今年是个特殊的年份，往常的杏黄育才园里[?]，地面是成堆的绿叶···每天早上散步也改道操场那看杨树落叶的投影，像是以前发现梯子模型里暗含的奇妙曲线的体验···

JQX/进取芯 席明纳第17期（2025.10.23）

人船模型的拓展应用

JQX|Jin
一、小物块在光滑半圆形轨道上运动
半圆光滑槽质量为 $M$，半径为 $R$，置于光滑水平地面上。一个质量为 $m$ 的小滑块在槽内左上角由静止释放。求：
(1) $m$ 滑到最低点时的速度；
(2) $m$ 滑到最低点时所受支持力的大小；
(3) $m$ 对地的运动轨迹在最低点的曲率半径；
(4) $m$ 对地的轨迹方程；
参考解析
(1)根据动量守恒：$m v_1 = M v_2$。机械能守恒：$m g R = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} M v_2^2$
联立解得：$v_1 = \sqrt{\frac{2 M g R}{M + m}}, \quad v_2 = \frac{m}{M} \sqrt{\frac{2 M g R}{M + m}}$
(2)以槽为参考系，最低点时沿半径方向受支持力和重力：$F_{N} - mg = m\frac{(v_{1} + v_{2})^{2}}{R}$
(3)当研究轨迹为一般曲线时，利用曲率半径的概念：$F_{N} - mg = m\frac{v^{2}}{\rho} \quad (\rho < R)$
(4)以半圆轨道圆心为坐标原点建立直角坐标系，设小物块的横坐标为 $x$，半圆轨道向左发生的位移为 $\Delta x$，此时圆的方程为 $(x + \Delta x)^2 + y^2 = R^2$。
由系统水平方向动量守恒：$M \Delta x = m(R + x)$，得 $\Delta x = \frac{m(R + x)}{M}$。
将 $\Delta x$ 代入移动后的圆方程得：$\left(x + \frac{m(R + x)}{M}\right)^2 + y^2 = R^2$，为椭圆。
二、小物块在光滑斜面上运动
将质量为 $m$ 的小滑块沿倾角为 $\theta$ 的光滑三角形斜面静止释放，整个装置置于光滑水平地面上，求滑块落地时间。
为了解决这个问题，需要明确运动为匀变速直线运动（方法三可证明）。
方法一：
思路：根据人船模型，我们可以明确物体运动的初末位置，得到运动的位移。再求出物体运动的末速度，结合运动学公式求出时间。
根据人船模型：$x_1 = \frac{M}{M + m} \cdot L \cdot \cos\theta$
下落高度：$h = L \cdot \sin\theta$
几何关系：$x^{2}=x_{1}^{2}+h^{2}$
系统机械能守恒：$mgh = \frac{1}{2}mV_1^2 + \frac{1}{2}MV_2^2$
水平方向动量守恒：$m \cdot V_1 \cos\alpha = M \cdot V_2$
速度方向与位移方向关系：$\cos\alpha = \frac{x_1}{x}$
匀变速直线运动平均速度公式：$\frac{V_1 + 0}{2} \cdot t = x$
解得：$t = L \cdot \sqrt{\frac{M^2 \cos^2\theta + (M+m)^2 \sin^2\theta}{2 g (M+m) \sin\theta}}$
方法二：
思路：得到运动的位移后，可以明确加速度的方向为位移方向，由矢量合成求出加速度大小，结合运动学公式求出时间。
根据上一个方法的 $x_1$ 和 $h$，我们可以求出实际轨迹的倾角 $\alpha$，
根据加速度方向与轨迹方向一致和牛二的矢量三角形（见黑板中部左侧），可得：$\frac{ma}{\sin\theta} = \frac{mg}{\sin\left( \frac{\pi}{2} + \alpha - \theta \right)}$
再根据 $x=\frac{1}{2}at^{2}$ 可求出时间。
方法三（K2304吴尚达）：
思路：以斜面为参考系，滑块运动即为匀加速直线运动，引入惯性力列方程组求解。
对斜面，水平方向（换系引入惯性力 $Ma$ 后平衡）列式：$Ma = N \cdot \sin\theta$
对物块，垂直斜面方向（换系引入惯性力 $Ma$，垂直斜面方向平衡）列式：$N + ma \cdot \sin\theta = mg \cos\theta$
联立方程，可解得：$N = \dfrac{Mmg \cos\theta}{M + m \sin^2\theta}$ $a = \dfrac{mg \sin\theta \cos\theta}{M + m \sin^2\theta}$
可见 $N$ 于 $a$ 都是定值，可证运动是匀加速直线运动。
再结合斜面的对地位移，可求时间。
三、光滑圆柱在双斜面上运动（K2304吴尚达）
吴同学在分析斜面问题后，由提出了带有速度关联关系的双斜面问题，并提出了两种解法：

