高中部后一楼阶梯教室，新学期育才高中部每周一课及高三复习研讨课~

设计思路：1、电路细节；2、图线类比关联；3、归纳整理；4出题意图；5、知识框架...

高三复习是件很辛苦的事，电学实验算是那块最难啃的骨头，特别选了约瑟夫肯尼迪的这句话，希望同学们能愈挫愈勇，也有人说“强者为逆境而生”嘛。

电学实验有很多侧面，今天我们试着从电阻测量这样的一个最为主要的线索来梳理。（细心的同学会发现qiUsIR里面就有这样的三个重要的物理量)

一些细节：电路联接的开关断，但滑动变阻器一定要调节到最大？（注意分压法）滑片上不能接线，测量结束后，应先断开开关，拆除电池两端的导线，再拆除其他导线...

比例法测量电阻的逻辑很简单，但要注意单刀双掷开关的使用，特别是电压表正负接线柱的问题。

(深蓝色的投影效果不好）蓝色的输出电压范围小，如果最小也超量程，是不能选择的,只能分压法了。电表读数变化突兀的不选。（电阻大的为何变化比较突兀？）选择绿色的那条线体现了所谓的综合实力...

要求待测电路电流或电压从零开始连续调节或数据范围大\当待测电阻Rx远大于滑动变阻器的最大值R0时\若采用限流接法电路中实际电压或电流的最小值仍超过电表量程...
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还在三环上就觉得今天的云挺特别。一回到家果断爬上阁楼~~~

先有烟花后有银河；现有了你，后有了世界。

big bang

宇宙不过是上帝的一场烟花秀

烟花创造了世界，上帝说还要有爱。

人生多彩，父亲只给了三个原色···

那孩子妈妈说黑龙江那嘎达不允许放烟花，BaYuBay阔以~~~

时光暂停，烟花凝固

烟花还在秋天创造了菊花

[?]向海风许愿······

昨天看了《企鹅课》，有句台词印象深刻，Life is for the living，很合我跑鞋上的那句 To Run is to live!何况还是雨天，即便昨天和前天跑了···

以后跑步还是不带手机了，那样跑步不够专心。

是之前没特别留意，也可能是年龄大了对不同颜色的敏感度有变化，今天彩虹的紫色很鲜明。

尽管昨天跑十公里了，看在彩虹的份上，今天五公里吧~~~

JQX/进取芯 席明纳第12期（2025.7.9）

基尔霍夫定律、叠加定律、戴维南定理

JQX|Jin
一、基尔霍夫定律
可以理解为电路中 “节点电流” 和 “回路电压” 的两条规则
电流定律：电路中任何一个节点，流进去的电流总和等于流出来的电流总和。
电压定律：电路中任何一个闭合回路，电源提供的总电压等于回路中所有电阻 “消耗” 的电压之和（电流流过电阻，降电势）。
二、叠加定律
多个电源同时给电路供电时，某段电路的电流（或电压），等于每个电源单独供电时（其他电源短路）在这段电路产生的电流（或电压）加起来的结果（比如两个电池一起工作，效果等于先算第一个电池的电流，再算第二个的，最后相加）。
三、戴维南定理
一个复杂的含电源电路，对外接的用电器来说，可以简化成一个 “等效电池”：这个等效电池的电压等于电路两端不接用电器时的电压（开路电压），内阻等于把电路里所有电源断路（我们高中一般都是恒压电源，如果是恒流源，需要将电源短路）后，两端的等效电阻。
例题分析
例 1：求通过三个电阻的电流

法一：基尔霍夫定律
$I_1 + I_2 = I_3$
$2 - 4I_1 - 2I_3 = 0$
$-4 - 3I_2 - 2I_3 = 0$
解得 $I_1 = \frac{9}{13} \, \text{A}$，$I_2 = -\frac{4}{13} \, \text{A}$，$I_3 = -\frac{5}{13} \, \text{A}$
法二：叠加定律（以计算 $I_1$ 为例）
若将 $4 \, \text{V}$ 电源短路，有：$I_1' = \frac{5}{13} \, \text{A}$
若将 $2 \, \text{V}$ 电源短路，有：$I_1'' = \frac{4}{13} \, \text{A}$
则 $I_1 = I_1' + I_1'' = \frac{9}{13} \, \text{A}$ ，结果一致。

例 2：求通过电阻的电流

法一：基尔霍夫定律
$-3 - 1 \times I_1 - 2 \times I_2 + 2 = 0$
$-2 + 2 \times I_2 - 2 \times I_3 = 0$
$I_1 = I_2 + I_3$

