JQX/进取芯 席明纳第18期（2025.10.30）

摆线的等时性与变分法

JQX|Xiao
一：摆线的等时性
摆线在弧长方向满足简谐振动，因此与弹簧振子相同，震动周期与振幅无关，因此满足等时性。下面从能量的角度证明沿摆线下落的物体满足简谐振动。摆线方程为：$x=R(\theta-\sin\theta),\qquad y=R(1-\cos\theta)$,把最低点作为势能零点：最低点对应$\theta=\pi$。
记从最低点到轨道上一点P的弧长为$s\ge 0$，向上为正；P的高度为$h\ge 0$。
1) 弧长微分
$x'(\theta)=\frac{dx}{d\theta}=R(1-\cos\theta),\; y'(\theta)=\frac{dy}{d\theta}=R\sin\theta,\; ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{(x')^2+(y')^2}\,d\theta=2R\sin\frac{\theta}{2}\,d\theta.$
因此从 $\theta=\pi$ 到任意 $\theta$ 的弧长为
$s(\theta)=\int_{\pi}^{\theta}2R\sin\frac{\varphi}{2}\,d\varphi=4R\cos\frac{\theta}{2}.$
2) 从最低点计的高度
$h(\theta)=y(\theta)-y(\pi)=R(1-\cos\theta)-2R=2R\cos^2\frac{\theta}{2}.$
3) $h$ 与 $s$ 的关系
由 $s=4R\cos\frac{\theta}{2}$ 得 $\cos\frac{\theta}{2}=\frac{s}{4R}$，代入上式：
$h=\frac{s^{2}}{8R}.$
4) 能量方程
设质点质量为 m，切向速度 $v=\dot s$。能量守恒：$E=\frac12 m v^2 + m g h =\frac12 m \dot s^{\,2} + m g\frac{s^2}{8R} =\frac12 m \dot s^{\,2}+\frac12\,k' s^2,$。其中$k'=\frac{m g}{4R}$
这恰是一维简谐振动的能量形式，角频率$\omega=\sqrt{\frac{k'}{m}}=\sqrt{\frac{g}{4R}}.$。利用简谐振动周期公式$T=\frac{2\pi}{\omega}=4\pi\sqrt{\frac{R}{g}},\qquad t=\frac{T}{4}=\pi\sqrt{\frac{R}{g}}.$
周期与起点高度无关，所以摆线满足等时性。
二：变分法
牛顿只用了一晚就解决了约翰·伯努利对于最速降线的挑战的故事一直为人津津乐道，当时共有五个人给出了最速降线的解决办法。除了约翰·伯努利的巧妙办法外，他的哥哥雅各布·伯努利更是开启了变分法的开端，几十年后欧拉和拉格朗日把这个方法系统化为变分法，并提出欧拉-拉格朗日方程。下面用E-L方程来证明最速降线为摆线。
1、时间泛函
最速降线问题为一个小球在重力作用下从高处滑向低处，其运动轨迹曲线为 $y = y(x)$。根据能量守恒定律，小球在任意位置的速度为 $v = \sqrt{2gy}$。设微元弧长为 $dl = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{1 + y'^2}\,dx$，则走过这段微小弧长所用的时间元为 $dt = \frac{dl}{v} = \frac{\sqrt{1 + y'^2}}{\sqrt{2gy}}\, dx$。因此，小球滑完全程的总时间可以表示为一个积分泛函 $T = \int_{x_1}^{x_2} \frac{\sqrt{1 + y'^2}}{\sqrt{2gy}}\, dx$，我们要求解的就是能使 T 最小的曲线 $y(x)$。
