这是一道我很喜欢的运动学综合的习题，图中包含了很多需要分辨的细节，有一定的综合性（匀速、匀加速、直线、曲线），解题方法也很灵活。图中O、A、B、C和D为平抛运动上的点，网格为边长10cm的正方形，已知$g=10m/s^2$，根据给定条件求各点的瞬时速度。

学生一般容易观察到各个点水平距离相同（2各网格），而困惑源自竖直方向间隔竟然是1、2、3和4个网格，通常学生熟练的是竖直方向自由落体运动，相同时间间隔的位移比例应该是1、3、5、7...更大的迷惑是第一个点明明标记的是O，这个也让学生先入为主地断定这是平抛运动的初始点。

困惑处往往就是突破口，线索也就在竖直方向位移的差值，利用匀变速运动$\Delta{S}=aT^2$，$\Delta{S}=0.1m$，水平方向$V_{0}T=0.2m$，求得$V_{0}=2m/s$...找到了乱绳子的头就好办了。
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该守规矩的时候总有人只图自己方便，不该守规矩的地方，却成了百般乖巧的良民了。教学大纲大概就是这么个类似无形绳索的东西。既然积分/变化率和导数/微元累积的思想早在物理上体现，积分和导数的工具是不是也该在中学的物理中松松绑了呢？

一般来说，简谐振动可以从运动的特殊性为线索引入。比如一般的运动分类，机械运动、热运动、电磁运动...有同学还说社会运动:)而就机械运动来说，静止、匀速直线运动、匀变速直线运动、匀变速曲线运动、匀速率圆周运动...（接下来特殊点的会是什么样的运动呢？）

从受力的角度看$\Sigma\vec{F}=0$对应的平衡态，$\Sigma\vec{F}=C$对应的匀变速运动（直线和曲线），$F=C$对应的匀速率圆周运动...接下来的运动一定是“非匀变速直线运动”了，而从受力的角度更容易想到特殊的受力情况，$\vec{F}=-k\vec{X}$，当然也可以让学生思考一下$\vec{F}=k\vec{t}$的运动情况。

弹簧振子的简谐振动可以通过匀速圆周运动在直径上的投影来分析。设定圆周半径为$A$，角速度为$\omega$，初相为$\varphi$，经过时间$t$转过的角度为$\omega{t}+\varphi$。
旋转直径在水平方向的分量（振子位移）$X=Asin(\omega{t}+\varphi)$
圆周运动线速度在水平方向的速度分量$V_{x}=\omega{A}cos(\omega{t}+\varphi)$
圆周运动向心力加速度在水平方向的分量$a_{x}=-\omega^2{A}sin(\omega{t}+\varphi)$
这些都符合简谐振动的特征。当然圆周运动在水平方向的投影时简谐振动，也可以从回复力的角度证明。向心力在水平方向的分力$F_{x}=-m\omega^2{A}sin(\omega{t}+\varphi)=-m\omega^2X$

通过简谐振动的位移时间图像$X=Asin(\omega{t}+\varphi)$，利用导数可以得出速度、加速度的时间关系图像（当然反过来考虑积分的问题也未尝不可）。即便不用导数，单从速度是位移的变化率、加速度是速度的变化率的定义也可以接受。动态过程的想象，特殊点的分析。

数学的工具在物理上恰当的应用范例会得到正向的反馈。提到正弦函数的导数问题，电磁感应的正弦交流电部分大体类似。
$\Phi=BScos(\omega{t}+\varphi)$
$U=NBSsin(\omega{t}+\varphi)$...

本学期高二物理的课程安排是先3-5动量、3-4振动和波，最后再回到3-5。月考前的复习课我采用从简谐振动图像引入，再次采用王聪的方法关联，强调了速度时间图像的视角复习碰撞...

毕业的学生回访时常有“早把当年学的那些还给老师了”的玩笑，而回过头来看，学生毕业并非要从学校和老师那带走什么，反倒是要留下点什么：留下美好的回忆在校园凝固，留下思维的火花在教室相传~2013.1

王聪同学是我以前的物理课代表，最初是他很坚持地分享了从简谐振动的角度分析和解决弹性碰撞的相关问题。前些天已经和1、2等班的学生分享了“王聪方法”，使复杂的结论变得相对形象和简单一些，学生基本被接受。这里整理一下以备他（他时、他人）用...

