25

read

Infinite Powers
How Calculus reveal the Secrets of the Universe
Steven Strogatz 斯托加茨著 任烨译
@qiusir:我认识的人,不管有学问没学问的都知道读书是一件值得鼓励的事,但身边真正能读书的人却很少,而那种对书的赞誉也多来自抽象或是盲目。我自己也是这些年才真正去读书,深感越早在身边遇到真正的读书人很重要,感激能引导自己真正去读书的人,那才是老师真正应该做的事...书,才拥有infinite powers
引言
没有微积分,我们就不会拥有手机、计算机和微波炉,也不会拥有收音机、电视、为孕妇做的超声检查,以及为迷路的路行者导航的GPS。我们更无法分裂原子、破解人类基因组或者将宇航员送上月球,甚至可能无缘于《独立宣言》。
费曼对小说家沃克说道:“你最好学学微积分,它是上帝的语言。”(费曼他当年和一个艺术家互助,结果他学会了花画,那个艺术家可是早早放弃了物理。)
一种神秘且不可思议的事实是,我们的宇宙遵循的自然律最终总能用微积分的语言和微分方程的形式表达出来。
如果有什么东西称得上宇宙的奥秘,那么非微积分莫属。
“我在青少年时期产生了探寻存在之意义的渴求,大学期间就只学习了文学与哲学等人文学科,所以我并不知道别人口中艰涩、无趣、毫无用处的微积分竟然是上帝的语言。”(首富的马云似乎诋毁过sin(x)...)
沃克聘请了一位以色列的数学家教,希望能跟着他学点微积分,顺便提升一下希伯来语口语水平,但这两个愿望都落空了。最后,绝望的他旁听了高中微积分课程,但因为进度落后太多,几个月后他不得不放弃。在他走出教室时,孩子们一起为他鼓掌,他说就像对一场可怜的表演报以同情的掌声。
作为一名应用数学家,真正吸引我的是我们周围的现实世界和我们头脑中的理想世界之间的相互作用。外界的现象引导着我们提出数学问题;反过来,我们的数学想象有时也会预言现实世界的事情。
微积分是一个由符号和逻辑构成的想象领域,大自然则是一个由力和现象构成的现实领域。但不知为何,如果从现实到符号的转换足够巧妙,微积分的逻辑就可以利用现实世界的一个真理生成另一个真理,即输入一个真理,然后输出另一个真理。
“世界的永恒之谜在于它的可理解性。”
微积分真正不同凡响和标新立异的做法在于,它把这种分而治之的策略发挥到了极致,也就是无穷的程度。它不是把一个大问题切分成有限的几小块,而是无休无止地切分下去,直到这个问题被切分成无穷多个最微小并且可以想象的部分。
切分和重组,微分和积分。
微积分忽略了原子核其他不可切分实体造成的不便,这不是因为它们不存在,而是因为假装它们不存在会有很大帮助。微积分偏好有用的虚构。(理想化的力量,正如伽利略对摩擦的忽略引发了惯性乃至物理的开端...)
(《无穷小》一书中,导数首先被使用,之后它被发现,接着它被探索和发展,最终它被定义了。
微积分萌生于几何学家对圆度的好奇心和挫败感。圆、球体和其他曲线形状是他们那个年代的“喜马拉雅山脉”,这并不是说它们造成了什么重大的实际问题(至少一开始不是),而是说它们激发了人类的冒险精神。(从有用导致的发现不足以和从人本性的冒险带来的相比较。)(学习是一种冒险和攀登...)
1
无穷的故事
当我们凝视圆的时候,圆实际上也在注视着我们,因为它们就在我们所爱之人的眼睛里,在他们的瞳孔和虹膜的圆形轮廓中。
