_1\omega ^2 R_1$，$\frac{GM_1M_2}{R^2}=M_2\omega ^2 R_2$，
得$\frac{R_1}{R_2}=\frac{M_2}{M_1}$，$\omega^2=\frac{G(M_1+M_2)}{R^3}$
双星以相同角速度围绕质心（到旋转中心距离与质量反比）旋转，角速度由质量和距离决定。

在双星系统中引入第三个天体，为同前面统一，这里称卫星，由于$m< <M_2$，对双星系统运动影响忽略，就如人造地球卫星对地球和月亮的运行的影响可以忽略一样。在双星系统的二体引力场中，数学家欧拉和拉格朗给一共推算出了5个特殊的位置，能让第三个物体与另两个天体的相对位置保持不变，即在双星系统的非惯性系中，卫星的加速度为零。 对于$L_1$，原本与恒星距离越近角速度越大，但由于有行星的引力抵消一部分，使卫星以行星的角速度运行成为可能。$r$为卫星与行星距离。 $\frac{GM_1m}{(R-r)^2}-\frac{GM_2m}{r^2}=m\omega^2(\frac{M_1}{M_1+M_2}R-r)$ 化简得$\frac{M_1}{(R-r)^2}=\frac{M_2}{r^2}+\frac{M_1}{R^2}-\frac{M_1+M_2}{R^3}r$ 对于$L_2$，同理，原本与恒星距离越远角速度越小，但由于有行星的引力参与增强了一部分，使卫星以行星的角速度运行成为可能。$r$为卫星与行星距离。 $\frac{GM_1m}{(R+r)^2}+\frac{GM_2m}{r^2}=m\omega^2(\frac{M_1}{M_1+M_2}R+r)$ 化简得$\frac{M_1}{(R+r)^2}+\frac{M_2}{r^2}=\frac{M_1}{R^2}+\frac{M_1+M_2}{R^3}r$ 卫星在双星系统的离心加速度（非惯性系的离心力所对应的加速度）$a_c=\omega ^2(r-\frac{M_2}{M_1+M_2}R)$，$a_c=\frac{G(M_1+M_2)r-M_2R}{R^3}$ 对于在双星连线上的拉格朗日点，可以利用相对加速度为零求解（图）。$a=-\frac{GM_1}{r^2}sgn(r)+\frac{GM_2}{(R-r)^2}sgn(R-r)+a_c$

对于拉格朗日点的讨论，更喜欢$L_{4,5}$的讨论，简洁、巧妙。
$\frac{GM_1M_2}{R^2}=M_1a_1$，得$a_1=\frac{GM_2}{R^2}$，同理得$a_2=\frac{GM_1}{R^2}$，得$a_{14}=\frac{GM_1}{R^2}$,$a_{24}=\frac{GM_2}{R^2}$，根据图中几何关系$\frac{R_1}{R_2}=\frac{M_2}{M_1}$，$a_4$不仅指向双星的质心，由$a=\omega^2r$，且满足角速度相同。

如果仅从中学生做题的角度看，只需要掌握在拉格朗日点的卫星和双星具有相同角速度即可。

带电粒子（不计重力）从平行板电容器中间水平入射，电容器两板之间加方波电压（静态看，也可以暂时把电压考虑成电量，但电量的好处是调整板间距离电场力不变，加速度不变），且$v_0=\frac{L}{T}$，即带电粒子在电容器内穿行的时间为一个周期$T$...（另一类题目是初速度很大，即$\frac{L}{v_0}\sim 0$，看做类平抛...）

以正负电压相等为例，电压图像可以转化为加速度时间图像，由于运行时间为一个周期，速度变化量相同，或者说用竖直方向动量定理（或从加速度时间图像的面积不变来考虑），出射粒子竖直速度为零，即粒子都水平射出。

而对于粒子的运动轨迹，除了末速度水平以外，出射点位置关于$\frac{T}{2}$对称，且为线性。以粒子入射时刻$\frac{T}{2}\pm t$，$y=\frac{4aTt-aT^2}{4}$

有趣的是，前面的结论在更一般一点的情况下也有成立，如果把正向电压$U_1$转化为$a_1$，反向电压$U_2$转化为$a_2$，半周期还是对等，运行时间还是一个周期，那射出速度$v_y=(a_1-a_2)\frac{T}{2}$，$y=\frac{a_1T^2-3a_2T^2+4(a_1+a_2)Tt}{8}$