这里要涉及到的主要物理图景：光滑水平面上，质量$m_{1}$的木块以速度$V_{1}$和质量$m_{2}$，速度$V_{2}$的木块发生弹性碰撞。假定木块间存在理想弹簧，此处用来放大弹性碰撞的过程...

如果两物体和弹簧相连，我们把碰撞的过程分解成上面7个过程，后面需要对应标号理解的地方。

当弹簧形变量最大时两物体共同速度为$V$，假定$V_{20}=0$，
由系统动量守恒得$m_{1}V_{10}=(m_{1}+m_{2})V$，所以由$\frac{V_{10}}{V}=\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}}$，此式可以理解为$V_{10}$被分为$m_{1}+m_{1}$份，V对应为$m_{1}$份。（速度比例转化为质量比例）

好了，我们把两个光滑水平面上两木块的运动理解为整体（质心）以$V$匀速运动，而他们分别又以动的质心为平衡位置的简谐振动的叠加。（弹簧的弹力提供回复力）

按照上面的比例关系分析上图，利用简谐振动速度时间图像的正弦函数特性，可以看到$V_{2}$和$V_{1}$对应的质量比例关系分别为$2m_{1}$和$m_{1}-m_{2}$（特别注意上图中竖直线段，红色的$m_{2}$和蓝色的$m_{1}$）。这样就很容易得到：$V_{1}=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}V_{10}$；$V_{2}=\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}V_{10}$

更一般的情况是$V_{20}$不等于零，利用上图坐标平移的方法，时间轴向上平移$V_{20}$，$V_{10}$变为$V_{10}-V_{20}$，接下来方法同上，只不过计算结果上需要再加上平移量$V_{20}$。
得到更一般的弹性碰撞公式：
$V_{1}=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}V_{10}+\frac{2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}V_{20}$；$V_{2}=\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}V_{10}+\frac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}V_{20}$。

通过前面的代数式，$V_{1}=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}V_{10}$我们很容易知道$m_{1}$< $m_{2}$时小球会反弹，当然这个结论也可以通过上图画出。通过上图我们也可以直观明白弹性碰撞和完全非弹性碰撞会使得前面小球获得最大和最小的速度（动能）。（$P_{3}$及其以后的位置可以等效为碰撞结束的位置，弹性势能没有完全释放的等效称非弹性碰撞） 不管$V_{20}$是否为零。如果两物体的质量相等，速度对应的质量比必然是中点，这样我们自然看到的是交换速度的结果了。 最后的两幅图演示的两物体质量悬殊很大，极限情况是$m_{1}$>>$m_{2}$和$m_{1}$< <$m_{2}$。无穷大物体速度不变，想当于是质心，另一物体相对它简谐振动。 对于此处所有的图示中，$P_{3}$对应的是完全非弹性碰撞，$P_{4}$对应的是非弹性碰撞，而$P_{5}$则是上面公式结论中的弹性碰撞。如果弹簧是被连接到两物体上的，那共速度点$P_{3}$对应弹簧压缩最短位置，而$P_{7}$则对应的是弹簧拉伸最长的位置。 尽管此处涉及到竞赛中提到的质心匀速与简谐叠加的超纲内容，但仅仅从速度时间图像斜率是加速度的知识点，外加一点对称的猜想就可以独自解决。而这里解释的目的仅仅是倡导学生用自己的方法去真正的研究一个物理的模型，相信自己的探索会对其他人，同学甚至老师有作用。当然作为老师也期待更多的学生方法被老师习得。
PS.说到简谐振动，我也联想到时下和谐社会的提法：
真正的和谐社会该是物质和精神极大丰富的共产主义，而原始社会物质和精神的简单构成，从物理角度看应该叫做简谐社会:)那眼下社会主义初级阶段的和谐提法，唯一的可能就是分隔...哈哈，不多说了。