(圆度是指工件的横截面接近理论圆的程度)
无穷其实是一件天赐之物。
在无穷远处,一切都变得更简单了。
在微积分中,极限的不可到达性往往无关紧要。通过想象我们能到达极限,然后看看这种想法意味着什么,我们常常可以解决手头的问题...他们并不是依靠逻辑,而是依靠想象力获得巨大的成功。
极限之所以重要,原因就在于它们是整个微积分领域的基石。
就像《圣经》中的原罪一样,微积分的原理---把圆看做边长无穷短的无穷多变形的诱惑---也让人无法抗拒,它利用禁忌知识的前景和借助一般手段无法获得的洞见诱惑着我们。
布鲁诺被活活烧死在火刑柱上,罪名是他认为上帝以其无穷的力量创造力不计其数的世界。
芝诺试图证明改变时不可能发生的。在芝诺看来,尽管感官告诉我们这不是事实,但它实际上欺骗了我们;改变是一种错觉...在你走一步之前,你需要先走1/2步;在你走去1/2步之前,你需要走1/4步,换一次类推...你非但走不到墙根处,甚至没办法出发。
如果你认为自己在做早餐前有很多事情要做,就可以想象你必须完成无穷多项任务之后才能到达厨房。
虽然芝诺对阿喀琉斯要完成无穷多项任务的判断是对的...
飞矢不动:如果空间和时间是离散的,飞矢就未曾移动,因为在每一个瞬间,飞矢都在某个确定的位置...在任何给定的瞬间,飞矢都死静止不动的。
普朗克长度\sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}
2
驾驭无穷的勇士
阿基米德十分痴迷几何学,以至于“忘了吃饭,蓬头垢面”...必须有人“强行拽着他去洗澡”。
S=1+2\times\frac{1}{8}+2\times\frac{1}{16}+
4S=4(1+2\times\frac{1}{8}+2\times\frac{1}{16}+)=4+S
福尔摩斯:“在你排除了不能的情况之后,剩下的无论多么不可思议,都一定是真相。”
数学家不会一下子想到证明方法,而是先产生直觉,再考虑严谨性的问题。高中的几何课程常常忽略直觉和想象力的重要作用,但他们对所有创造性数学研究来说都是不可或缺的。
阿基米德最后提出了他的希望:“在现在和未来的几个世代中,某些人会利用这种方法,找到我们尚未掌握的其他定理。”这句话几乎让我热泪盈眶。
(抽空要把阿基米德的方法构图补上。)
阿基米德低调地称自己的方法知识表明结论正确的“某种迹象”。
22个世纪之前,阿基米德给他的朋友、亚历山大图书馆馆长埃拉托色尼写信...(测量地球半径)
3
运动定律的探索之旅
阿基米德去世后,关于自然的数学研究也几乎随之消逝,直到1800年后一个新的“阿基米德”登上历史舞台。在文艺复兴时期,一位名叫伽利略·伽利雷的年轻数学家重拾阿基米德的未竟之业。
与此同时,年轻的德国数学家开普勒研究了行星是如何在天空中运行的。他们俩都被各自数据中的模式深深吸引,并意识到存在某种深层次的东西。
伽利略和开普勒冒险冲出了阿基米德的静态世界,去探索物体是如何运动的。
行星planet的原意是流浪者...
(逆行)
尽管望远镜并不是伽利略发明的,但他对望远镜做出了改进,并且是第一个利用它取得重大科学发现的人。(1609年---2009年世界天文年)
《关于两门新科学的对话》是伽利略毕生的巅峰之作,也是现代物理学的第一部杰作。用的是意大利语而不是拉丁语,目的是让所有人都能看懂它。他安排人把书稿偷偷带去荷兰,并于1638年在那里出版。