解得 $I_1 = -1$，$I_2 = 0$，$I_3 = -1$
法二：叠加定律
略，将电源短路，但内阻保留。

例 3：分析电路三个电阻的连接关系

法一：电势点法
如黑板图，同一导线电势相等，则每个电阻都是在 1、2 电势之间，为并联关系。
法二：移动负载法（捏点）
把最上方的导线捏成一个点，中间的电阻自然相当于移动到两侧电阻中间与之并联，为并联关系。
法三：基尔霍夫定律
最下层：$\varepsilon - R_1 I_2 = 0$
1、2 回路：$-R_2 I_3 + R_1 I_2 = 0$
2、3 回路：$R_3 I_3 - R_3 I_4 = 0$
推导得 $R_1 I_2 = R_2 I_3 = R_4 I_3$ ，可知为并联关系。

例 4：不平衡电桥的计算

求流过 $R_5$ 的电流大小
法一：基尔霍夫定律
电流关系方程
$I_1 = I_2 + I_5$
$I_4 = I_3 + I_5$
电压关系方程
$I_1 R_1 + I_5 R_5 - I_3 R_3 = 0$
$I_2 R_2 - I_4 R_4 - I_5 R_5 = 0$
$I_1 R_1 + I_2 R_2 - E = 0$
解得流过 $R_5$ 的电流为 $0.5 \, \text{A}$
法二：戴维南定理
我们可以将 $R_5$ 两端断开，把其他所有部分想象成一个等效电源，这样，我们就能把电路简化为电源和 $R_5$ 的串联。
按照戴维南定理，我们将 $R_5$ 断开后，$R_5$ 两端的电压即为等效电源的电动势，计算可得 $E = 5 \, \text{V}$。再将电源短路（保留内阻），剩余的电阻（$R_1$、$R_2$ 串联与 $R_3$、$R_4$ 串联后并联）即为等效电源的内阻，$r = 7 \, \Omega$。
这样，我们可以直接将 $R_5$ 串入这个等效电阻中，求得电流为 $0.5 \, \text{A}$。

拓展例题（2025年高考物理 甘肃卷压轴题）
在自动化装配车间，常采用电磁驱动的机械臂系统，如图，$ab$、$cd$ 为两条足够长的光滑平行金属导轨，间距为 $L$，电阻忽略不计。导轨置于磁感应强度大小为 $B$，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，导轨上有与之垂直并接触良好的金属机械臂 1 和 2，质量均为 $m$，电阻均为 $R$。导轨左侧接有电容为 $C$ 的电容器。初始时刻，机械臂 1 以初速度 $v_0$ 向右运动，机械臂 2 静止，运动过程中两机械臂不发生碰撞。系统达到稳定状态后，电流为零，两机械臂速度相同。

(1) 求初始时刻机械臂 1 的感应电动势大小和感应电流方向；
(2) 系统达到稳定状态前，若机械臂 1 和 2 中的电流分别为 $I_1$ 和 $I_2$，写出两机械臂各自所受安培力的大小；若电容器两端电压为 $U$，写出电容器电荷量的表达式；
(3) 稳系统达到稳定状态后两机械臂的速度。若要两机械臂不相撞，二者在初始时刻的间距至少为多少？
解析：
(1) $E = B L v_0$，感应电流方向沿机械臂 1 向上
(2) $F_1 = B I L$、$F_2 = B I L$，$Q = C U$
(3) 达到稳定 $I_1 = I = 0$ 时，两机械臂的速度相同，产生的感应电动势与电容器的电压相等，回路中没有电流 $I_1 = I_2 = 0$
法一：
可将电容等效为质量为 $\dfrac{B^2 L^2 C}{2}$ 的单杆，三杆动量守恒，
可得两机械臂的速度为 $v = \dfrac{m v_0}{2m + B^2 L^2 C}$，方向向右。
法二：
从开始到最终稳定的过程中，对机械臂 1 和机械臂 2 分别根据动量定理有 $-B \overline{I} L \Delta t = m v - m v_0$，$B \overline{I} L \Delta t = m v$
即 $B L Q_1 = m v_0 - m v$，$B L Q_2 = m v$，$Q_3 = Q_1 + Q_2 = C B L v$
联立解得 $v = \dfrac{m v_0}{2m + B^2 L^2 C}$。
关键是最短距离的求法，最短距离需要知道相对位移。
根据基尔霍夫定律，任意时刻有 $U = B L v_1 - I_1 R = B L v_2 + I_2 R$
即 $B L (v_1 - v_2) = I_2 R + I_1 R$
有 $B L (v_1 - v_2) \Delta t = I_2 R \Delta t + I_1 R \Delta t$
其中 $(v_1 - v_2) \Delta t = x_1 - x_2 = d_{\text{min}}$，$I_1 \Delta t = Q_1$, $I_2 \Delta t = Q_2$
即 $B L d_{\text{min}} = (Q_1 + Q_2) R$
联立解得稳定时的速度和两棒间初始距离的最小值为 $d_{\text{min}} = \dfrac{m v_0 R}{B^2 L^2}$

最后，我们来尝试计算一道有趣的等效电阻题：

如做黑板中下部图片所示，某电路由六根相同的导体组成立方体，电流从0流入。如果从1流出，那么回路电阻为多少？ 如果从2/3流出，等效电阻又分别为多少？