2、求解E-L方程
为了求出极值曲线 $y(x)$，我们引入一个在边界点为零的微小扰动函数 $\eta(x)$，并构造一条扰动后的曲线 $\bar{y}(x) = y(x) + \varepsilon \eta(x)$。其中 $\varepsilon$ 为微小常数，且边界条件满足 $\eta(x_1) = \eta(x_2) = 0$，以保证扰动不改变曲线的端点位置。
原时间泛函可以写为 $T[y] = \int_{x_1}^{x_2} F(x, y, y')\, dx$，其中被积函数为 $F(x, y, y') = \frac{\sqrt{1 + y'^2}}{\sqrt{2gy}}$。将扰动后的曲线 $\bar{y} = y + \varepsilon \eta$ 及其导数 $\bar{y}' = y' + \varepsilon \eta'$ 代入，泛函就变成了关于 $\varepsilon$ 的函数 $T(\varepsilon) = \int_{x_1}^{x_2} F(x, y + \varepsilon\eta, y' + \varepsilon\eta')\, dx$。
为了求得泛函的极值，我们需要其对 $\varepsilon$ 的一阶变分为零，即 $\frac{dT}{d\varepsilon}\Big|_{\varepsilon=0} = 0$。首先计算导数：$\frac{dT}{d\varepsilon} = \int_{x_1}^{x_2} \left( \frac{\partial F}{\partial y}\eta + \frac{\partial F}{\partial y'}\eta' \right) dx$。当 $\varepsilon = 0$ 时，此式依然成立。
我们对积分的第二项使用分部积分法（$\int u\,dv=uv-\int v\,du$）。令 $u=\frac{\partial F}{\partial y'}$ 且 $dv=\eta'\,dx$，则可得到 $v=\eta$ 和 $du=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)dx$。于是，积分项变为 $\int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial F}{\partial y'}\,\eta'\,dx =\left[\frac{\partial F}{\partial y'}\,\eta\right]_{x_1}^{x_2} -\int_{x_1}^{x_2}\eta\,\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)dx$。
由于边界处的扰动为零，即 $\eta(x_1)=\eta(x_2)=0$，所以 $\left[\frac{\partial F}{\partial y'}\,\eta\right]_{x_1}^{x_2}$ 这一项为零。最终我们得到 $\frac{dT}{d\varepsilon}\Big|_{\varepsilon=0} = \int_{x_1}^{x_2}\!\left( \frac{\partial F}{\partial y} -\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right) \right)\eta\,dx=0$。
根据变分法基本引理，因为 $\eta(x)$ 是任意的微小扰动，要使上式恒成立，必须其括号内的部分为零。这样，我们就得到了著名的欧拉-拉格朗日方程：$\frac{\partial F}{\partial y} -\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)=0$。