亚里士多德被复杂的因素引入企图,以致得出了错误的落体定律。
亚里士多德过于关注噪声(空气阻力),而不够重视信号(惯性和引力)。(常人都是被小事耽误的,大事反而不计较。)
代表伽利略的人物力劝头脑简单的亚里士多德学派的提问者,不要“偏离讨论的主题,而抓着我的某些和真相只有毫发之差的陈述不妨,殊不知在这根头发之下,隐藏着另一个人的像船舶缆绳一样显眼的错误。”

这正是问题的关键所在。在科学中,毫发之差是可以接收的,但像船舶缆绳那样显眼的误差就不行了。
在生命的最后一年,伽利略设计了世界上的第一座摆钟,但还未建造好他就去世了。15年后,荷兰数学家和物理学家克里斯蒂安·惠更斯发明了第一座实用摆钟。
描述钟摆摆动的方程也可以不加改变地用于描述发电机的旋转。为了纪念这一渊源,电气工程师将他们的发电机方程称为摆动方程。
(博丁同学今天发消息来,变压器transfomer应该叫改变器,以前我和学生推导过电压器变流和变阻...)
让我们再回头看看那个坐在比萨大教堂里,思索着吊灯摆动问题的青年伽利略。我们现在知道,虽然他对钟摆及其摆动额等时性所做的思考看似无用,但实际上对文明的进程---不仅对他的时代,也对我们的时代---产生了巨大的影响。
开普勒在1609年发现了第一和第二定律,1619年才发现了关于所有行星的第三定律,从而把整个太阳系与单一数字规律绑定在一起。(1609年也是伽利略拿起望远镜看月亮的年份,算是物理神奇年了。而开普勒三定律的发现,和爱因斯坦1905年发现狭义相对论,1915年发现广义相对论。1905和1666年是公认的物理神奇年。)
“现在,从8个月前的黎明、3个月前的白昼和几天前开始,当充足的阳光照亮我的奇妙的猜想时,已经没有什么能阻止我了。我心甘情愿地陷入这种神圣的狂热状态。”
尽管开普勒和伽利略素未谋面,但他们通过书信的方式交流彼此的哥白尼式观点和天文发现。
“亲爱的开普勒,我希望我们能嘲笑这些极其愚蠢的人。你会如何评价这所大学里那群著名的哲学家呢?他们像吃饱了的蛇一样固执己见,尽管我无数次地尝试邀请他们,但他们还是拒绝看行星、月亮,还有我的望远镜。”
科学风格和性情上,伽利略是理性主义者,而开普勒是神秘主义者。伽利略是阿基米德思想和方法的继承者,对力学非常着迷。而开普勒更像毕达哥拉斯思想和方法的继承者。
“开普勒迷恋上了毕达哥拉斯的梦想,并且在这种幻想的基础上,通过同样不可靠的推理方法,构建起现代天文学的坚固大厦。这是思想史上最令人震惊的片段之一,也是摒除了科学进步由逻辑主宰这个道貌岸然的的信念的方法。”
同所有伟大的发现一样,开普勒的行星运动定律和伽利略的落体定律引发的问题比它们回答的问题要多得多。
4
微分学的黎明
笛卡尔在学术上无所畏惧、蔑视权威,自我的程度之强不亚于他过人的天赋。
“古人教给我们的东西太少了,而且绝大多数都缺乏可信度,除非避开他们走过的所有路,否则我根本不可能找到一条通往真理之路。”
学生们仍然在学习笛卡尔坐标,尽管它是费马率先提出来的。(就像我们一直说的阿拉伯数字其实是印度人的发明。)
斯涅耳不知道正弦定律会行之有效,但它是关于光的一个赤裸裸的事实。
笛卡尔重新发现了斯涅耳的正弦定律。
“最不寻常、最无法预料但也是最开心的一次计算。这个意想不到的结果让我无比惊讶,以至于我久久无法回过神来。”
光是以最快的方式传播...