四、小物块在斜面、抛物线轨道的轨迹方程
与求半圆轨道模型类似，当小物块移动 $\Delta x$ 时，轨道会相应移动 $\Delta x \cdot m/M$ 的位移，也就意味着，小物块在原有轨道的轨迹被进行了压缩。
所以，直线轨道压缩后，轨迹方程为斜率更大的直线，抛物线轨迹被压缩后，轨迹方程依然为抛物线，而圆形轨道轨迹方程被压缩后为椭圆。
而且，这个求解的方法，只需要水平方向动量守恒，对初速度、轨道内部是否粗糙都没有要求，也就是说轨迹方程都不变。

【下期预告】
初探变分法，运用变分法重新审视最速降线问题，并证明摆线的等时性。

《普通力》 松浦弥太郎著
过好恒常如新的每一天
前言
我在二十岁的时候，还一点没有活出自我。（苏东坡四十岁才活出自我）拼了命让自己看上去和别人不一样。
丢掉一直以来从他人处寻求答案的意识，先问问自己会怎么想，自己会怎么做，怎样才能让自己每一天都心情愉快地工作、生活与人相处。
当自己认为这样很酷的时候，就顺从本心地照做吧。
“创造始于模仿。”米开朗基罗
请一定要发现自我，简而言之，就是要知道真实的自己究竟是个怎样的人。再去思考从现在开始应该如何修饰这个我。
一、衣 成就自我的衣橱
标准、传统和优质，成为我选择穿着的标准。
仍能不紧不慢地继续做着同样的东西，品牌的精神实在令人折服。这其中也包含着信念，更重要的是，对自己制作的物品充满了爱。
布克兄弟的衬衫
同样颜色的衬衫准备5件，感觉就能满足未来十年左右的衬衫需求了。
我每天穿的衬衫从不熨烫。（这点我也是，麻烦，也不想太刻板。）
不要在衬衣里再穿内衣。（这点我似乎做不到，就像冬天不穿衬裤那样。）
二十来岁就算戴劳力士，也不会被认为是正品。
鞋子是衣服和时尚的中心。穿一双好鞋会给人带来自信。
当雨点打在以可靠技术结成的上等丝绸伞面上时，那声音如同小太鼓的鼓点一般，实在让人激动不已。（Swaibee Adeney Brigg的伞好贵啊。）
听着美妙的雨声行走，连雨天都会悠忽间明亮。
爱尔兰漂白纯亚麻或西岛棉的手帕，我有20条左右。
只不过也没有淘便宜货这种心态罢了。（花了较久才逐渐摆脱淘便宜货的心态，但它时不时会再找回来···）

我更喜欢在自己的能力范围内挑选好的东西，然后爱惜地使用。（关于跑鞋，有同感。）

二、食和住 让每天的生活丰富多彩
淡化了自己与对方的界限，从亲密感中得到快乐，但这不完全是一件好事。
人与人之间，不仅有爱，尊重也是十分重要的。
每个人都有“不想让别人跨过的界限”。
自己讨厌的事情绝不让对方去做。自己的事情自己做。（如果对方擅长，也不讨厌，另一方在自己擅长的方面给予补偿呢）

让别人幸福的方法，首先是让自己幸福。

“为了家庭我要忍耐”这样的吸纳沙发，被一些人当做一种美学挂在嘴上。然而“牺牲一个人幸福所有人”这样的事没无论是对于家庭还是对于社会，都是不可能的事。（但如此的所谓传统的道德，经常绑架被称之为善良伟大的愚昧之人。）
家中的每一件家具或者小摆设都像宠物一样，是家庭的一员。
将机器制造的没有感情的东西一点点从生活中剔除，会更加惜物，更加怜悯，也会更加慎重地购物。如此一来，家会变得更加温暖。
谨守个人的领域，开启属于自己的一天，这样不好吗？
物品是一起生活的伙伴，所以抱着多么谨慎的态度去挑选都不过分吧。
香薰机
威斯汀大酒店 天梦之床 泰普尔
最近逐渐不用浴巾了。（同感）

三、工作 工作中的规则和礼法
关系的构造，需要的是日积月累。（但很多关系，似乎日积月累后，负面情绪增加呢）
（那谁，在家里开油烟机炭烤串，结果同楼的不少人家里厨房也是烟，有老人睡觉呢被呛醒了，还以为家里着火了呢。）
公司的桌子，也要装扮得和自己的房间一样舒适，我认为这是缺乏社会性，非常幼稚的表现。
从扔垃圾的这一点就可以看出工作中交流能力的高低。能顾虑垃圾去向的人，是更愿意触动想象力的人，第六感发达，更可能是个细心周到的人。
文具，一旦以“越便宜越好”为标准，整个工作都会飘着穷酸气。
我想最好的礼物是花。
建立一个“不互相交换礼物”的规定，这样大家都没有负担，交往会更加轻松。
不要说“打算”。
（拼了命地活着，才是活着。）
一点点尝试解开缠绕思维的细线。
活出自己不是一件简单的事。

