很多年前听过这样一个故事：说大陆的一位访问学者一次去一所美国中学听课，数学课上老师问$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$等于多少？学生答$\frac{2}{5}$，一堂课下了也都没有异议...下课后访问学者耐心教上课老师正确的方法...几个月后访问学者恰好又听到那位老师的课，课堂上还是有学生说$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{5}$，下课后访问学者就问上课的老师，“我不是告诉过你这样计算不对吗？”老师很无奈，“我知道，可是大家都喜欢这样计算。”

这原本是“专家”用来讽刺美国课堂上所谓的民主，也反衬我们“领先国际”的基础教育...但换个角度看，难道分数的加法一定要通分吗？我就听过这样的范例，“说一场比赛中，姚明上半场罚球两罚一中（$\frac{1}{2}$），下半场罚球三罚一中（$\frac{1}{3}$），整场就是五罚两中（$\frac{2}{5}$）。”你看这不就是$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{1+1}{2+3}=\frac{2}{5}$吗，看来人家老美课堂是按照NBA的算法。

数学上分数加法的规则是分母相同的，分母不变分子相加，分母不同的要先通分母后再相加。而由$\frac{B}{A}+\frac{C}{A}=\frac{B+C}{A}$的形式，我们想能不能有$\frac{B}{A}+\frac{B}{C}=\frac{B}{A+C}$的等式，或是$\frac{B}{A}+\frac{D}{C}=\frac{B+D}{A+C}$的运算规则呢？（就如罚篮的例子）

或者是否可以给出更一般形式的分数运算规则：

1、$\frac{B_{1}}{A}+\frac{B_{2}}{A}+\frac{B_{3}}{A}+\cdots=\frac{\Sigma{B_{i}}}{A}$

2、$\frac{B}{A_{1}}+\frac{B}{A_{2}}+\frac{B}{A_{3}}+\cdots=\frac{B}{\Sigma{A_{i}}}$

3、$\frac{B_{1}}{A_{1}}+\frac{B_{2}}{A_{2}}+\frac{B_{3}}{A_{3}}+\cdots=\frac{\Sigma{B_{i}}}{\Sigma{A_{i}}}$

就如矢量的运算满足平行四边形法则一样，其实有一些物理量的计算就可以按照上面的泛加法规则进行，我戏称之为分数加法的自然法则。比如物理中串并联电路等效电阻的计算，题目尽管相对容易，而计算的速度和准确程度往往并不理想。这里按照上面的思路给出另外的一种视角，或许可以解决这样的困惑。

电阻的串联，满足规则1。
由电阻的定义式$R=\rho\frac{L}{S}$，假定串联的两个电阻材料(电阻率$\rho$相同，横截面积S相同，电阻的区别仅仅反映在程度L上。$\rho\frac{L_{1}}{S}+\rho\frac{L_{2}}{S}=\rho\frac{L_{1}+L_{2}}{S}$，所以有$R_{1}+R_{2}=R$。更一般的情况是，$R=\rho\frac{\Sigma{L_{i}}}{S}=\rho\frac{L_{1}}{S}+\rho\frac{L_{2}}{S}+\rho\frac{L_{3}}{S}+\cdots=\Sigma{R_{i}}$。而对于n个相同的电阻串联，等效电阻$R_{s}=nR_{0}$，这也可以理解为有限的电阻值是由无限的无限小电阻串联累加的，就如1是由2个1/2、3个1/3、4个1/4...n个1/n串联的。

串联电路等效电阻的计算相对容易，比如$\frac{1}{2}\Omega$与$\frac{1}{2}\Omega$串联，$\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{1+5}{2}=3\Omega$，也可以考虑成$\frac{1}{2}+5\times\frac{1}{2}=6\times\frac{1}{2}=3\Omega$。就是通常的的分数加法运算。

电阻并联的运算，满足规则2。
由电阻定义公式$\frac{1}{R}=\frac{S}{\rho{L}}$，假定并联的两个电阻材料(电阻率$\rho$相同，长度L相同)电阻的区别仅仅反映在横截面积S相同。$\frac{S_{1}}{\rho{L}}+\frac{S_{2}}{\rho{L}}=\frac{S_{1}+S_{2}}{\rho{L}}$。所以有$\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}=\frac{1}{R}$。更一般的情况是，$\frac{1}{R}=\frac{S_{1}}{\rho{L}}+\frac{S_{2}}{\rho{L}}+\frac{S_{3}}{\rho{L}}+\cdots=\frac{\Sigma{S_{i}}}{\rho{L}}=\Sigma{\frac{1}{R_{i}}}$。