人们发现,这种最优性原理(从某种精确的意义上说,指大自然会以最经济的方式运行)能准确地预测出力学定律。20世纪初,最小作用原理又延伸到广义相对论、量子力学和现代物理学的其他领域。
切线tangent源于touching触碰的拉丁词根...
5
微积分的十字路口
微积分给了我们这样的希望:世界本质上可能是公平的,因为它遵循的是数学定理。
曲线之谜、运动之谜、变化之谜...
(现在自己真是个中学生,看到好书总觉得遗憾,要是自己中学的时候能读到,能有耐力读到...当然也庆幸,可能自己这么多年的积累让自己有能力读懂这本好书...这是追求的过程也是结果的回报)
无穷是e的固有属性,就像\pi是圆的固有属性一样。
6
变化率和导数
微积分有三大核心问题:
1、正向问题:已知一条曲线,求它各处的斜率。
2、反向问题:已知一条曲线各处的斜率,求这条曲线。
3、面积问题:已知一条曲线,求曲线下方的面积。
在芝诺提出那些知名悖论的2000年后,微分学的创立者解开了瞬时速度之谜,他们直观的解决方案是,将瞬时速度定义为一个极限,具体来说,就是在越来越短的时间间隔内平均速度的极限。
尽管有可能是近似的,但却证明了光滑度的力量。(光滑度和现实的摩擦细节有的一比)
毕加索说,“艺术是让我们认识真理的谎言。
7
隐秘的源泉
calculus源自拉丁词根calx,意指一块小石头...讽刺的是,牛顿和莱布尼茨这两位微积分先驱都是死于给他们造成极大痛苦的结石:牛顿患有膀胱结石,而莱布尼茨患有肾结石。
“这看似一个冒失的断言...但凭借着赋予我灵感的源泉,它对我而言确实是显而易见的,不过我不会向他人证明这一点。”
牛顿的隐秘源泉就是微积分基本定理。尽管牛顿和莱布尼兹都不是最早注意这个定理的人,但他们却由此获得赞誉,因为总得来说,他们率先证明了这个定理,认识到它巨大的效用和重要性,并围绕它构建起算法体系。他们创立的方法现在已经普及开来,积分这头怪兽“被拔除了尖牙”,变成了青少年的家庭作业。
鱼问它的朋友:“你难道不感激水吗?”另一条鱼反问道:“水是什么?”学习微积分的学生还一直浸淫在基本定理中,所以他们视其为理所当然。
伽利略通过实验证明了恒定加速度并不是一种纯粹的学术假设。
但在中世纪甚至伽利略生活的时代,人们还不知道加速度不恒定时,速度会如何变化。
我高中的微积分老师打了一个令人难忘的比方,他让我们想象有一个神奇的油漆滚筒,当它平稳地向右滚动时,就会将曲线下方的区域涂成灰色...
就像导数比斜率更重要,积分也比面积重要。面积对几何学而言至关重要,而积分对一切来说都至关重要。
牛顿憎恨他的继父,并且觉得自己被母亲跑起来。后来,在他列出的19岁前犯下的罪行清单中能够,“13.威胁我的父母要把他们和他们的房子一起烧掉。”“14.希望死亡降临到某些人身上。”“15.经常打架。”“16.有不洁的想法、言行和愿望。”
尽管牛顿的学业报告评价他是个懒散、注意力不集中的学生,但当他晚上独自待在房间里时,它会在墙上画阿基米德画过的圆和多边形。
他憎恨做农活,便放纵他家的猪闯入邻居的田地任由篱笆东倒西歪,并被庄园法庭处以罚款。
据我们所知,他从未谈恋爱和结婚,也很少开怀大笑。
牛顿发现,如果不知道一些三角学知识,他就无理解占星术;而如果不知道一些几何知识,他就无法理解三角学。
牛顿手稿:http://cudl.lib.cam.ac.uk/view/MS-ADD-04000/
牛顿的幂级数给了他一把对付微积分的瑞士军刀。

