试着用gemini学习辅导来学习
麦克斯韦（James Clerk Maxwell）是一位非常了不起的科学家，物理学家们常把他与牛顿和爱因斯坦并列。麦克斯韦最伟大的贡献把电和磁彻底“统一”在了一起。这组方程是以麦克斯韦命名的，但将它们提炼为现代教科书里那种简洁、对称的4个矢量方程形式的人，主要是英国物理学家、工程师亥维赛（Oliver Heaviside）
麦克斯韦方程组（积分形式）
1、高斯静电定律（有电荷的地方就有电场线“喷”出来或“吸”进去。）
$\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$
2、高斯磁定律（磁场线总是闭合的，没有起点也没有终点。这也意味着世界上不存在磁单极子。）
$\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0$
3、法拉第电磁感应定律（那个负号代表产生的电场总是试图阻止磁场的变化。）
$\oint_L \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$
4、安培-麦克斯韦定律（磁场可以由两种方式产生：一是电流I，二是变化的电场。这是麦克斯韦最伟大的补充，正是这一项预言了电磁波的存在。）
$\oint_L \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$
这四个方程就像是一场双人舞：变化的磁场产生电场，变化的电场又产生磁场。它们互为因果，循环往复。

麦克斯韦方程组的微分形式，两个核心概念：散度（Divergence）和旋度（Curl）。它们不再描述整个区域，而是描述空间中每一个点上的电磁场是如何变化的。我们可以把这四个方程看作是电磁场的“局部基因图谱”：
1、电场的散度（高斯定律）（描述电荷如何产生电场）
$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$
$\nabla \cdot \$（读作del dot）散度衡量的是向量场从一个点“发散”出来的程度。
电荷密度ρ是电场的源头。正电荷就像喷泉（散度为正），负电荷就像漏斗（散度为负）。
2、磁场的散度（高斯磁定律）（描述磁单极子不存在）
$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$
磁场的散度永远为0，这意味着磁场没有起点也没有终点，磁场线总是闭合的。
散度（Divergence）：想象水管里的水。如果一个地方有喷头在喷水，那里的散度就是正的，这一点就像是一个“源头”（Source）；如果有排水口，散度就是负的，这一点就是一个“汇”（Sink）。
$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$，向量场F偏导数的运算。
一个向量场通过闭合曲面的通量等于该曲面所包围体积内的散度的体积积分。$\oint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \int_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV$

3、电场的旋度（法拉第定律）（描述变化的磁场如何产生旋转的电场）
$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$
$\nabla \times$（读作 del cross）是旋度，它衡量的是向量场在一个点附近“打转”的程度。
变化的磁场（磁场对时间的导数）会在周围感生出一个旋转的电场。
4、磁场的旋度（安培-麦克斯韦定律）（描述电流和变化的电场如何产生旋转的磁场）
$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \left( \mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right)$
磁场的“旋涡”有两个来源：一是电流密度，二是变化的电场。
旋度（Curl）：想象水面上有一个小木片。如果水流让小木片原地转圈，说明那里的水流旋度不为 0。
$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \mathbf{j} + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \mathbf{k}$
旋度和斯托克斯定理（Stokes' Theorem）密切相关，后者表示曲线围成的闭合环路上某向量场的线积分等于该曲面上的旋度的曲面积分
$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}$
我们已经讨论了散度（源头）和旋度（旋转），你觉得如果一个向量场的散度和旋度在空间中每一处都被确定了，这个场是不是就被唯一确定了呢？（这涉及到一个著名的物理定理——亥姆霍兹定理）。

范例
一、均匀带电球体、球壳、无限长带电导线和无限大带电平面的电场，利用对称性，选取高斯面，球面、圆柱面、药丸盒
ChatGPT对于环形电流中心处磁场，竟用“安培定理”（安培环形定理）给出一堆的顾左右而言它的解释，让它出图示，竟然也给出看着很正确的东西，当然，当你发现问题后，它会告诉你用比奥-萨伐尔定律···

很正确的样子
二、推导光速
在没有任何电荷和电流的真空中，麦克斯韦方程组表现出高度的对称性：
$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$
$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$
$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$
$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$
对法拉第定律取旋度
$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla \times \left( -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right)$
使用矢量恒等式展开左边
$\nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathbf{B})$
代入真空条件和安培-麦克斯韦定律
$-\nabla^2 \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \left( \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right)$
得到电场波动方程
$\nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}$
类比经典物理中波动方程通式$\nabla^2 f = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 f}{\partial t^2}$
结合推导结果得出光速$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$

注释
1.$\nabla$(Del/Nabla)是一个算子，通常被称为Nabla算子，是一组操作指令。像一个“多功能工具刀”，在三维空间中指向函数变化最快的方向。用于计算梯度（Gradient）、散度（Divergence）和旋度（Curl）。
2.$\Delta$(Delta)是一个预定义的变化量，通常代表“差值”。
在微积分中，它也代表拉普拉斯算子，$\Delta=\nabla^2$，用来衡量一个场在某一点与其周围平均值的差异。

