十 27
JQX/进取芯 席明纳第16期（2025.10.16）
从费马原理到最速降线
JQX|Xiao
1.伯努利与最速降线
在 17 世纪，约翰·伯努利（Johann Bernoulli）在思考最速降线问题时，受到了光学中“费马最短时间原理”的启发。费马指出：光线在传播时，总是选择一条能使它从出发点到达目标点所需时间最短的路径。
通过这一原理可推导出斯涅尔定律。当光从一种介质进入另一种介质时，传播速度发生变化，光线发生折射，而其入射角和折射角满足：
其中
分别是光在两种介质中的速度。伯努利的关键思想是把物体下滑的路径与光的传播类比。伯努利设想：把空间分成由折射率不同的介质组成的一层层的结构。若把粒子在重力场中下滑的路径比作光线在不同介质中的传播，那么下滑路径的不同高度就好比不同折射率的层。物体下落的速度
取决于高度
，由能量守恒有
，由于光总是沿着时间最短的路径传播，所以如果粒子的运动路径与光相同，那么它的轨迹就是最速降线。根据斯涅尔定律：
，带入机械能守恒方程，于是得到最速降线的微分关系：
。
2.摆线方程证明
按照伯努利的说法，他一眼就看出这是摆线的方程。下面引用马克·莱维的方法对这个公式进行证明。设想一个在天花板上滚动的轮子，轮缘上的一点 P 描绘出一条倒置的摆线。轮与天花板的接触点 C 是这一瞬间的瞬时旋转中心。此时，点 P 的运动相当于以 C 为支点的圆周运动。 圆的切线与半径垂直 ，摆线在 P 点的切线垂直于 PC。 PC 与圆的直径构成直角三角形，斜边是圆的直径。通过相似三角形关系，可以得到：
于是立刻有：
这正是伯努利得到最速降线方程的关键条件。因此，摆线满足
为常数的性质。几何与物理在此奇妙地契合——摆线的几何构造，正体现了自然界中“时间最短”的运动规律。
3. 最速降线圆心速度分析
摆线是由于轮子滚动时轮子上的一点形成的，那么当轮子如何滚动时，滚出的摆线轨迹与小球沿最速降线下滑时刚好吻合，或者说小球沿最速降线下滑时，对应的圆的圆心速度大小是多少？
物体在摆线上的运动可以看成由两部分组成，分别是是圆心的平动速度和相对于圆心的转动速度。如图中所示，其中平动速度水平向右，转动速度沿圆周运动的切线方向。由几何关系可知：
根据摆线方程：
.以及机械能守恒：
.可以得到
，其中
与g、R均为常数。这说明最快下落的路径对应轮子上一点匀速转动过的轨迹。
下期预告：静止在光滑地面的光滑半圆形轨道、抛物线轨道、斜面，当有小球滑下，小球的运动轨迹是什么样的？斜面模型下，下滑的时间能否求解？下节课，金师带你探索这类问题的求解方法，敬请期待！
十 22
《理性的功能》怀特海 The Function of Reason Whitehead
中译者序
1929年怀特海在普林斯顿大学的三次演讲，他的打鼎之作《过程与实在》也是同年问世。
过程哲学认为，构成宇宙的基本单位不是不变的粒子，而是永远处于动态的“事件”(eveent)或“事态”(occasion)，怀特海称其为“实际实有”。(actual entity)
实际实有的生成为“创造性”所驱动。“创造性”就是活下去，活得好，活得更好的那种冲动。实际实有是双极的，既有物质极，又有精神极，而且，精神极是有矢量特征的，它引导“创造性”的方向。
“观念之史，便是错误之史。”理性知道我们生活之道的过程，是一场冒险。
根据过程哲学，世界在微观和宏观上都是无穷尽的，我们认识到的世界极其有限，我们所总结的任何规律都不能穷尽一切现象，它们只是统计学意义上的真理，并不存在“调节一切行为的、固定而永恒的规律。”
“具体性误置谬误”，把抽象视为具体，用抽象代替具体。大千世界，纷纭万象，岂是几条规律管得住的？
“纠缠如毒蛇，执着如怨鬼。”
我们对所谓物质世界的最直接的知觉，并非我们对外在事物的感官感知，而是我们点击来自我们身体的诸多感受的接受。
“在使用语言的过程中，存在着一种双重的符号指称---说者以物指词，听着则逆而已词指物。”
一
我们不能指望，依靠一个准确的术语便可以将我们的主题说透彻。
理性的功能，就是提升生活之道。我们必须反对“适者生存”这一术语暗示的进化论的谬误。这一谬误不在于相信适者生存、不适者淘汰，事实就在我们眼前，显而易见。这一谬误就在于相信适于生存就等于生活之道的最佳表现。