3、Beltrami恒等式及其应用
在某些特殊情况下，欧拉-拉格朗斯方程可以被简化。一个重要的情形是当被积函数 $F(x, y, y')$ 不显式地依赖于 $x$ 时（即 $\frac{\partial F}{\partial x} = 0$），存在一个被称为**贝尔特拉米恒等式 (Beltrami Identity)** 的一阶积分：$F - y' \frac{\partial F}{\partial y'} = C$，其中 C 是一个常数。这个恒等式可以大大简化求解过程。
现在，我们把这个强大的工具应用到最速降线问题上。回顾我们的时间泛函被积函数 $L = \frac{\sqrt{1 + y'^2}}{\sqrt{2gy}}$，它显然不显式地含有变量 $x$，因此完全满足使用贝尔特拉米恒等式的条件。
我们首先计算 $L$ 对 $y'$ 的偏导数：$\frac{\partial L}{\partial y'} =\frac{1}{\sqrt{2g}}\frac{y'}{\sqrt{y}\sqrt{1+y'^2}}$。然后将 $L$ 和 $\frac{\partial L}{\partial y'}$ 代入恒等式 $L-y'\,\frac{\partial L}{\partial y'}=C$。经过化简，我们得到一个非常简洁的关系式：$\frac{1}{\sqrt{2g}}\frac{1}{\sqrt{y}\sqrt{1+y'^2}}=C$。
4、求解方程，证明曲线为摆线
为了求解上面这个关于 $y$ 和 $y'$ 的微分方程，我们首先将所有常数合并为一个新的常数 $k$，得到 $\frac{1}{\sqrt{y}\sqrt{1+y'^2}}=k$。整理后可解出 $y'$ 的表达式：$y'^2=\frac{1-k^2y}{k^2y}$。
为了对该方程积分，我们采用一个技巧，求解 $x$ 关于 $y$ 的导数 $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y'}=\sqrt{\frac{k^2 y}{1-k^2 y}}$。这个形式的积分可以通过参数代换来解决。我们引入参数 $\theta$，并令 $y=\frac{1}{k^2}\sin^2\!\frac{\theta}{2}$，它等价于 $y=\frac{1-\cos\theta}{2k^2}$。
进行代换后，表达式被简化为：$\frac{dx}{dy}=\sqrt{\frac{(1-\cos\theta)/2}{(1+\cos\theta)/2}} =\tan\frac{\theta}{2}$。同时，我们可以求出 $dy=\frac{1}{2k^2}\sin\theta\,d\theta$，因此 $dx=\tan\frac{\theta}{2}\,dy = \frac{1}{k^2}\sin^2\!\frac{\theta}{2}\,d\theta$。对 $dx$ 积分可得 $x=\frac{1}{2k^2}\int (1-\cos\theta)\,d\theta =\frac{1}{2k^2}\bigl(\theta-\sin\theta\bigr)+C_x$，其中 $C_x$ 是积分常数。
最后，我们整理一下结果。令常数半径 $R=\frac{1}{2k^2}$，并将积分常数合并为起点坐标 $(x_0, y_0)$，我们便得到了该曲线的最终参数方程：
$\begin{aligned} x(\theta) &= R\bigl(\theta-\sin\theta\bigr) \\ y(\theta) &= R\bigl(1-\cos\theta\bigr) \end{aligned}$
这正是摆线（Cycloid）的标准参数方程。至此，我们证明了最速降线确实是一条摆线。

