JQX/进取芯 小教研第三期（2025.4.10）
简谐运动，作为高中物理力与运动的典型模型，揭示着振动世界的底层规律。
·如果弹簧振子不再处于理想光滑环境，摩擦力的介入是否会动摇简谐运动的本质？
·如果将弹簧引入含容单杆，在电磁力的动态影响下，振动方程将如何重构？
·如果单杆连接电感，电能与机械能的交替变化，会诞生怎样的新型简谐系统？
让我们一起深入探索不同的简谐运动，共同解构振动世界的「非理想」真相。
一、受外力的弹簧分离问题，一定能分离吗？
分离问题作为牛顿第二定律的基本应用，已经分析的比较透彻。但原本静止在弹簧上的两个物块，受到向上的恒力，一定能分离吗？让我们来分析这样一种情况：
如图所示，一竖直轻弹簧静止在水平面上，重力均为\(G\)的\(a\)，\(b\)两物体叠放在轻弹簧上并处于静止状态，\(a\)、\(b\)可视为质点。问：至少需要多大的恒力\(F\)，竖直向上拉\(b\)，能使\(b\)与\(a\)分离？
答案：\(F=\frac{2}{3}G\)。
提示：根据分离问题的条件，分离时\(a\)、\(b\)两物体加速度相同，且物体间无压力。在有恒定外力\(F\)时，弹簧需达到压缩量为\(\frac{F}{k}\)的情况下，才可分离。
同时，根据简谐运动的对称性，受到恒力\(F\)可视为平衡位置上移\(\frac{F}{k}\)，由于初始状态为静止（即最低点），故此运动振幅为\(\frac{F}{k}\)。结合黑板中分析图，可知\(\frac{2G}{k}=\frac{3F}{k}\)，故\(F=\frac{2}{3}G\)。
肖老师提出，可以使用回复力的对称性，最高点的回复力应与最低点大小相同，算出合力。可见，恒力需要达到一定程度，才能将物块拉开，否则，物块将进行简谐运动不会分离。
二、水平弹簧振子，有摩擦，还是简谐运动吗？
如图所示，一轻质弹簧左端固定,右端系一小物块，物块与水平面的最大静摩擦力和滑动摩擦力都为\(f\)，弹簧无形变时，物块位于\(O\)点.
每次都把物块拉到右侧不同位置由静止释放，释放时弹力\(F\)大于\(f\)，物体沿水平面滑动一段路程直到停止。为使物块能返回到\(O\)点右侧，则\(F\)至少为几倍的\(f\)？
答案：\(F = 4f\)。
提示：物块向左运动时，受到向右的摩擦\(f\)（可视为恒力），整个向左运动的过程中，可视为平衡位置为\(O\)点右侧\(\frac{f}{k}\)的简谐运动。同理，物块返回向右运动时，受到向左的摩擦\(f\)（可视为恒力），可视为平衡位置为\(O\)点左侧\(\frac{f}{k}\)的简谐运动。虽然整个过程不是简谐运动，但可以看做两个半程简谐的叠加。草图请见板书，根据对称性，可算得\(F\)为\(4f\)。
*这种阻力恒定的阻尼运动，可以视为每半程产生一次平衡位置的转移，导致振幅越来越小，直至恰好运动到或运动不到下次平衡位置转移的位置后，停止。
三、弹簧振子带动另一个物体运动，还是简谐运动吗？
如图所示（见黑板第二部分），质量分别为\(m\)、\(M\)的两个物块使用软杆连接，跨过定滑轮，\(M\)使用弹簧连接在地面上，从弹簧原长释放，试分析有\(m\)的存在，是否还是简谐运动，如果是，平衡位置、振幅、周期发生改变了吗？
答案：是简谐运动。不改变平衡位置、振幅。周期变小。
提示：可以使用整体法分析，\(m\)的存在单纯增加了质量，但未提供其他外力，外力依然为正弦变化，运动依然为简谐运动。平衡位置依然为弹力与\(M\)重力平衡的位置，振幅仍为原长到平衡位置。但由于\(m\)的存在，周期\(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\),质量变大，周期变小。也可以使用单体法分析\(M\)，多受到一个杆的力，但杆力也为正弦力（相当于减小了\(k\)，而平衡位置未变）。
四、含容单杆增加弹簧，还是简谐运动吗？
如图所示，两条平行光滑足够长的无电阻导轨所在平面与水平地面的夹角为\(\theta\)，间距为\(L\)。导轨上端接着没有充电的一平行板电容器，电容为\(C\)。
导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为\(B\)，方向垂直于导轨平面。在垂直于导轨无初速释放一质量为\(m\)、电阻不计的金属棒，若不计导轨电阻。金属棒与轻弹簧相连接，劲度系数为\(k\)，弹簧给金属棒的拉力垂直棒，静止释放时弹簧处于原长，则金属棒做什么运动？向下运动的最大位移是多少？