生命本身就是相对缺乏生存价值的。持续存在之道就是去死。只有无机物才能持续长久。一块岩石可以持续存在8亿年，一棵树可活1000年，而一个人或一头象只能活50-100年，昆虫却只能活大约一年。进化论学说提出的问题是，如何解释如此缺乏生存能力的复杂生物的进化过程。它们之所以出现，肯定不是因为在生存竞争中优于周围的岩石。用生物间的生存竞争来解释物种起源是可行的，但这一竞争却一点也不能解释，何以出现这样一种常见的生存力微弱的复杂物种。
动物也逐渐地让环境适应自己。甚至动物更寻常的行为都是改变环境的活动。
高级的生命形式忙于改变它们的环境。就人类而言，这一对环境的主动改造，是他生存中最显著的事实。
（大概因为这句话的震撼，放下手手头的工作，重新整理这本书前半部分的笔记。）
理性的功能就是对生活之道的提升。理性的基本功能就是对改造环境这一行为进行指导。
人类的一些主要灾难，真实由于具有一套好方法的人头脑偏狭而产生的。
在固守自己成见时，科学家与神职人员的做法并无二致。
当任何一套生活的方法穷尽了它范围内的新颖性，难以为继而产生疲劳时，一个最终的决定就会决定一个物种的命运。
当物种决绝冒险，便会退回到业已被证明仅仅是为了活下去的生活习惯中。好活沦为苟活。
疲劳与理性是相对的，疲劳的作用挫败了理性那追求上升趋势的原始特点。
理性的冲动一旦遭到了这种惯性的阻碍，便会化为疲劳。当这一受到阻碍的冲动最终消失，生命，就其表面的作用而言，还维持在它原来的阶段···这一静态生活的阶段从未真正达于稳定。它表现为一种缓慢而长期的衰败，机体的形式由负载逐渐沦为简单。（人生如骑着自行车···）
如果我们考察自然宇宙，静静地活下去，伴之以缓慢的衰退，似乎才是一般规律。（熵增）理性则体现为冲动，它要把简单地活下去转变为活得好，把活得好转变为活得更好。
每一个经验事态都是两极的额，是精神经验与物质经验的结合。
精神经验的最低形式就是一种盲目的冲动，追求某种形式来实现自己。
精神就是追求某种空虚明确性的冲动，就是欲把该明确性包括在非空虚享受的事实中的那种冲动。
精神并不是空虚的，但它却把形式的纯粹空虚性带入经验的实现过程中。
精神经验是产生新颖性的器官，是超越的冲动，它着意要用吸引人的新颖性，将大量重复性的物理事实化为生动。
最低形式的精神经验，被引导为奴性的循规蹈矩。
当精神在高层次上发挥作用时，它便将新颖带入精神经验的欲望中。这样的作用中便含有纯粹的反秩序的成分。但此刻的精神已能自我调节，它以自己的判断来引导自己的行动。它引入了一种更高级的欲望，这种欲望能在它自己的反秩序行为中进行区分，于是理性出现了。
理性将饭秩序的欲望文明化，没有反秩序的欲望，自然注定要逐渐坠入虚无。单纯重复性经验会逐渐消除一个一个的成分，归于空虚。
二
理性以非功利的好奇心追求对世界的理解。
理性的唯一满足是：经验呗理解了。它对生活怀抱着理想，力图以理解之美好来早就生活之美好。只要理解不完全，它便在那种程度上维持着不满足，它雨丝便有了将生活有美好变为更美好的冲动。但它所追求的进步总是朝向更好理解的进步，这便是那种无功利的好奇心的冲动。
诚实，作为一个人自尊中的成分，就出自对理性本身的一种尊崇。
直到150年前，思辨理性对技术和艺术的影响都是微乎其微的，现代时期，艺术没有任何进步，在有些方面甚至衰退了。在过去150年里，技术取得了巨大的进步，这是因为思辨的理性和实践的理论终于联系起来了。
辉煌时代的曙光仍然被人性中顽固的蒙昧主义遮蔽，蒙昧主义根深蒂固，已有数百万年之久。
科学家们，“凭实力登上高位，意气洋洋。”
苏格拉底把生视为病，把死视为病愈。
对一个文明的理解，就是对它的界限的理解。
三
亚洲文明经辉煌发展后，进入相对的停滞期。这是由于它穷尽了它思想的资本，即那一好奇心的产物。亚洲没有庞大的抽象思想体系在人的头脑中保持着勃勃生机，随时准备把意义赋予人的偶然经验。它仍处于沉思中，思想坠入了静态。这一对抽象思想的单纯沉思，窒息了产生新颖的那种不循规蹈矩的好奇心。
抽象思辨，即创建体系且又超越体系的思辨，敢于达到抽象之极致的思辨，一直是世界的救星。为思辨设置限制，就是对未来的背叛。
我们可活下去，可活得好，但我们感到了向上的冲动：我们仍希望活得更好。
所追求的目标并非是稳定而是进步。我一直在强调，并不存在真正的稳定。表面上的稳定，其实是换一个相对缓慢的萎缩腐败过程。稳定的宇宙正在从我们脚下溜走。我们的目标是向上的。
天然中存在着某种向上的趋势，与物理衰变的那一方面方向相反。灼热的沙漠，人有渴望水的欲望，而物理的趋势却是：动物的身体越来越干燥。欲望通过对美的欣赏而达到的审美满足的那一欲望，同样不属于单纯的物理秩序。
我们认识到了那一反向的趋势，它把一个秩序的衰败转化为它的继任者的重生。