PS.高三10班的姚贯匀同学结合课上的讲解，从代数的方法把结论做了另外的等效：$V_{1}=2V-V_{10}$,$V_{2}=2V-V_{20}$。结合图像关于共速的对称性，或弹簧伸长量和压缩量相等，用平均速度的角度可能更容易理解，$V=\frac{V_{10}+V_{1}}{2}$，$V=\frac{V_{20}+V_{2}}{2}$ ~2021.10

GSP5文件下载：GSP-王聪方法 (5949)
2021
姚贯匀同学把这种对称的想法转化为$v_G\frac{v_1+v_{10}}{2}$

很多年前听过这样一个故事：说大陆的一位访问学者一次去一所美国中学听课，数学课上老师问$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$等于多少？学生答$\frac{2}{5}$，一堂课下了也都没有异议...下课后访问学者耐心教上课老师正确的方法...几个月后访问学者恰好又听到那位老师的课，课堂上还是有学生说$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{5}$，下课后访问学者就问上课的老师，“我不是告诉过你这样计算不对吗？”老师很无奈，“我知道，可是大家都喜欢这样计算。”

这原本是“专家”用来讽刺美国课堂上所谓的民主，也反衬我们“领先国际”的基础教育...但换个角度看，难道分数的加法一定要通分吗？我就听过这样的范例，“说一场比赛中，姚明上半场罚球两罚一中（$\frac{1}{2}$），下半场罚球三罚一中（$\frac{1}{3}$），整场就是五罚两中（$\frac{2}{5}$）。”你看这不就是$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{1+1}{2+3}=\frac{2}{5}$吗，看来人家老美课堂是按照NBA的算法。

数学上分数加法的规则是分母相同的，分母不变分子相加，分母不同的要先通分母后再相加。而由$\frac{B}{A}+\frac{C}{A}=\frac{B+C}{A}$的形式，我们想能不能有$\frac{B}{A}+\frac{B}{C}=\frac{B}{A+C}$的等式，或是$\frac{B}{A}+\frac{D}{C}=\frac{B+D}{A+C}$的运算规则呢？（就如罚篮的例子）

或者是否可以给出更一般形式的分数运算规则：

1、$\frac{B_{1}}{A}+\frac{B_{2}}{A}+\frac{B_{3}}{A}+\cdots=\frac{\Sigma{B_{i}}}{A}$

2、$\frac{B}{A_{1}}+\frac{B}{A_{2}}+\frac{B}{A_{3}}+\cdots=\frac{B}{\Sigma{A_{i}}}$

3、$\frac{B_{1}}{A_{1}}+\frac{B_{2}}{A_{2}}+\frac{B_{3}}{A_{3}}+\cdots=\frac{\Sigma{B_{i}}}{\Sigma{A_{i}}}$

就如矢量的运算满足平行四边形法则一样，其实有一些物理量的计算就可以按照上面的泛加法规则进行，我戏称之为分数加法的自然法则。比如物理中串并联电路等效电阻的计算，题目尽管相对容易，而计算的速度和准确程度往往并不理想。这里按照上面的思路给出另外的一种视角，或许可以解决这样的困惑。

电阻的串联，满足规则1。
由电阻的定义式$R=\rho\frac{L}{S}$，假定串联的两个电阻材料(电阻率$\rho$相同，横截面积S相同，电阻的区别仅仅反映在程度L上。$\rho\frac{L_{1}}{S}+\rho\frac{L_{2}}{S}=\rho\frac{L_{1}+L_{2}}{S}$，所以有$R_{1}+R_{2}=R$。更一般的情况是，$R=\rho\frac{\Sigma{L_{i}}}{S}=\rho\frac{L_{1}}{S}+\rho\frac{L_{2}}{S}+\rho\frac{L_{3}}{S}+\cdots=\Sigma{R_{i}}$。而对于n个相同的电阻串联，等效电阻$R_{s}=nR_{0}$，这也可以理解为有限的电阻值是由无限的无限小电阻串联累加的，就如1是由2个1/2、3个1/3、4个1/4...n个1/n串联的。

串联电路等效电阻的计算相对容易，比如$\frac{1}{2}\Omega$与$\frac{1}{2}\Omega$串联，$\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{1+5}{2}=3\Omega$，也可以考虑成$\frac{1}{2}+5\times\frac{1}{2}=6\times\frac{1}{2}=3\Omega$。就是通常的的分数加法运算。