AI画图

同学知道我不怎么参加集体活动，关于看话剧，这几天非正式提过几次，串场过程中课代表小鹿童鞋穿着戏服跑回来邀请，再不去说不过去啊，特地让肖老师陪我去。手机比较旧，早早没电了，还好，两个班都拍到了。

10班：威尼斯商人





10班剧组

4班：红岩

JQX/进取芯 席明纳第22期（2025.12.09）

从麦克斯韦方程组到光速

JQX|Xiao

一、波动方程
对于一个机械波，想描述它在空间的分布，它的方程为：$D(x) = A \sin \frac{2\pi}{\lambda} x$。如果这个机械波以速度 $v$ 向右传播，则 $t$ 时刻的波函数为：$D(x,t) = A \sin \left[ \frac{2\pi}{\lambda} (x - vt) \right]$，引入周期 $T$ 可变形为：$D(x,t) = A \sin \left( \frac{2\pi x}{\lambda} - \frac{2\pi t}{T} \right)$。
简化为：$D(x,t) = A \sin (kx - \omega t)$
其中 $k = \frac{2\pi}{\lambda}$，称为波数。由此得到波的传播速度为：$v = \lambda f = \left( \frac{2\pi}{k} \right) \left( \frac{\omega}{2\pi} \right) = \frac{\omega}{k}$
二、麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组包含以下四个方程：
1. $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q}{\epsilon_0}$
2. $\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$
3. $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \frac{d\Phi_B}{dt}$
4. $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$
其中第一个是电场的高斯定律，第二个公式说明了磁场无源，第三个是法拉第电磁感应方程，第四个是一般形式的安培环路定律。前面三个我们都比较熟悉，下面我们对第四个方程进行一下解释：
安培环路定律的一般形式为：$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I$。但是科学家们发现了这样的矛盾：假设有一个平行板电容器连着两根导线，正在充电。我们对其中一根导线取一个高斯环路，可以求出它的磁场环路积分。但是现在的问题是等式右面的电流 $I$ 应该怎么选择？
我们认为电流是指“通过环路所围成的截面”的电流。但是这个截面我们可以任意选择：比如我们可以选择一个平面使这个导线穿过它；或者选取一个曲面，**就像吹起的泡泡糖**，让它把电容器的一个极板包含进去。这样我们发现一个问题：选的第二个曲面（泡泡糖）并没有电流穿过它，但是我们明明选取的高斯环路没有变，也就是说虽然没有电流，但是等式右边一定有什么东西**替代**了这个电流。我们把这个电流叫做**位移电流**。
根据高斯定律：$\Phi_E = E \cdot A = \frac{Q}{\epsilon_0}$，我们对它求导可以得到：$\frac{d\Phi_E}{dt} = \frac{1}{\epsilon_0} \frac{dQ}{dt} = \frac{1}{\epsilon_0} I$。
得到电流大小：$I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$，我们称这个电流大小为位移电流，它反应了电场的变化会产生磁场。空间中的磁场可以由两部分产生，一部分由电流产生，一部分由变化的电场产生。当空间中既有电流，又有变化的电场，就是如下的表述形式：$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 (I + I_d) = \mu_0 I + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$
三、麦克斯韦方程组推导光速
1. 麦克斯韦方程组（真空环境）。先考虑真空中没有电荷 ($Q=0$) 和电流 ($I=0$)。这时麦克斯韦方程组的积分形式如下：
1. 电场高斯定律：$\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = 0$
2. 磁场高斯定律：$\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$
3. 法拉第电磁感应定律：$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \frac{d\Phi_B}{dt}$
4. 安培-麦克斯韦定律：$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$
2. 建立一阶偏微分关系：假设电磁波沿 $x$ 轴传播，电场 $E$ 沿 $y$ 轴，磁场 $B$ 沿 $z$ 轴，即 $E = E_y = E_0 \sin(kx - \omega t)$ 和 $B = B_z = B_0 \sin(kx - \omega t)$。
利用法拉第定律计算电场等式左右两边，可得：$\frac{\partial E}{\partial x} = - \frac{\partial B}{\partial t}$ —— (式 1)
利用安培-麦克斯韦定律（选取 $xz$ 平面回路）：
计算磁场环路积分与电通量变化率（位移电流），可得：$- \frac{\partial B}{\partial x} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t}$ —— (式 2)
3. 代入波动方程
计算电场和磁场对空间 $x$ 和时间 $t$ 的偏导数：
$\frac{\partial E}{\partial x} = k E_0 \cos(kx - \omega t)$ 且 $\frac{\partial E}{\partial t} = -\omega E_0 \cos(kx - \omega t)$
$\frac{\partial B}{\partial x} = k B_0 \cos(kx - \omega t)$ 且 $\frac{\partial B}{\partial t} = -\omega B_0 \cos(kx - \omega t)$
4. 比较系数
代入法拉第定律关系式：
由 $\frac{\partial E}{\partial x} = - \frac{\partial B}{\partial t}$，代入可得：$k E_0 \cos(\dots) = - [-\omega B_0 \cos(\dots)]$。化简得：$k E_0 = \omega B_0$，整理得到：$\frac{E_0}{B_0} = \frac{\omega}{k} = v$
由 $- \frac{\partial B}{\partial x} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t}$，代入安培定律关系式可得：$- k B_0 \cos(\dots) = \mu_0 \epsilon_0 [-\omega E_0 \cos(\dots)]$。化简得：$k B_0 = \mu_0 \epsilon_0 \omega E_0$，整理得：$\frac{E_0}{B_0} = \frac{k}{\mu_0 \epsilon_0 \omega}$
联立求解：$v = \frac{k}{\mu_0 \epsilon_0 \omega} = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0 (\omega/k)} = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0 v}$即：$v^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$
解得：$v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} = c \approx 3.00 \times 10^8 \text{ m/s}$(c=299792458m/s)