而对于n个相同的电阻并联，等效电阻$R_{p}=\frac{1}{n}R_{0}$，这样有限的电阻可以看成是无限多个无限大并联而成。比如1是有2个2、3个3...n个n并联。

比如计算$\frac{1}{2}\Omega$与$\frac{1}{3}\Omega$并联等效电阻，方法为$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{1}{5}\Omega$。再如3和6两个电阻并联，$\frac{6}{2}+\frac{6}{1}=\frac{6}{2+1}=2\Omega$（并联中3相当于2个6）。由此我们可以给出这样的电阻并联公式$\frac{R}{n}+\frac{R}{m}=\frac{R}{n+m}$；$\frac{R}{n_{1}}+\frac{R}{n_{2}}+\frac{R}{n_{3}}+\cdots=\frac{R}{\Sigma{n_{i}}}$

在串联电路中6等于2个3，3与6串联是（2+1）个3为9；而并联电路中，3相当于2个6，3与3并联，（1+2）个6并联为2。也就是说电阻串联需要分母通分，电阻并联需要的是分子通分。电路中1是由无穷多个无穷小电阻串联，1也是由无穷多个无穷大电阻并联。一个1包含无穷多个无穷小，可以看成无穷多个无穷大...很哲学呀。

对于规则2，不仅电阻的并联，等额定电压电器串联后总电功率的运算和加热时间的运算等都满足。比如（220V，120W）的灯与(220V,60W)的灯串联在220V的电路中，总功率的计算就满足$\frac{120}{1}+\frac{120}{2}=\frac{120}{3}=40W$，再如某热水器单独烧水一壶水的时间为30分钟，另一热水器单独烧开同一壶水的时间为15分钟，并联两热水器后共同烧水的时间计算可以按照$\frac{30}{1}+\frac{30}{2}=\frac{30}{3}=10$分钟。具体的可以参考以前的一篇电功率计算的一种方法。

那什么物理量的运算会满足规则3呢？想来平均速度的运算和平均密度的运算就满足。

$\overline{V}=\frac{X}{t}=\frac{\Sigma{X_{i}}}{\Sigma{t_{i}}}$

$\frac{X_{1}}{t_{1}}+\frac{X_{2}}{t_{2}}=\frac{X_{1}+{X_{2}}}{t_{1}+t_{2}}$；$\frac{X_{1}}{t_{1}}+\frac{X_{2}}{t_{2}}+\frac{X_{3}}{t_{3}}+\cdots=\frac{\Sigma{X_{i}}}{\Sigma{t_{i}}}$

$\overline{\rho}=\frac{M}{V}=\frac{\Sigma{M_{i}}}{\Sigma{V_{i}}}$

$\frac{M_{1}}{V_{1}}+\frac{M_{2}}{V_{2}}=\frac{M_{1}+{M_{2}}}{V_{1}+V_{2}}$；$\frac{M_{1}}{V_{1}}+\frac{M_{2}}{V_{2}}+\frac{M_{3}}{V_{3}}+\cdots=\frac{\Sigma{M_{i}}}{\Sigma{V_{i}}}$

以上的方法耐心体会联系，如果使用恰当可以大大提高计算的速度，不过等式仅仅是物理结果上的等，考试的计算过程课不要直接用呀。

再广袤的大地，砌起了墙、架设了网就会显得拥挤；再狭小的土地，只要天空是开放的，心就会有无限延展的宽广。都一百多年了，香港依然还是那块飞鸟的落脚石。（?）

和鸟儿的巢相比，猪舍就显得太铺张，不过再大猪舍也是被墙分隔的，再狭小的鸟巢也是对天空开放的...忽然在想，时下房价的飞涨想来是有另外的原因，天上有网，鸟也没了选择...于是广阔却拥挤的大地上，只见翻墙的猪，不见了飞翔的鸟。

晚上值班，闲来无事就亲自动手解析了一下曹哥选的题目，其中一道大题涉及到功能关系以及动量守恒定律的，特别需要理解碰撞的细节，物理图景相对复杂...

