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JQX/进取芯 席明纳第15期（2025.9.17）

斜抛运动的最远距离

JQX|Jin
一、平抛结论的斜抛延伸
平抛有两个二级结论：
1. 某点速度的反向延长线过水平位移中点
提示：通过速度角、位移角正切值关系证明。
2. 某点位移的延长线过竖直分速度的中点（如黑板图1）
- 法一：通过三角形相似，结合速度角、位移角正切值关系证明。
- 法二：qiusir 提出了一个平均速度法（帅）。平均速度的定义是$\vec{v} = \frac{\vec{x}}{t}$，这是一个矢量式，也告诉我们位移的方向与平均速度的方向相同。竖直方向上，平均速度为$\frac{gt}{2}$，所以在这个方向上过竖直位移中点。
那么，在斜抛运动中，这两个条件是否成立？
成立，但有一个前提：我们要将斜抛运动沿初速度方向和竖直方向斜交分解。此时运动变为沿初速度方向的匀速直线运动和自由落体运动，在这个分解方法下，两个二级结论依然成立，证明方法与平抛运动相同。
二、向地面斜抛的最远距离
当离地高度$h$一定，以某一大小确定的速度抛出小球，求角度为多少时射程最远，射程为多少？
最基本的方法是假设角度，列出射程与角度的函数解析式，求极值。
这里讲解一个三角形面积法：
- 射程的表达式：$x = v_0 t \cos\theta$
- 落点速度矢量三角形的面积：$s = v_0 \cos\theta \cdot gt$
- 由上两式可得：$s = gx$
因此，矢量三角形面积最大时，射程最大。
根据动能定理，小球落地时末速度大小确定（因初速度大小为定值），则**末速度与初速度垂直时**，速度三角形面积最大，射程也最大。
确定方向后，可根据初末速度大小求出矢量三角形面积，进而求最大射程。
三、从斜面上斜抛的最远距离
以某一大小确定的速度从斜面上某点抛出小球，求角度为多少时射程（落到斜面上）最远，射程为多少？
- 法一：解析式法
解析式法依然可解，但计算难度较大。
- 法二：三角形面积法与关键结论
三角形面积法可用，依然满足$s = gx$（$x$为射程的水平位移），但需讨论：本题末速度大小不确定，射程最大时，是否依然为初末速度方向垂直呢？
我的证明思路（较复杂）：
对于速度三角形，沿位移方向连接$AB$，根据结论（前文平抛延伸的二级结论），$B$为$CD$中点，则$\triangle ABC$的面积为$\triangle ACD$的一半。又因$AC$大小确定、$\angle ABC$角度大小确定，根据几何关系（用圆周角证明），当$AB = BC$时面积最大，射程也最大（如图中所有“×”角相等）。
由此可得到结论：**当入射方向为竖直与斜面的角分线方向时，射程最大**。
同理，图中两个“·”角也相同，则$\angle CAD$为直角。
肖老师和qiusir的巧妙观点：
假想某一落点为射程最远点，该点与出发点的高度差为某一定值（因假想点确定），则该落点对应的速度应满足“向地面斜抛最远距离”的结论（末速度与初速度垂直）。
斜面上任意一个落点，都有与之对应的高度$h$下斜抛最远的速度角度关系（但该角度不一定是唯一解，因其他$h$对应的角度也可能落到该点）；当$h$最大时，有且仅有一组解，此即为射程最大点，故末速度与初速度必垂直。
有了角度关系后，再根据位移几何关系（利用斜交分解）可求得最远射程，计算难度不大(见图片）。

后记1：包络线法
为准备本节课内容，我最初研究了“基本运算”和“三角形面积”两种方法，已觉完善；但后续qiusir发给我俊豪β同学的抛体运动题目，其中一题核心内容与我讲授的相同（默契十足），且俊豪要求用三种方法求解，这促使我进一步研究，得出第三种方法——包络线法。
包络线的定义：指与给定曲线族中的每一条曲线至少在某一点相切，且在该点附近与曲线族中相邻曲线保持密切接触的曲线，可理解为“一簇曲线中最外侧点的连线”。

斜抛运动的包络线表达式：对于初速度大小恒定、方向任意的斜抛运动，包络线的表达式为

$$y = -\frac{g}{2 v_{0}^{2}} x^{2} + \frac{v_{0}^{2}}{2 g}$$

该表达式可通过“求所有确定$x$对应的$y$的最大值（以$\tan\theta$为变量）”推导得出（推导过程不难，请自行查阅资料）。
利用包络线法求斜抛最远距离：求解包络线与斜面的交点，该交点对应的射程即为最大射程。

后记2：张耘铭原创题目
课后，K2304班张耘铭同学原创了一道有趣的题目：
从某一平面斜抛一个带电小球，已知速度大小和方向，环境中存在一匀强电场（大小、方向可变，即小球运动的加速度未知，但为匀变速运动）。
(1) 试求其返回该平面时的最小速度。
(2) 若已知加速度大小为$a$，速度与平面夹角为30度，求返回平面最小速度时的位移。
方法不唯一，请思考吧！