答案：做简谐运动。最大位移为\(\frac{2mg\sin\theta}{k}\)
提示：设下滑位移\(x\)时，速度为\(v\)，则\(q = CU = CBLv\)，
由牛二，\(mg\sin\theta – kx – BIL = ma\)，\(I=\frac{\Delta q}{\Delta t}=CBLa\)，解得\(mg\sin\theta – kx – B^2L^2Ca = ma\)
金属棒所受的合力\(F=mg\sin\theta – kx-(m + B^2L^2C)a\)
令\(x_0=\frac{mg\sin\theta}{k}\)，有\(F=-k(x – x_0)\)
故金属棒做平衡位置为\(x_0=\frac{mg\sin\theta}{k}\)，振幅为\(A=\frac{mg\sin\theta}{k}\)的简谐运动，向下运动的最大位移为\(2A\)，即\(\frac{2mg\sin\theta}{k}\)
*电容的存在，竟然并没有改变单独弹簧振子的平衡位置和振幅！
请进一步思考：
1）从物理意义上解释，平衡位置为什么是\(mg\sin\theta\) ？
平衡位置应为\(a = 0\)，此处\(I = CBL a\) ，\(a = 0\) 没有电流故没有安培力，所以即为重力与弹簧弹力的平衡点。
2）最大速度能求吗？
可以考虑如下方法：①用简谐运动能量关系：\(\frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{2}mv^2\)
②用简谐运动最大速度公式：\(v_{max}=\omega A\)……
3）继续考虑后半程，也是简谐吗？
后半程电容器放电，电流方向变化，所以安培力方向也发生改变，安培力大小依然与加速度成正比，方向与加速度反向，这相当于让加速度等比例减小（像等效质量一样，情景类似上上一道题，m换成等效质量的电容器……）（等效质量\(B^2L^2C\)在其他情境下亦有应用）， 只改变了\(k\)（也就是改变了周期和最大速度）。
4）有更方便的方法来计算最大位移吗？
末态\(v = 0\)，电容器没有电，利用能量守恒，可一步求解。
*肖老师提出，如果已知等效质量，那么可以直接整体分析……
*qiusir提出，电惯性、回复势能……
五、含电感的单杆问题，也是简谐运动？
如图所示，在磁感应强度为\(B\)且方向垂直向里的匀强磁场中，设有两条相距为\(l\)的固定光滑平行导轨，其与电感为\(L\)的线圈以及质量为\(m\)的横导杆构成回路。现给横导杆一个初速度\(v_{0}\)。若忽略所有元件的电阻以及电磁辐射的影响，试证明该横导杆的运动属于简谐运动。插
证明如下：根据法拉第电磁感应定律，感应电动势\(\mathcal{E}=-L\frac{\Delta I}{\Delta t}\)。
结合电磁感应现象 导体棒切割磁感线产生的感应电动势\(\mathcal{E}=Blv\) ，同时电感的感生电动势\(\mathcal{E}=-L\frac{\Delta I}{\Delta t}\) ，由于电路中没有电阻，有： \(Blv=-L\frac{\Delta I}{\Delta t}\)
两边同时乘以\(\Delta t\) 并求和： \(\sum Blv\Delta t=\sum – L\frac{\Delta I}{\Delta t}\Delta t\) ，得到： \(Blx=-LI\)
代入安培力公式 \(F = B\left(-\frac{Bl}{L}x\right)l=-\frac{B^{2}l^{2}}{L}x\) 此式符合简谐运动回复力\(F = – kx\) 的形式，从而可说明含容单杆的运动为简谐运动。
上述几类简谐运动不过是管中窥豹，自然界中满足回复力特征的运动远不止于此，还有无数未知的运动形式等待我们以更广阔的视角去探索发现！
【下期预告】
“Any fool can know, The point is to understand.”作为教师，知识的传授不单是传递和辅助理解，还有一个内化的过程。下次活动，qiusir将在新疆部高三的班级就“周期”的话题展开，除了相关知识的关联、拓展和内化，还有就如何和新同学进行有效交流的尝试等···