下期预告：邀请上一期提供巧思的K2304班吴尚达同学，带来一些做功问题的新思考

今年是个特殊的年份，往常的杏黄育才园里[?]，地面是成堆的绿叶···每天早上散步也改道操场那看杨树落叶的投影，像是以前发现梯子模型里暗含的奇妙曲线的体验···

JQX/进取芯 席明纳第17期（2025.10.23）

人船模型的拓展应用

JQX|Jin
一、小物块在光滑半圆形轨道上运动
半圆光滑槽质量为 $M$，半径为 $R$，置于光滑水平地面上。一个质量为 $m$ 的小滑块在槽内左上角由静止释放。求：
(1) $m$ 滑到最低点时的速度；
(2) $m$ 滑到最低点时所受支持力的大小；
(3) $m$ 对地的运动轨迹在最低点的曲率半径；
(4) $m$ 对地的轨迹方程；
参考解析
(1)根据动量守恒：$m v_1 = M v_2$。机械能守恒：$m g R = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} M v_2^2$
联立解得：$v_1 = \sqrt{\frac{2 M g R}{M + m}}, \quad v_2 = \frac{m}{M} \sqrt{\frac{2 M g R}{M + m}}$
(2)以槽为参考系，最低点时沿半径方向受支持力和重力：$F_{N} - mg = m\frac{(v_{1} + v_{2})^{2}}{R}$
(3)当研究轨迹为一般曲线时，利用曲率半径的概念：$F_{N} - mg = m\frac{v^{2}}{\rho} \quad (\rho < R)$
(4)以半圆轨道圆心为坐标原点建立直角坐标系，设小物块的横坐标为 $x$，半圆轨道向左发生的位移为 $\Delta x$，此时圆的方程为 $(x + \Delta x)^2 + y^2 = R^2$。
由系统水平方向动量守恒：$M \Delta x = m(R + x)$，得 $\Delta x = \frac{m(R + x)}{M}$。
将 $\Delta x$ 代入移动后的圆方程得：$\left(x + \frac{m(R + x)}{M}\right)^2 + y^2 = R^2$，为椭圆。
二、小物块在光滑斜面上运动
将质量为 $m$ 的小滑块沿倾角为 $\theta$ 的光滑三角形斜面静止释放，整个装置置于光滑水平地面上，求滑块落地时间。
为了解决这个问题，需要明确运动为匀变速直线运动（方法三可证明）。
方法一：
思路：根据人船模型，我们可以明确物体运动的初末位置，得到运动的位移。再求出物体运动的末速度，结合运动学公式求出时间。
根据人船模型：$x_1 = \frac{M}{M + m} \cdot L \cdot \cos\theta$
下落高度：$h = L \cdot \sin\theta$
几何关系：$x^{2}=x_{1}^{2}+h^{2}$
系统机械能守恒：$mgh = \frac{1}{2}mV_1^2 + \frac{1}{2}MV_2^2$
水平方向动量守恒：$m \cdot V_1 \cos\alpha = M \cdot V_2$
速度方向与位移方向关系：$\cos\alpha = \frac{x_1}{x}$
匀变速直线运动平均速度公式：$\frac{V_1 + 0}{2} \cdot t = x$
解得：$t = L \cdot \sqrt{\frac{M^2 \cos^2\theta + (M+m)^2 \sin^2\theta}{2 g (M+m) \sin\theta}}$
方法二：
思路：得到运动的位移后，可以明确加速度的方向为位移方向，由矢量合成求出加速度大小，结合运动学公式求出时间。
根据上一个方法的 $x_1$ 和 $h$，我们可以求出实际轨迹的倾角 $\alpha$，
根据加速度方向与轨迹方向一致和牛二的矢量三角形（见黑板中部左侧），可得：$\frac{ma}{\sin\theta} = \frac{mg}{\sin\left( \frac{\pi}{2} + \alpha - \theta \right)}$
再根据 $x=\frac{1}{2}at^{2}$ 可求出时间。
方法三（K2304吴尚达）：
思路：以斜面为参考系，滑块运动即为匀加速直线运动，引入惯性力列方程组求解。
对斜面，水平方向（换系引入惯性力 $Ma$ 后平衡）列式：$Ma = N \cdot \sin\theta$
对物块，垂直斜面方向（换系引入惯性力 $Ma$，垂直斜面方向平衡）列式：$N + ma \cdot \sin\theta = mg \cos\theta$
联立方程，可解得：$N = \dfrac{Mmg \cos\theta}{M + m \sin^2\theta}$ $a = \dfrac{mg \sin\theta \cos\theta}{M + m \sin^2\theta}$
可见 $N$ 于 $a$ 都是定值，可证运动是匀加速直线运动。
再结合斜面的对地位移，可求时间。
三、光滑圆柱在双斜面上运动（K2304吴尚达）
吴同学在分析斜面问题后，由提出了带有速度关联关系的双斜面问题，并提出了两种解法：

四、小物块在斜面、抛物线轨道的轨迹方程
与求半圆轨道模型类似，当小物块移动 $\Delta x$ 时，轨道会相应移动 $\Delta x \cdot m/M$ 的位移，也就意味着，小物块在原有轨道的轨迹被进行了压缩。
所以，直线轨道压缩后，轨迹方程为斜率更大的直线，抛物线轨迹被压缩后，轨迹方程依然为抛物线，而圆形轨道轨迹方程被压缩后为椭圆。
而且，这个求解的方法，只需要水平方向动量守恒，对初速度、轨道内部是否粗糙都没有要求，也就是说轨迹方程都不变。