【下期预告】
硬核证明两点之间直线最短——变分法在高中物理中的简单应用

学校运动会，原本是要去跑山的，主要还是盼着取晨西送的新生茶，一早就来办公室了。除了修订一下Qiutorun的标识等，也顺便也整理一下昨天拍的几张照片。


前日秋分，离新年还有100天。

@qiusir:一早收到CX同学北京寄来的大学新生茶，礼物精致到不舍得打开包装。据说是在信概课上被唤起了“沉寂许久的物理神经”让他想起了我这个小老师，鼓励说上次对物理有热情还是在我的课上呢。当然，人家主要是说我到了喝茶的年纪，也是让我少喝可乐。有求全之毁方显不虞之誉的运气~~~祝好！
@qiusir:家里的茶很多，但这个要特别在书房拍照存念:)

JQX/进取芯 席明纳第14期（2025.9.11）


向量的点乘、叉乘及向量的起源
K2304 蔡智远
一、向量还是矢量?
向量与矢量之争源自“vector”一词引进时的不同翻译，不过二者其实无本质差别，皆意为“有方向的量”，在港台等地的教材中，已将二者统一为“向量”，依 qiusir的看法，我们实则也应统一为“向量”，所以下文我将统一使用“向量”。不过物理研究中，出于实用的角度，有些向量并不能在空间中随意平移，如特定某个作用点上的力，那么这也算是物理和数学中向量的小有区别。

二、从物理实用角度推导向量点乘的公式
向量的点乘，得到的结果一般称作数量积或者内积，在物理学中应用十分广泛，最典型的便是力、位移与做功的关系。那么我们为什么要将数量积的公式定义为 $|\mathbf{AB}| |\mathbf{AC}| \cos \angle (\mathbf{AB}, \mathbf{AC})$，或者放到坐标系里的 $x_1 x_2 + y_1 y_2$ 呢，那么接下来我将以力和位移以及做功的关系来简单推导一下：
首先我们要明确这一公式要满足哪些条件，或者说想要推导出这个公式，要从哪些“公理”开始。现在假如我们有一个力 $\mathbf{F}$，在其作用下，物块儿分别走过了 $\mathbf{x}_1$，$\mathbf{x}_2$ 两段位移，那么这个力在两段位移上分别做的功一定等于这个力在总的位移上做的功，即 $\langle \mathbf{F}, \mathbf{x}_1 \rangle + \langle \mathbf{F}, \mathbf{x}_2 \rangle = \langle \mathbf{F}, \mathbf{x} \rangle$ 同理，如果物块走过 $\mathbf{x}$ 的位移，同时有两个力 $\mathbf{F}_1$，$\mathbf{F}_2$ 作用于它，那么这两个力分别的做功之和，一定等于这两个力和力所做的功，即 $\langle \mathbf{F}_1, \mathbf{x} \rangle + \langle \mathbf{F}_2, \mathbf{x} \rangle = \langle \mathbf{F}, \mathbf{x} \rangle$

由此我们可以推出这个公式的第一个性质，及计算结果对于两个向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 都是线性的，从某种角度来说，就是这个运算要遵循“分配律”，同样的两个向量中的任意一个扩大一定的倍数，最终的结果也一定扩大同样的倍数。
其次，假如物块现在受到一个力 $\mathbf{F}$，走了一定的位移 $\mathbf{x}$，那么只要力与位移的夹角固定，那么不论其在空间中的绝对位置，或者方向是什么样的，那么最后做功的量都是一样的

由此我们可以得出第二条性质，这一运算的结果仅与向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 的相对位置有关，与绝对位置无关，这样我们可以同样推出这一运算符合类似“交换律”的规律。由此我们可以来进行推导一下这一公式的必然形式：
现在我们假设平面直角坐标系中有两个向量，那么按照我们的运算法则，可以进行如下的化简

将两个向量正交分解，并通过性质一进行一下分配，可以拆出4个式子：

把系数提出，括号里保留单位向量，可以得到如上的式子。此时根据性质二，我们还可以推出互相垂直的两组单位向量，进行数乘运算之后结果必然为零，推导过程如下：

假设我们现在有互相垂直的两个向量，将其中一个反向处理（等同于乘上系数-1），那么由性质一可知，最终结果会变成原结果的相反数，而由性质二可知，这两次运算向量的相对位置不变，也就是结果相同，那么一个数的相反数等于它本身，这个数必然为零。
那么所以原先的计算式子只剩下了同向的两组单位向量进行运算的那两项，也就是 $x_1 x_2 \langle \rightarrow, \rightarrow \rangle + y_1 y_2 \langle \uparrow, \uparrow \rangle$，如果我们规定相同单位向量之间的运算为一，那么就能得到最后的结果，及两个向量的数量积为 $x_1 x_2 + y_1 y_2$