如果不是站在巨人的肩膀上,牛顿就不可能做到这一切。他统一、综合和归纳了伟大前辈的思想:他继承了阿基米德的无穷原则,他的切线知识来自费马,他使用的小数和变量分别来自印度数学和阿拉伯代数,他用方程表示xy平面上曲线的做法来自笛卡尔的著作,他对无穷的随心所欲的玩法、他的实验精神及他对猜想和归纳的开放态度都来自沃利斯。他把所有这一切混搭在一起,创造出一种新事物---通用的幂级数法,直到今天我们在解决微积分问题时仍会用到它。

还不到25岁的牛顿后来回忆道,“在那些日子里,我处于发明的全盛期,对数学和哲学的关注程度超过此后的任何时间。”
在三一学院之外,牛顿名不见经传,而这正是他想要的,他独自保守着隐秘源泉的秘密。他深居简出,猜疑心重,对批评意见极为敏感,讨厌和他人争论,尤其是那些不了解他的恶人。正如他后来说的那样,他不喜欢被“那些对数学一无所知的人激怒”。
1669年,剑桥大学的首位卢卡斯教授、牛顿的导师之一巴罗主动让贤,力荐牛顿接任...
这对牛顿来说是一份理想的工作,他生平第一次有了稳定的收入来源。这个职位几乎不需要承担教学任务,他没有研究生可带,他给本科生讲授的课程也少有人来。(伟大的科学家没学生?因为要等上半个世纪以上才能有人懂他们吧...)
8
思维的虚构产物
(如果没见过水中的鱼在了解什么是水,那就看看人在研究物理和数学吧。)
莱布尼茨身形瘦削,弓腰驼背,面色苍白,尽管他外表平平,但智力超群。在包括笛卡尔、伽利略、牛顿和巴赫在内的世纪天才中国,他是最全能的一位。(历史上少见的通才,获誉为十七世纪的亚里士多德。)
当莱布尼茨被指控从牛顿那里剽窃了微积分时,他的最随者极力为他辩护,并以同样的人情还击牛顿。
在莱布尼茨的方法中,微分的概念是微积分真正的核心,但导数是次要的,是事后添加的东西。
无穷小量是一种模糊的东西,它应该是你能想到的最小却不为0的东西。更简洁地说,无穷小量小于一切,但又不大于0。
无穷小量和微分的巨大优势在于,它们提供了捷径,使计算变得更加简单。就像早些时候代数对几何学的影响一样,它们解放了人们的头脑,激发出更具创造性的想法。这也是莱布尼茨喜欢微分的原因,他在写给导师惠更斯的信中说,“我的微积分几乎毫不犹豫地把目前关于这个学科的大部发现都给了我。其中最令我喜欢的一点是,它在阿基米德几何方面赋予我们超越古人的优势,就像韦达和笛卡尔在欧几里得或阿波罗尼奥斯几何方面赋予我们的优势一样,是我们无须仅凭想象力去做研究。”
无穷小量唯一的缺陷在于,它们并不存在,至少在实数系中如此。还有一件事:它们是自相矛盾的,即使真的存在,也没有任何意义。莱布尼兹的追随者之一约翰·伯努利意识到,尽管dx不为0,但无穷小量也必须满足像x+dx=x这样无意义的方程。好吧,你不可能拥有一切。一旦我们学会如何利用无穷小量,它们就会给出正确的答案。对我们而言,它们带来的好处可以大大弥补它们可能会造成的精神痛苦。就像毕加索眼中的艺术一样,它们也是能让我们了解真相的“谎言”。
“从哲学的角度讲,我对无穷小量和无穷大量一视同仁。我认为它们都是思维的虚构产物,以适用于微积分的简洁讲述方式。”
求图形面积的运算过程可以简化为:已知一个级数,去求和;或者已知一个级数,去找另一个级数,后者的连续数之差与前者的各项一致。
(P246 要重新整理)