如下图所示，质量M=3.5kg的小车静止在光滑水平面上，一边靠近桌子，小车上表面与水平桌面相平，小车长L=1.2m，小车左端放有一质量为0.5kg的滑块Q。水平放置的轻质弹簧左端固定，质量为1kg的小物块P置于桌面上的A点并与弹簧的右端接触，此时弹簧处于原长。现用水平向左的推力将P缓慢推至B点（弹簧仍在弹性限度内），推力做功为$W_{F}=6J$，撤去推力后，P沿桌面滑到小车上并与Q相碰，最后Q停在小车的右端，P停在距小车左端0.5m处（S表示）。已知AB间距$L_{1}=5cm$，A点离桌子边沿C点距离$L_{2}=90cm$，P与桌面间动摩擦因数$\mu_{1}=0.4$，P、Q与小车表面间动摩擦因数$\mu_{2}=0.1$。（$g=10m/s^2$）求：
1）P到达C点时的速度$V_{c}$？
2）P与Q碰撞后瞬间Q的速度大小？

初步分析，长度的单位有的是厘米，有的是米，计算中注意用国际单位制；木块与桌面和木块与小车的摩擦系数不同...
过程分析，压缩弹簧过程中，克服弹力做功，而整个过程摩擦力都做负功...
细节分析，物块P先与滑块Q发生碰撞（弹性还是非弹性碰撞？）；中间状态三者匀变速...
具体解析：
1）以物块P为研究对象，在A→B→A→C的整个过程应用动能定理，得：
$W_{F}-\mu_{1}L_{1}-\mu_{1}(L_{1}+L_{2})=\frac{1}{2}m{V_{c}}^2$
$\therefore V_{c}=2m/s$
2）设P、Q碰后速度分别为$V_{1}$、$V_{2}$，小车最后速度为$V$，由动量守恒定律得：
$m_{1}V_{c}=m_{1}V_{1}+m_{2}V_{2}$
$m_{1}V_{c}=(m_{1}+m_{2}+M)V$
再由能量守恒得
$\frac{1}{2}m_{1}{V_{1}}^2+\frac{1}{2}m_{2}{V_{2}}^2-\frac{1}{2}(m_{1}+m_{2}+M)V^2=\mu_{2}m_{1}gS+\mu_{2}m_{2}gL$
联立解得$V_{2}=2m/s$，$V_{2}'=\frac{2}{3}m/s$
验正，当$V_{2}'=\frac{2}{3}m/s$，$V_{}=\frac{5}{3}m/s$比前面的Q速度还大，舍去。
$\therefore V_{2}=2m/s$

本来觉得很不错的综合题目，虽计算过程多少辛苦些，但结果还是很漂亮...不过大博同学最先发现问题，没想到他竟然要用运动学求解...起初我并没有怀疑题目本身，反倒武断他计算失误了...不过他态度异常坚决...

这些年来还是第一次值班后回家算题的...的确是题目出现了不自洽的错误。通过S=0.5m的相对距离就可以算出数据来，不过就不满足L=1.2m啦:(很是崩溃，怎么给出这样的数据了呢？想来是给出了相对多余的条件，只要机械能损失的和为定值（1.1）就可以...尹同学也做足了功课，早上上班，他还给出了能自洽的数据，改变两个参数的数值：S=0.35，L=1.5m。$\heartsuit$

所以上面的题目最好更改为：
如下图所示，质量M=3.5kg的小车静止在光滑水平面上，一边靠近桌子，小车上表面与水平桌面相平，小车长L=1.5m，小车左端放有一质量为0.5kg的滑块Q。水平放置的轻质弹簧左端固定，质量为1kg的小物块P置于桌面上的A点并与弹簧的右端接触，此时弹簧处于原长。现用水平向左的推力将P缓慢推至B点（弹簧仍在弹性限度内），推力做功为$W_{F}=6J$，撤去推力后，P沿桌面滑到小车上并与Q相碰，最后Q停在小车的右端，P停在距小车左端0.35m处（S表示）。已知AB间距$L_{1}=5cm$，A点离桌子边沿C点距离$L_{2}=90cm$，P与桌面间动摩擦因数$\mu_{1}=0.4$，P、Q与小车表面间动摩擦因数$\mu_{2}=0.1$。（$g=10m/s^2$）求：
1）P到达C点时的速度$V_{c}$？
2）P与Q碰撞后瞬间Q的速度大小？

有时间也有兴趣的话，可以从运动学角度推演一下，最好是通过V-t图核实一遍数据，上图qiusir给出更改参数后对应的一组数值。也真难为孩子了，等天气好些了，带上大博和尹同学，还有以及我的课代表，出去犒劳一下。

时下（或一直以来）的物理教育早已摒弃了实验的基础，除了像是哲学的思辨外，更多时候成了应用数学的推演了。当然知识并无界限，所谓不同科目或许真的是为了将就人类的智商，但问题是长此以往，我们最多也只看到多面体的一面。嗯，现实就是一面的:)

中学物理的习题中经常出现一些极值讨论的问题，其中涉及到一些数学上的方法，比如点到直线的距离最短、二次函数求极值的方法、因式分解、三角函数和圆的几何性质等等，这些范例很能体现数学的工具性，除了拓展学生思维，也有利于数理的融合...