三、关于叉乘的应用
向量的叉乘，是在19世纪由吉布斯定义的，其定义为 $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ 的结果为一个向量，大小 $= |\mathbf{u}| |\mathbf{v}| \sin \angle (\mathbf{u}, \mathbf{v})$，其方向为，将右手的四指向 $\mathbf{u}$ 的方向，并向 $\mathbf{v}$ 旋转四只手指，此时大拇指的方向即为运算方向，或者在右手系中，食指指向 $\mathbf{u}$ 的方向，中指指向 $\mathbf{v}$ 的方向，此时大拇指的方向也为运算方向。或者在右手系中，食指指向 $\mathbf{u}$ 的方向，中指指向 $\mathbf{v}$ 的方向，此时大拇指的方向也为运算方向由此我们可以将高中阶段电磁学中，使用到的几个公式写成标准的叉乘形式：

以上4个公式便是最常用到的，分别对应左手定则，右手定则和右手螺旋定则，其真实形式便是含有叉乘的公式。这里着重说一下洛伦兹力的公式，因为我们在计算带电物体在磁场与电场中的运动时经常使用到配速法，其本质便是叉乘的运算符合乘法的分配律。

即通过上图中的运算，使水平方向一个非运动产生的洛伦兹力时刻与重力相等，让另外一个水平方向的速度做匀速圆周运动，再将两种运动叠加起来，进行我们所需的运算。同样的，假如我们有某一个力，其大小，与速度的关系不是线性的，那么配速法就不再适用，具体推导如下：

这时如果进行速度的分解，则会出现一个消不掉的中间项，会使最后配出来的运动额外多出来一个无法合成的运动，也就是配速法会在这种情况下失效，这一点只有在了解到叉乘具体的运算公式法则才能明晰，否则的话容易超范围误用配速法。叉乘的本质上是一种简化的运算，麦克斯韦在推导电磁定律的时候，最初的原始公式一共有几十条，后来由吉布斯等人利用叉乘工具简化，才有了现在的4条公式。
同时理查德费曼曾经说过，我们所在的世界有叉乘“这是一个十分幸运的奇迹”，因为只有在三维空间，七维空间，十五维空间，这一类 $(2^n - 1)$ 维空间中才有叉乘，其余的空间中都是没有叉乘的，而诸如七维空间和十五维空间中的叉乘，其运算法则极为繁琐，所以我们有幸生在了三维空间，才有了如此简洁的运算工具。

四、哈密顿与四元数
最后的这一块，我想讲一下，向量真正的起源以及点乘和叉乘的真正由来。首先我们先要讲到一个概念，就是复数即 $a + b i$ 这种，由一个实部和一个虚部组合起来的数，就是复数也是叫二元数。复数天生就与向量有着极强的关联，因为由复数定义出的负平面中，可以表示任意的平面向量，并可以借由此研究平面中的旋转和运动等等。
后来有一位数学家叫做哈密顿，被称为是英国迟来了一百年的牛顿继承人，他构想，既然二元数可以描述平面中的旋转，那么三元数可不可以描述立体空间中的旋转等等，于是他便开始构想三元数，即 $a + b i + c j$，由一个实部和两个虚部组成，其中 $i$ 和 $j$ 的平方都等于-1，但 $i \neq j$。然而三元数体系是有很大的问题的，也就是 $i$ 乘以 $j$ 无法计算，无论是等于-1还是其他的数值都不合理（这只是简单的解释，实际上还涉及到数集是否是封闭等问题）哈密顿也因此觉得三元数去描述立体空间是做不到的，他又思考了很久这个问题，终于想到在三元数的基础上再加一个虚部，构成四元数，并且符合以下的运算法则：

于是便有了四元数 $a + b i + c j + d k$，同时，哈密顿在研究立体空间时令实部等于零（在后来的研究中，实部也被用来描述时间轴了），剩下的纯虚四元数，每一个虚部都是平权的，正好可以对应空间中的 $x, y, z$ 三个坐标轴，于是哈密顿便将实部命名为了 scalar，即标量，三个虚部合在一起命名为了 vector，即向量，这才是向量真正的起源。
也就是说我们可以将一个向量描述为 $a_1 i + a_2 j + a_3 k$，$i, j, k$ 分别对应在空间坐标系中的坐标，这时候我们去研究这样一个纯虚四元数的乘法，可以得到如下的结果：

按照四元数的运算法则，我们发现结果的实部的相反数正好就是两个向量的内积，虚构正好就是叉乘所对应的结果，而这才是向量点乘与叉乘的真正由来。而之所以在三维，七维，十五维等空间中才有叉乘，也正是因为只有四元数体系，八元数体系和十六元数之类的体系是稳定的，能够构建出来的，那么我们所生活的世界有如此精妙的运算法则，又何尝不是一种幸运呢？

JQX|Jin

【下期预告】

斜抛运动的最远距离，是高中物理抛体模型的经典难题。除了正交分解，还有更巧妙的解法吗？下一期，金师将聚焦斜交分解法，从平抛运动的二级结论出发，推导并梳理斜抛最远距离的多种求法。敬请期待！