从初设轨迹上能很直观看到，射出粒子速度相同，入射时间关于$\frac{T}{2}$对称时，也如前面，运行轨迹不同但出射点位置相同。

对于正反电压相同的情况下，中间入射的粒子仍从中间射出，入射时间分别是$\frac{1}{4}T$和$\frac{3}{4}T$，而对于对于正电压是反电压2倍的情况下，中间入射的粒子仍从中间射出，入射时间分别是$\frac{5}{12}T$和$\frac{7}{12}T$。都是关于$\frac{1}{2}T$对称的。

真正促使我用整整一个晚自习来整理相关内容，还是那位喜欢打篮球且篮球打得很好的王同学问的一道看起来不难的问题，我一直怀疑是不是什么竞赛题目。主要的是对这个问题解决的过程中，复习了不少运动学知识，也遇到一些主动的问题。
题目的前提如前面：正反电压相同，从电容器中间入射，粒子在电容器内部运行的时间正好是一个周期，问板间距离是多少，能使入射的50%的粒子从电容器另一端射出。
要解决这个问题，先要思考如下几个小问题。
1、保证中间入射的粒子还是能从电容器另一端的中间射出，板间距离是多少。$\frac{1}{2}a{(\frac{T}{4}})^2*2*2$

2、中间入射的粒子能从电容器另一端射出，板间距离是否有最小值。
这个问题最先是溢成同学最先在课上提出，若云最先是直觉判断那两个三角形面积为1：2时，即向上和向下偏离入射方向相同的时候板间距离最下，单一同学给出很好的几何解释，崔刘同学也独立给出求解。现在看，可以通过一个二次函数与一个一次函数取大的交点来求解。（入射向上偏移的距离是和入射时刻的关系是二次函数，入射到出射整个过程的数值位移是和入射时刻的一次函数）

（分段取最大的问题）（间距极值问题，贴边入射和中点入射。一个是$\frac{T}{4}$，一个是$\frac{2-\sqrt{2}}{2}T$）
3、水平入射的粒子能够出射，板间距离最小值是多少。（并没有入射粒子在中间这个前提）（向上偏移和向下偏移的和的极小值。）

4、如果从时间分布上看，出射粒子偏离入射方向最近的50%，有一半对应的是$\frac{1}{8}T$到$\frac{3}{8}T$，而这样考虑，首先能想到的错误是，粒子在竖直方向偏离的最大位置是在射出前出现（竖直速度为零的位置也是竖直最大距离处），对应前面的二次件数与一次函数的表达，容易理解一点。
5、晚自习推荐给物竞的欣然同学，早上他一次性给出了很完备的解释，向同学最早有自己的正确的想法，引发了我更多的考虑，若云同学给出更多解释和正确和工整的计算，庆林同学也给出正确计算。当然这个问题的核心在竖直偏离的最大位置关于入射时间的关系是一个二次函数与一次函数的最大问题。

宋明屿同学一早算出：$t_1=\frac{2-\sqrt{3}}{2}T$（$t_2=t_1+\frac{1}{4}T$，另一部分是延后$\frac{1}{2}T$射入），板间最小距离$d=(2-\sqrt{3})\frac{U_0q}{md}T^2$。孙浚豪同学和逍遥老师班上的同学也给出相同的结果。
6、可以尝试更一般的计算，比如反向电压是正向电压的一半，不考虑入射点位置是否在中间，保证所有粒子都射出，板间距离是多少。（编写这个题目时就觉得不容易，也正是对这个模型熟知，对前面的问题定势了不少，忽视分段函数及最值等细节，造成求解麻烦。）
7、如果在更一般情况下，出射粒子占入射粒子20%...
8、（当初记录的就不条理，除了切入题目难之外，也是遗忘等因素。一年后再次做了这个题目也不是很容易，当然最主要的原因是对于代数计算的重视不够，想通过图像一蹴而就反而增加了认知难度。20220505）
在整理这道题的过程中，打完羽毛球的家麟同学来办公室推荐一道物理题，然后一起作图休息，他傍晚要模考两科，下班路上，王老师嚷着说那本练习册特别，其中也有这道题目，哈哈哈

附宋明屿同学的计算过程[?]：

关于带电小球在匀强磁场中的运动，也可以转化为带电粒子在正交匀强电场和匀强磁场中的运动模型。正电q质量m小球在垂直纸面向里的匀强磁场中静止释放，设运动中下落最大高度$h_m$和能获得最大速度$v_m$...
思路1（记得是很多年前，课代表杨洛的思路）
由于只有重力做功（洛伦兹力始终不做功），下落最大高度和最大速度对应；同时，由于是下落最大高度时速度最大，那$v_m$一定是水平的（$v_y=0$）。根据动能定理和水平方向动量定理，可得：
$mgh_m=\frac{1}{2}m{v_m}^2-0$
$\sum Bq v_y \Delta t=mv_m-0$
$Bqh_m=mv_m-0$
联立解得$v_m=2\frac{mg}{qB}$ $h_m=2\frac{m\frac{mg}{qB}}{qB}$