就这样,差与伸缩和引导莱布尼茨创立了微分和积分,并得出了基本定理,正如流数术语扩张的面积引领牛顿到达同一个隐秘的源泉一样。
9
宇宙的逻辑
对我本人而言,来自阿基米德利用无穷开始,就一直是微积分。
在科学领域,它促使人类开始阅读伽利略梦寐以求的自然之书。在技术领域,它发动了工业革命,并开启了信息时代。在哲学和政治领域,它在现代的人权、社会和法律概念上留下印记。
微积分是数学领域的“寒武纪大爆发”,它一旦到来,数学领域的惊人多样化就开始“进化”产生。
在牛顿之后,只存在一个宇宙,同样的规律总是适用于所有地方。
月球的运动是一个非常难的问题,以至于牛顿向他的朋友哈雷抱怨,它“令我头疼,常常让我夜不能寐,我不会再取想它了”。
和在量子力学中一样,自然律在相对论中仍然以微积分的语言写就,并以微分方程的形式表达。对我来说,这是牛顿最伟大的遗产,他证明了自然是合乎逻辑的。自然界中的因果关系和几何学中的证明意义昂,都是利用逻辑推理的方式由一个真理得出另一个真理,只不过前者是世界上的一件事情引发另一件事情,后者则是我们头脑中的一个想法产生另一个想法。
“万物皆数”。对宇宙的运行而言,数很重要,形状也很重要,在伽利略梦寐以求的自然之书中,字词就是几何图形。尽管数和图形可能同等重要,但它们并不是这出戏剧的真正驱动者。在宇宙大戏中,数和形状好像演员,它们被一种看不见的存在---微分方程---默默操控着。
莱布尼兹虽然知道微分方程,但他的理解却不如牛顿那般科学,对数学的精通程度也比不上牛顿。所以,宇宙的神秘逻辑只被赐予了牛顿一人。
惯性定律,是牛顿运动定律F=ma的更深层次的逻辑结论。
在牛顿的宇宙图景中,占支配地位的力是引力,而不是摩擦力。(亚里士多德的世界摩擦力起到支配作用)
发现引力的人不是牛顿,人们早已知道重物会下落。但没人知道引力的作用范围有多大,它的尽头是天空吗?
牛顿预感到引力可能会延伸到月球或更远的地方。他认为月球的运动轨迹时一个永远不停歇地向着地球下落的过程,但与下落的苹果不同,下落的额月球不会掉到地上,因为它同时也在惯性的作用下进行着侧向运动。(?因为惯性而保持着侧向的运动)
“自然拥有数学内核,自然现象可以从引力和运动定律等经验性公理通过逻辑推导得出。”
牛顿假设球形的太阳的所有质量都集中在它的中心,地球也是一样。
换句话说,他可以在不产生任何误差的情况下,用无穷小的点代替巨大的球体。谎言居然揭露了真相!
《隐秘人物》非裔美国数学家凯瑟琳·约翰逊
1817年华兹华斯和济慈等人一致认为牛顿破坏了彩虹的诗意,因为牛顿把彩虹还原为棱镜光谱。他们兴高采烈地举杯庆祝:“为了牛顿的健康和对数学的困惑。”
杰斐逊是建筑师、发明家、农场主、美国的第任总统和《独立宣言》的起草者。牛顿思想的回升贯穿《独立宣言》的始终,它开头的句子“我们认为这些真理不证自明”就表明了这种修辞结构。杰斐逊效仿欧几里得在《几何原本》和牛顿在《原理》中的做法,也从公理着手。然后,凭借逻辑的力量,他从这些公理中推导出一系列不可回避的命题,其中最重要的一个就是殖民地有权脱离英国的统治。
《独立宣言》通过诉诸“自然律和自然之神”来证明美国独立的正当性。杰斐逊的排序中隐含着后牛顿自然神论:神排在自然律之后,仅作为“自然之神”扮演一个配角。