【下期预告】
初探变分法，运用变分法重新审视最速降线问题，并证明摆线的等时性。

《普通力》 松浦弥太郎著
过好恒常如新的每一天
前言
我在二十岁的时候，还一点没有活出自我。（苏东坡四十岁才活出自我）拼了命让自己看上去和别人不一样。
丢掉一直以来从他人处寻求答案的意识，先问问自己会怎么想，自己会怎么做，怎样才能让自己每一天都心情愉快地工作、生活与人相处。
当自己认为这样很酷的时候，就顺从本心地照做吧。
“创造始于模仿。”米开朗基罗
请一定要发现自我，简而言之，就是要知道真实的自己究竟是个怎样的人。再去思考从现在开始应该如何修饰这个我。
一、衣 成就自我的衣橱
标准、传统和优质，成为我选择穿着的标准。
仍能不紧不慢地继续做着同样的东西，品牌的精神实在令人折服。这其中也包含着信念，更重要的是，对自己制作的物品充满了爱。
布克兄弟的衬衫
同样颜色的衬衫准备5件，感觉就能满足未来十年左右的衬衫需求了。
我每天穿的衬衫从不熨烫。（这点我也是，麻烦，也不想太刻板。）
不要在衬衣里再穿内衣。（这点我似乎做不到，就像冬天不穿衬裤那样。）
二十来岁就算戴劳力士，也不会被认为是正品。
鞋子是衣服和时尚的中心。穿一双好鞋会给人带来自信。
当雨点打在以可靠技术结成的上等丝绸伞面上时，那声音如同小太鼓的鼓点一般，实在让人激动不已。（Swaibee Adeney Brigg的伞好贵啊。）
听着美妙的雨声行走，连雨天都会悠忽间明亮。
爱尔兰漂白纯亚麻或西岛棉的手帕，我有20条左右。
只不过也没有淘便宜货这种心态罢了。（花了较久才逐渐摆脱淘便宜货的心态，但它时不时会再找回来···）

我更喜欢在自己的能力范围内挑选好的东西，然后爱惜地使用。（关于跑鞋，有同感。）

二、食和住 让每天的生活丰富多彩
淡化了自己与对方的界限，从亲密感中得到快乐，但这不完全是一件好事。
人与人之间，不仅有爱，尊重也是十分重要的。
每个人都有“不想让别人跨过的界限”。
自己讨厌的事情绝不让对方去做。自己的事情自己做。（如果对方擅长，也不讨厌，另一方在自己擅长的方面给予补偿呢）

让别人幸福的方法，首先是让自己幸福。

“为了家庭我要忍耐”这样的吸纳沙发，被一些人当做一种美学挂在嘴上。然而“牺牲一个人幸福所有人”这样的事没无论是对于家庭还是对于社会，都是不可能的事。（但如此的所谓传统的道德，经常绑架被称之为善良伟大的愚昧之人。）
家中的每一件家具或者小摆设都像宠物一样，是家庭的一员。
将机器制造的没有感情的东西一点点从生活中剔除，会更加惜物，更加怜悯，也会更加慎重地购物。如此一来，家会变得更加温暖。
谨守个人的领域，开启属于自己的一天，这样不好吗？
物品是一起生活的伙伴，所以抱着多么谨慎的态度去挑选都不过分吧。
香薰机
威斯汀大酒店 天梦之床 泰普尔
最近逐渐不用浴巾了。（同感）

三、工作 工作中的规则和礼法
关系的构造，需要的是日积月累。（但很多关系，似乎日积月累后，负面情绪增加呢）
（那谁，在家里开油烟机炭烤串，结果同楼的不少人家里厨房也是烟，有老人睡觉呢被呛醒了，还以为家里着火了呢。）
公司的桌子，也要装扮得和自己的房间一样舒适，我认为这是缺乏社会性，非常幼稚的表现。
从扔垃圾的这一点就可以看出工作中交流能力的高低。能顾虑垃圾去向的人，是更愿意触动想象力的人，第六感发达，更可能是个细心周到的人。
文具，一旦以“越便宜越好”为标准，整个工作都会飘着穷酸气。
我想最好的礼物是花。
建立一个“不互相交换礼物”的规定，这样大家都没有负担，交往会更加轻松。
不要说“打算”。
（拼了命地活着，才是活着。）
一点点尝试解开缠绕思维的细线。
活出自己不是一件简单的事。

人都有脆弱的时候，活出自己不死一件简单的事。就算不是每天，但感到疲惫、感到混乱、感到不知所措的日子真的很多。每当这时，回到与己而言的工作是什么、生活是什么这个问题的答案上来，就能找回自我了。就像在大海上游泳，疲惫之时能否找到那个让自己身体休息的浮板一样。
以后也会有迷茫、烦恼。仿佛在暗中前行的时刻。每当那时，我相信自我的基石，就如小小的灯火会照亮脚下的路。
（轻松细腻的描述）（很快、很轻松读完的书，但余音未止，强音反而共振样的加强了，三年不绝呢···）