思路2（参考资料上通常给的方法，学生印象深但理解的一般）
静止释放的小球看成是由两个大小相等方向速度的叠加，而特别选取$v_0=\frac{mg}{qB}$，主要的意图是水平向右的速度对应的洛伦兹力能平衡掉重力，这样，带电小球的运动就可以转化为逆时针圆周运动与水平向右匀速直线运动的合成，轨迹是摆线。
至于最大速度和下落最大高度，半个周期时，圆周运动与水平匀速运动速度方向相同，和速度最大$v_m=2\frac{mg}{qB}$，而下落最大高度$h_m=2r$

思路2（建立在思路2）
既然能把运动简化为圆周运动和匀速直线运动的合成，那利用圆周运动在直径上的投影为简谐振动这一点，可以知道带电小球在竖直方向是简谐振动（匀速直线运动不影响竖直方向）。利用简谐振动的最高点和最低点加速度相同，$qBv_m-mg=mg$,得$v_m=2\frac{mg}{qB}$...

思路1的代数法简洁，思路2这里叫几何法的话，很直观，思路3利用二级结论巧算最大速度。这道题目很有趣的地方还在于其初速度的开放性和运动的轨迹的规律性有很好的统一。比如一个周期内的水平跨度，$d=\frac{mg}{qB}T$，$T=\frac{2\pi m}{qB}$，再比如，如果小球的初速度是倾斜的，通过上图应该可以想到，运动的轨迹是水平的$v_0=\frac{mg}{qB}$和小球初速度与$v_0$矢量差为线速度的圆周的叠加，当然回过头看，前面的讨论不过此前提下的是特例。

《园丁与木匠》Alison Gopnik（高普尼克） 刘家杰等译
the Gardener and the Carpenter
What the New Science of Child Development Tells Us About the Relationship Between Parents and Children
?与最聪明的人共同进化
孩子不仅比成年人更善于学习，他们还充满了创造力，并且在很小的时候就拥有了一些道德意识。
漫长的童年就是人类专属的学习期，它使孩子成为全宇宙最高级的学习者。
对人类而言，孩子是真理、爱和人生意义的最大来源。
作为三个孩子的妈妈以及三个孩子的祖母，高普尼克一直仔细观察自己家孩子的成长。（离过婚，敢于冒险的二儿子是非常成功的投资人，丈夫是皮克斯创始人之一...）
0引言
在教养的场景中，教养方法也遵循相同的模式：父母的工作与木匠异曲同工，只不过生产的不是椅子这种特定类型的产品，而是一种特定的人。（鸡娃、鸡妈和虎妈？直升机家长。没大学毕业就平躺了）
如果养育是一项工作，旨在成功地“创造”一个成年人，那这项工作是在是太糟糕了：长时间地工作，没有加班费和福利，还有一大堆体力活。而且在长达20年的时间里，你都不知道自己做得是否够好，这个事实本人就会让人变得更加容易焦虑和愧疚。（对中国家长，这项使命的时间长度是终生的）
毕竟我们这一代人，是成长在幸福温室里的“婴儿潮一代”，和成长在大萧条和战争苦难找给你的“最伟大的一代”父母比起来，实际上并没有多大改善。
“工作和爱使生命值得度过”，据说弗洛伊德和猫王都说过的名言。
我们可以追求更好的爱，而不用把它看做一种工作。
爱的意义不是塑造我们所爱之人的命运，而是帮助他们塑造自己的命运；不是为了向他们展示道路，而是为了帮助他们找到自己的道路，哪怕他们所搜的道路不是我们想选的，也不是我们能为他们选择的。
尽管几乎每个人都认为孩子应该有玩耍的时间，但是当我们开始规划孩子的生活时，玩耍时间是最先被舍弃的。
正如孩子必须从最具有依赖性的生物转变成最具自主性的生物一样，他们也必须从以玩耍为主的人转变为以工作为主的人。这一转变需要孩子的大脑和新智发生深刻的变化。
童年天然就是一个极具可变性、可能性且充满了探索、创新、学习和想象的时期。尤其是人类的童年那么漫长，就更加如此。但是，我们卓越的学习和想象能力也是有代价的。在探索和运用、学习和规划、想象和行动之间，处处存在着权衡。
在现代的教养模式中，父母就像一个木匠...混乱和变异是木匠的敌人，精确和控制力是他的盟友。你要精心测量、果断下手。