电阻并联的运算，满足规则2。
由电阻定义公式$\frac{1}{R}=\frac{S}{\rho{L}}$，假定并联的两个电阻材料(电阻率$\rho$相同，长度L相同)电阻的区别仅仅反映在横截面积S相同。$\frac{S_{1}}{\rho{L}}+\frac{S_{2}}{\rho{L}}=\frac{S_{1}+S_{2}}{\rho{L}}$。所以有$\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}=\frac{1}{R}$。更一般的情况是，$\frac{1}{R}=\frac{S_{1}}{\rho{L}}+\frac{S_{2}}{\rho{L}}+\frac{S_{3}}{\rho{L}}+\cdots=\frac{\Sigma{S_{i}}}{\rho{L}}=\Sigma{\frac{1}{R_{i}}}$。

而对于n个相同的电阻并联，等效电阻$R_{p}=\frac{1}{n}R_{0}$，这样有限的电阻可以看成是无限多个无限大并联而成。比如1是有2个2、3个3...n个n并联。

比如计算$\frac{1}{2}\Omega$与$\frac{1}{3}\Omega$并联等效电阻，方法为$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{1}{5}\Omega$。再如3和6两个电阻并联，$\frac{6}{2}+\frac{6}{1}=\frac{6}{2+1}=2\Omega$（并联中3相当于2个6）。由此我们可以给出这样的电阻并联公式$\frac{R}{n}+\frac{R}{m}=\frac{R}{n+m}$；$\frac{R}{n_{1}}+\frac{R}{n_{2}}+\frac{R}{n_{3}}+\cdots=\frac{R}{\Sigma{n_{i}}}$

在串联电路中6等于2个3，3与6串联是（2+1）个3为9；而并联电路中，3相当于2个6，3与3并联，（1+2）个6并联为2。也就是说电阻串联需要分母通分，电阻并联需要的是分子通分。电路中1是由无穷多个无穷小电阻串联，1也是由无穷多个无穷大电阻并联。一个1包含无穷多个无穷小，可以看成无穷多个无穷大...很哲学呀。

对于规则2，不仅电阻的并联，等额定电压电器串联后总电功率的运算和加热时间的运算等都满足。比如（220V，120W）的灯与(220V,60W)的灯串联在220V的电路中，总功率的计算就满足$\frac{120}{1}+\frac{120}{2}=\frac{120}{3}=40W$，再如某热水器单独烧水一壶水的时间为30分钟，另一热水器单独烧开同一壶水的时间为15分钟，并联两热水器后共同烧水的时间计算可以按照$\frac{30}{1}+\frac{30}{2}=\frac{30}{3}=10$分钟。具体的可以参考以前的一篇电功率计算的一种方法。

那什么物理量的运算会满足规则3呢？想来平均速度的运算和平均密度的运算就满足。

$\overline{V}=\frac{X}{t}=\frac{\Sigma{X_{i}}}{\Sigma{t_{i}}}$

$\frac{X_{1}}{t_{1}}+\frac{X_{2}}{t_{2}}=\frac{X_{1}+{X_{2}}}{t_{1}+t_{2}}$；$\frac{X_{1}}{t_{1}}+\frac{X_{2}}{t_{2}}+\frac{X_{3}}{t_{3}}+\cdots=\frac{\Sigma{X_{i}}}{\Sigma{t_{i}}}$

$\overline{\rho}=\frac{M}{V}=\frac{\Sigma{M_{i}}}{\Sigma{V_{i}}}$

$\frac{M_{1}}{V_{1}}+\frac{M_{2}}{V_{2}}=\frac{M_{1}+{M_{2}}}{V_{1}+V_{2}}$；$\frac{M_{1}}{V_{1}}+\frac{M_{2}}{V_{2}}+\frac{M_{3}}{V_{3}}+\cdots=\frac{\Sigma{M_{i}}}{\Sigma{V_{i}}}$

以上的方法耐心体会联系，如果使用恰当可以大大提高计算的速度，不过等式仅仅是物理结果上的等，考试的计算过程课不要直接用呀。

时下（或一直以来）的物理教育早已摒弃了实验的基础，除了像是哲学的思辨外，更多时候成了应用数学的推演了。当然知识并无界限，所谓不同科目或许真的是为了将就人类的智商，但问题是长此以往，我们最多也只看到多面体的一面。嗯，现实就是一面的:)

中学物理的习题中经常出现一些极值讨论的问题，其中涉及到一些数学上的方法，比如点到直线的距离最短、二次函数求极值的方法、因式分解、三角函数和圆的几何性质等等，这些范例很能体现数学的工具性，除了拓展学生思维，也有利于数理的融合...