人都有脆弱的时候，活出自己不死一件简单的事。就算不是每天，但感到疲惫、感到混乱、感到不知所措的日子真的很多。每当这时，回到与己而言的工作是什么、生活是什么这个问题的答案上来，就能找回自我了。就像在大海上游泳，疲惫之时能否找到那个让自己身体休息的浮板一样。
以后也会有迷茫、烦恼。仿佛在暗中前行的时刻。每当那时，我相信自我的基石，就如小小的灯火会照亮脚下的路。
（轻松细腻的描述）（很快、很轻松读完的书，但余音未止，强音反而共振样的加强了，三年不绝呢···）

JQX/进取芯 席明纳第16期（2025.10.16）

从费马原理到最速降线

JQX|Xiao

1.伯努利与最速降线
在 17 世纪，约翰·伯努利（Johann Bernoulli）在思考最速降线问题时，受到了光学中“费马最短时间原理”的启发。费马指出：光线在传播时，总是选择一条能使它从出发点到达目标点所需时间最短的路径。
通过这一原理可推导出斯涅尔定律。当光从一种介质进入另一种介质时，传播速度发生变化，光线发生折射，而其入射角和折射角满足：$\frac{\sin\theta_1}{v_1} = \frac{\sin\theta_2}{v_2} = \text{C}$
其中$v_1,v_2$ 分别是光在两种介质中的速度。伯努利的关键思想是把物体下滑的路径与光的传播类比。伯努利设想：把空间分成由折射率不同的介质组成的一层层的结构。若把粒子在重力场中下滑的路径比作光线在不同介质中的传播，那么下滑路径的不同高度就好比不同折射率的层。物体下落的速度$v$ 取决于高度$y$，由能量守恒有$v \propto \sqrt{y}$，由于光总是沿着时间最短的路径传播，所以如果粒子的运动路径与光相同，那么它的轨迹就是最速降线。根据斯涅尔定律：$\frac{v}{\sin\theta} = \text{C}$，带入机械能守恒方程，于是得到最速降线的微分关系：$\frac{\sin\theta}{\sqrt{y}} = k$。

2.摆线方程证明

按照伯努利的说法，他一眼就看出这是摆线的方程。下面引用马克·莱维的方法对这个公式进行证明。设想一个在天花板上滚动的轮子，轮缘上的一点 P 描绘出一条倒置的摆线。轮与天花板的接触点 C 是这一瞬间的瞬时旋转中心。此时，点 P 的运动相当于以 C 为支点的圆周运动。 圆的切线与半径垂直 ，摆线在 P 点的切线垂直于 PC。 PC 与圆的直径构成直角三角形，斜边是圆的直径。通过相似三角形关系，可以得到：$y = (\text{D}) \cdot \sin^2\theta$于是立刻有：$\frac{\sin\theta}{\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{\text{D}}} = \text{C}$这正是伯努利得到最速降线方程的关键条件。因此，摆线满足$\sin\theta/\sqrt{y}$为常数的性质。几何与物理在此奇妙地契合——摆线的几何构造，正体现了自然界中“时间最短”的运动规律。

3. 最速降线圆心速度分析
摆线是由于轮子滚动时轮子上的一点形成的，那么当轮子如何滚动时，滚出的摆线轨迹与小球沿最速降线下滑时刚好吻合，或者说小球沿最速降线下滑时，对应的圆的圆心速度大小是多少？
物体在摆线上的运动可以看成由两部分组成，分别是是圆心的平动速度和相对于圆心的转动速度。如图中所示，其中平动速度水平向右，转动速度沿圆周运动的切线方向。由几何关系可知：$2v_0\sin\theta = \sqrt{2gy}.$根据摆线方程：$y = D \sin^2\theta = 2R \sin^2\theta$.以及机械能守恒：$v = \sqrt{2gy}$.可以得到$v_0 = \sqrt{gR}$，其中$v_0$ 与g、R均为常数。这说明最快下落的路径对应轮子上一点匀速转动过的轨迹。

下期预告：静止在光滑地面的光滑半圆形轨道、抛物线轨道、斜面，当有小球滑下，小球的运动轨迹是什么样的？斜面模型下，下滑的时间能否求解？下节课，金师带你探索这类问题的求解方法，敬请期待！

往常都是早饭后绕围墙边的石板路散步，晚秋的时节，阳光好的话会去后操场散步，除了看人造草坪上冰晶的闪亮，主要是看水泥路上杨树落叶的投影，千姿百态，像是上古灭绝的物种通过如此方式的再现。
（过于专注拍这些影子，也是戴着耳机，被体育C老师吓一跳...）


天气好，那杯咖啡去国际部小操场那散步，拍拍更热烈的秋叶。