正如任何园丁都知道的，特定计划总会失败。罂粟长成了霓虹橙色而不是淡粉色，玫瑰没有顽强地爬上离地面不到半米高的栏杆，黑斑、锈迹和蚜虫永远也除不掉。
然而补偿的是，我们最大的园艺胜利和欢乐正来自花园逃离我们的控制之后发生的事：当白色的鹤虱草意外地出现在黑色的紫衫树前方的正确位置，当被遗忘的水仙跑到了花园的另一边，在蓝色的勿忘草丛中怒放，当那些本来应该牢牢固定在树荫下的葡萄藤在树丛中长成红色的风暴...

和一把椅子不一样的是，一座好的花园会不断变化，因为它在适应不断变化的天气和季节环境。
每个园丁都体验过最有希望长好的的幼苗意外枯萎的痛苦。唯一不存在这种风险、没有经历过这种痛苦的花园，是由塑料花和尼龙草皮制成的。
我们作为父母的工作并不是要创造一种特定的孩子。相反，我们是要提供一个充满爱且安全、稳定的保护空间，让充满无限可能的孩子都可以蓬勃发展。我们的工作不是塑造孩子的思想，而是让这些思想去探索世界的所有可能；我们的工作不是告诉孩子该如何玩，而是给他们玩具，然后在孩子玩完后再把玩具捡起来。我们不能逼孩子学习，但可以让他们自己学习。

1教养是一种糟糕的现代发明
pay attention to your kids and love theme
parenting教养一词，其实直到1958年才在美国出现。
虽然亲子关系不可或缺，但父母的天职并不是塑造孩子的人生。
对中产阶级来说，“让孩子变成有用的人”的努力给他们带来了无穷的焦虑、自责和挫败感；对孩子来讲，父母无尽的期望投下了朵朵压抑的乌云。
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李海妹 Lauralee
东北育才学校高级教师、求师得数位学习联合创办人、《数字故事讲述》课程主持人
全国创新英语大赛总冠军特级辅导教师、全国中小学生英语大赛团体赛全国总冠军指导教师、沈阳市名师进课堂讲师团成员...

读后续写写作攻略
读后续写中读的过程要做到找、划、猜。找文章的主题，划出表现人物性格/推动情节发展的词句，猜测故事的内容走向。
下面我们以沈阳市二模为例演示写作过程。
1.找主题 Theme: kindness from strangers
2.编内容
Para 1 接到电话后担心紧张；打手机询问打不通；决定转钱
Para 2 紧张被店员注意；店员报警真相大白；感激/升华
3.分配细节
Para 1 担心紧张的心理/表情描写；决定转钱时的连动
Para 2 两人对话的语言描写 ；得知真相后的心理描写
4.写草稿
Para 1 Cecil was totally at a loss. Astonished and suspicious, he called David's mobile phone to see what happened. However, the line was busy, which made him more anxious. Worrying about his grandson, he found his credit card and set off for Walmart.
Para 2 The lucky part of Cecil's day was when he stepped into cashier Audrella's line in Wal-Mart. "How can I help you?" she asked gently. "I need to transfer $2300 to another store."said Cecil nervously. Sensing his nervousness, Audrella asked if everything was okay. After Cecil told her the whole story, Audrella called the police. When two officers arrived, Cecil were calm again and realized that the whole thing was a phone scam. Cecil held Audrella's hands, and thanked her sincerely for her kindness and love.

5.语言润色
Para 1 Cecil was totally at a loss. With a mixture of astonishment and suspicion, he called David's mobile phone, attempting to figure out what on earth had happened. However, after calling up to 10 times, the line was busy all along, which only added to his anxiety all the more. Worrying about his grandson, feeling no time to waste, he took his credit card, started the car and off he went.
Para 2 The lucky part of Cecil's day was when he stepped into cashier Audrella's line in Wal-Mart. "How can I help you?" she asked gently. "I...I need to transfer $2300 to...to another...store." stammered Cecil, sweat rolling down his forehead. Sensing his nervousness, Audrella couldn't help asking if everything was okay. With a shaking voice and reddened eyes, Cecil told her the whole story, pinning all his hopes on this young girl he'd never met before. Burning with mounting suspicion, Audrella called the police. With the arrival of two officers, Cecil regained his calm and came to the realization that the whole thing turned out to be nothing but a phone scam. Holding Audrella's hands tightly, Cecil couldn't thank her enough and gave her $100 in reward, knowing too well that no price was too high for the random act of kindness and love.
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