一、二次方程的判别式
选取适当的物理量，通过等式变换出现二次项，再利用判别式$\Delta=b^2-4ac\geq0$作为有解的条件来求解。

二、二次函数的配方法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$
若a<0，则y有极大值，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y_{max}=\frac{4ac-b^2}{4a}$；
若a>0，则y有极小值，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y_{min}=\frac{4ac-b^2}{4a}$

题如匀加速与匀速运动的追击问题。
汽车在路口以$3m/s^2$ 的加速度开始行驶，此时恰有一辆自行车以6$m/s$的速度匀速驶超过汽车。汽车从路口开动后，在追上自行车之前过多长时间两车相距最远？（2s，6m）

三、利用不等式
1.$A+B\geq2\sqrt{AB}$：对正数A和B，若AB为常数，当A=B时，A和B的和有最小值。
2.$AB\leq(\frac{A+B}{2})^2$：对正数A和B，若A+B为常数，当A=B时，A和B的和有最大值。
类似还有$A+B+C\geq3\sqrt[3]{ABC}$

题如水平释放悬挂小球重力最大功率位置求解。
一轻绳一端固定，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平后无初速度的释放，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？
（$cos\theta=\frac{\sqrt3}{3}$，$\theta$为线与竖直方向的夹角。）
此题目也可以研究竖直方向的受力情况，
当$a_{y}=0$时竖直方向的速度（$V_{y}=Vcos\theta$）最大，则$P_{G}=MgVcos\theta$取最大值。

四、三角函数
简单一点的比如$y=Asin\alpha\cdot{cos\alpha}=$$\frac{1}{2}Asin2\alpha$，当$\alpha=\frac{\pi}{2}$取极值。
如在底边定长光滑斜面下滑时间极值求解。
如斜面底边恒定为d，当斜面与底边所成夹角θ为多大时，物体沿此光滑斜面由静止从顶端滑到底端所用时间最短? （$\theta=\frac{\pi}{4}$，$t_{min}=\surd{\frac{4d}{g}}$）

对y关于$\alpha$的函数，$y=asin\alpha+bcos\alpha$，令$sin\beta=\frac{b}{\surd{a^2+b^2}}$，$cos\beta=\frac{a}{\surd{a^2+b^2}}$
则有$y=\sqrt{a^2+b^2}sin(\alpha+\beta)\leq\sqrt{a^2+b^2}$，当$\alpha=arcsin\frac{a}{\surd{a^2+b^2}}$时取等。

题如物体放置在水平地面上，与地面之间的动摩擦因数为μ，物体重为G，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F为多大？
（$tan\theta=\frac{1}{\mu}$，$F_{min}=\frac{\mu}{\surd{1+\mu^2}}G$）

五、矢量三角形
某一分力$F_{1}$大小和方向定值，合力F的方向固定，则另外一分力有最小值，$F_2\geq{F_1sin\alpha}$
题如上面粗糙水平面匀速运动物体所收外力的极值问题求解也可以借鉴此法。

六、求导求极值问题
比如对二次函数$y=ax^2+bx+c$，$y'=2ax+b=0$，$x=-\frac{b}{2a}$时函数取极值。
如等量同种电荷中垂线上场强极大位置的求解。
对所得到得函数关于$sin\theta$求导可得，当$\theta=arcsin\frac{\sqrt{3}}{3}$时取极大值，$\theta$为电荷与P点连线与水平方向的夹角。）
...
每一部分推荐的题目可以根据描述，自己画图推算，然后对照答案。$\heartsuit$
PS.常用数学符号的LaTeX表示方法