1812年杰斐逊写信给老朋友约翰·亚当斯,讲述了他远离政治的愉悦感:“我不再看报纸,而改为阅读塔西佗、修昔底德、牛顿和欧几里得的著作,我发现自己更快乐了。”

...杰斐逊在一台耕犁上安装了他自己设计的木质犁壁。
@qiusir:这块天花板很高啊:建筑师、发明家、农场主的杰斐逊把对牛顿原理的迷恋逮到了他感兴趣的农业上,他想弄清楚犁壁的最佳形状,请了一位数学家朋友来解决优化问题...在一台耕犁上安装了而自己设计的木质犁壁;起草《独立宣言》效仿欧几里得在《几何原本》和牛顿在《自然哲学的数学原理》中的做法,也从公理着手。然后,凭借逻辑的力量,他从这些公理中推导出一系类不可回避的命题......;1812年杰斐逊写信给老朋友约翰·亚当斯,讲述了他远离政治的愉悦感:“我不再看报纸,而改为阅读塔西佗、修昔底德、牛顿和欧几里得的著作,我发现自己更快乐了。”
10
波、微波炉和脑成像
傅里叶不经意间调用了正弦波的无穷级数。他又一次把无穷这个“石巨人”召唤到微积分中,而且傅里叶的做法比前辈更加不顾一切。
正弦波是理想构建单元。
正弦波合成三角波或者其他任意复杂的曲线。
振幅决定了泛音的响度,小提琴声音的丰富度与它的柔和泛音和响亮泛音的特定组合方式有关。(音色,逆傅里叶变换)
第一批电子合成器的基本工作原理:通过组合大量的正弦波,它们可以再现任何乐器的声音。
对sin(x)求导两次就相当于让他乘以-1
驻波是纯粹的波,而不是混合波。
1787年德国物理学家和乐器制造商克拉德尼图形的动态演示...被叫去当着拿破仑皇帝本人的面展示这些曲线。接受过些许数学和工程学教育的拿破仑对此非常感兴趣,他发起了一场竞赛,鼓励欧洲那些伟大的数学家去尝试解释克拉德尼图形的原理。(皇帝的差异,是天花板的差异。)
热尔曼少时自学了微积分,父母拿走了她的蜡烛,熄灭了她的炉火,还没收了她的睡袍。但热尔曼并未就此放弃,她把自己裹在被子里,点着蜡烛学习数学...又惊又喜的拉格朗日收下了这个女学生。
热尔曼利用家庭关系网,给她在法国军队担任将军的朋友寄去了一封信,请求他保护高斯的安全。
高斯告诉热尔曼,“毫无疑问,你拥有最值得尊崇的勇气、卓越的才智个出类拔萃的天赋。”
经过三次尝试,热尔曼终于赢得了巴黎科学院的大将,并成为有史以来第一位获此殊荣的女性。
将微波炉的振动频率乘以你在实验中测得的波长,应该就可以测得光速...
CT技术发展的关键时刻,音乐再次被证明是不可或缺之物。豪斯费尔德在百代唱片公司任职,签下来自利物浦的披头士乐队之后,EMI 公司的利润增长了一倍...
11
微积分的未来
对我来说,微积分可以由它的信条来定义:在解决关于任意连续体的难题时,先把它切分成无穷多的部分,然后一一求解,最后通过把各个部分的答案组合起来去解决原始的难题。我把这个信条称作无穷原则。(微积分的无穷原则对哲学应该也是有贡献,就如量子力学和相对论...)
微积分是用于研究任何事物---任何模式,任何曲线,任何自然过程、系统或现象---的想法与方法的庞杂集合,这些事物的变化平稳而连续,符合无穷原则。
柯瓦列夫斯卡娅成为历史上第一位获得数学博士学位的女性。1850年莫斯科贵族家庭长大,11岁时发现自己被微积分包围了,卧室的一面墙上贴满了父亲少时记下的微积分课程笔记...在德国私下跟着分析学家卡尔·魏尔斯特拉斯学习。(那位只能坐着上课的身体不好的数学教师...)

非线性能限制人类的狂妄自大。如果一个系统是非线性的,它的行为就不可能用公式来预测,即使该行为是完全正确的。换句话说,决定论并不意味着可预测性。虽然陀螺只是一种小孩子的玩意,但它的运动能让我们在求知时怀有一颗谦逊之心。

CT扫描背后理论的发明者科马克纯粹是出于好奇心,他想知道CT在四维空间中会如何运行。伟大的成果往往来自这种纯粹的冒险精神。
(越发觉得一个人应该拥有费曼所说的社会不负责任感,评价我如何那是别人的事,我的任务是成为我。)
用匈牙利数学家厄尔多斯的话说,这些证明直接来自“那本书”。他想象上帝有一本书,里面收录了所有最好的证明。评价某个证明直接来自“那本书”,是对它的最大褒奖。
结语
在爱因斯坦的理论中,物质告诉时空如何弯曲,曲率则告诉物质该如何移动。它们的共舞使广义相对论变成了非线性理论。
引力波是人类有史以来听过的最微弱的耳语。
致谢
我开始意识到我的年龄正以每年一岁的速度增长,所以这似乎是一个尝试跟所有人分享微积分乐趣的最佳时机。
芝诺悖论在我们家有了新的含义,因为有一段时间这本书似乎就要完成了,但却一直抵达不了终点。

·无穷小[?]

read

·12歲的愛因斯坦是如何獨立證出勾股定理的[?]

On this day..

Comments are closed.