一、二次方程的判别式
选取适当的物理量，通过等式变换出现二次项，再利用判别式$\Delta=b^2-4ac\geq0$作为有解的条件来求解。

二、二次函数的配方法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$
若a<0，则y有极大值，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y_{max}=\frac{4ac-b^2}{4a}$；
若a>0，则y有极小值，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y_{min}=\frac{4ac-b^2}{4a}$

题如匀加速与匀速运动的追击问题。
汽车在路口以$3m/s^2$ 的加速度开始行驶，此时恰有一辆自行车以6$m/s$的速度匀速驶超过汽车。汽车从路口开动后，在追上自行车之前过多长时间两车相距最远？（2s，6m）

三、利用不等式
1.$A+B\geq2\sqrt{AB}$：对正数A和B，若AB为常数，当A=B时，A和B的和有最小值。
2.$AB\leq(\frac{A+B}{2})^2$：对正数A和B，若A+B为常数，当A=B时，A和B的和有最大值。
类似还有$A+B+C\geq3\sqrt[3]{ABC}$

题如水平释放悬挂小球重力最大功率位置求解。
一轻绳一端固定，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平后无初速度的释放，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？
（$cos\theta=\frac{\sqrt3}{3}$，$\theta$为线与竖直方向的夹角。）
此题目也可以研究竖直方向的受力情况，
当$a_{y}=0$时竖直方向的速度（$V_{y}=Vcos\theta$）最大，则$P_{G}=MgVcos\theta$取最大值。

四、三角函数
简单一点的比如$y=Asin\alpha\cdot{cos\alpha}=$$\frac{1}{2}Asin2\alpha$，当$\alpha=\frac{\pi}{2}$取极值。
如在底边定长光滑斜面下滑时间极值求解。
如斜面底边恒定为d，当斜面与底边所成夹角θ为多大时，物体沿此光滑斜面由静止从顶端滑到底端所用时间最短? （$\theta=\frac{\pi}{4}$，$t_{min}=\surd{\frac{4d}{g}}$）

对y关于$\alpha$的函数，$y=asin\alpha+bcos\alpha$，令$sin\beta=\frac{b}{\surd{a^2+b^2}}$，$cos\beta=\frac{a}{\surd{a^2+b^2}}$
则有$y=\sqrt{a^2+b^2}sin(\alpha+\beta)\leq\sqrt{a^2+b^2}$，当$\alpha=arcsin\frac{a}{\surd{a^2+b^2}}$时取等。

题如物体放置在水平地面上，与地面之间的动摩擦因数为μ，物体重为G，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F为多大？
（$tan\theta=\frac{1}{\mu}$，$F_{min}=\frac{\mu}{\surd{1+\mu^2}}G$）

五、矢量三角形
某一分力$F_{1}$大小和方向定值，合力F的方向固定，则另外一分力有最小值，$F_2\geq{F_1sin\alpha}$
题如上面粗糙水平面匀速运动物体所收外力的极值问题求解也可以借鉴此法。

六、求导求极值问题
比如对二次函数$y=ax^2+bx+c$，$y'=2ax+b=0$，$x=-\frac{b}{2a}$时函数取极值。
如等量同种电荷中垂线上场强极大位置的求解。
对所得到得函数关于$sin\theta$求导可得，当$\theta=arcsin\frac{\sqrt{3}}{3}$时取极大值，$\theta$为电荷与P点连线与水平方向的夹角。）
...
每一部分推荐的题目可以根据描述，自己画图推算，然后对照答案。$\heartsuit$
PS.常用数学符号的LaTeX表示方法

所谓有“理想”的教育者大可以区分为视“理想教育”为个人理想的和践行“现实教育”实现个人理想的，这是“理想的教育”与“教育的理想”的不同。

时下，理想教育的践行者更像是三九天穿裙子，或许是种行为艺术，不过未必美了别人，受冻的却一定是自己；时下，那些固守着传统的，更如草木已换绿装，自己非要裹着那厚厚棉服的，汗流浃背也不舍得脱下一件...时下已是初春，适当增减衣服吧。

偶然看到这样一句话，“一个人要超越他的环境及出身，进步是不够的，非要进化不可，那样大业，岂能人人做到。[?]”这让我联想到本杰明.富兰克林的[?]“有三样东西是及其坚硬的，钢铁、钻石及认识自己。”（There are three things extremely hard: steel, a diamond, and to know one's self. Benjamin Franklin）现在觉得应该补充一句，它们坚硬的程度是递增的，而硬度的极限应该是“改变自己”。这也是传统教育的悖论。