JQX/进取芯 席明纳第21期（2025.11.20）

高斯定理的简单应用

JQX|Jin

一、磁通量，电通量
磁通量指的是穿过某一面积的磁感线总数，是描述磁场分布情况的物理量，其大小等于磁感应强度与垂直于磁场方向的面积的乘积。电通量则表示穿过某一面积的电场线总数，反映电场的分布特征，二者均为标量，但具有正负之分，体现场线穿入与穿出的方向关系。
在计算时，若场强与面不垂直，则需将面积投影到与场强垂直的方向，或分解场强进行相应运算。磁通量的表达式是 $\Phi = B S \cos\theta$，电通量的表达式则为 $\Phi = E S \cos\theta$，$\theta$ 为电场方向与面积法线方向的夹角。
二、磁场和电场的另一种表述形式
根据磁通量的定义，单位面积的磁通量即为磁感应强度，即 $B = \frac{\Phi}{S \cos\theta}$，所以磁感应强度还有一个名字：磁通量密度。  同理，单位面积的电通量也对应电通量密度（电位移矢量 $D$，我们讨论真空中 $D = E$），满足如下关系：表征电场在该点的强弱与作用方向。
三、高斯定理
用正点电荷举例。以正点电荷为中心作一闭合球面，电场线从电荷出发垂直穿出球面，穿过该闭合曲面的电通量为 $\Phi = E S = E \cdot 4\pi r^2$。
根据库仑定律 $E = \frac{kQ}{r^2}$，代入得 $\Phi = \left( \frac{kQ}{r^2} \right) \cdot 4\pi r^2 = 4\pi k Q$。这其中我们定义 $4\pi k = \frac{1}{\varepsilon_0}$，$\varepsilon_0$ 为真空介电常数。有 $\Phi = \frac{Q}{\varepsilon_0}$。
这表明真空中静电场通过任意闭合曲面的电通量等于其包围电荷量的代数和除以真空介电常数，即电场高斯定理： $\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{\sum Q}{\varepsilon_0}$ 请注意，这里的积分符号上有一个小圈，表示闭合曲面上的积分。
现阶段，为了方便计算，我们在选取高斯面时应清楚电荷的分布，确保高斯面形状利于对称性分析，常选球面、柱面或平面等特殊几何面，并使电场强度垂直于高斯面且在面上各点大小相等，从而将电场强度 $E$ 提到积分符号外，直接使 $\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = E S$ 简化运算。
四、高斯定理的应用
一）无限长带电直线的电场
例1 设有一无限长均匀带电直线，电荷线密度为 $\lambda$。求距离直线为 $r$ 处的电场强度。
方法一（高斯定理）：如黑板中间左侧图，选取以带电直线为轴线、半径为 $r$ 的闭合圆柱面作为高斯面，其侧面与电场方向垂直，两底面与电场平行（无电场穿过），因此电通量为 $\Phi = E \cdot 2\pi r L$。
高斯面内包围的电荷量为 $Q = \lambda L$，由高斯定理 $\Phi = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ 得 $E \cdot 2\pi r L = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0}$，化简得 $E = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r}$。
这表明无限长均匀带电直线周围电场强度与距离成反比，方向沿径向向外（正电荷）或向内（负电荷），具有轴对称性。

方法二：利用电场叠加原理，将带电直线视为无数点电荷的集合，取微元 $dq = \lambda dl$，结合库仑定律计算其在场点产生的电场 $dE$，再对整条直线积分。这个积分式我们不易求解，这里介绍一个巧妙的投影方法：
反过来，如果我们要求半圆形带电体（均匀，电荷线密度也为 $\lambda$），可以用同样的方法进行积分，可证半圆形带电体在圆心处产生的电场强度与相同电荷密度的无限长带电直线在距其 $r$ 处产生的电场相同。

二）无限大均匀带电平面的电场
例2 设有一无限大均匀带电平面，电荷面密度为 $\sigma$，求距离平面为 $r$ 处的电场强度。
选取一垂直于平面的闭合圆柱形高斯面，两底面平行于带电平面且对称分布，面积均为 $S$，侧面与电场方向平行。由于电场方向垂直于平面，故无电通量穿过侧面，而两底面处电场大小相等、方向与法线同向，总电通量为 $\Phi = 2 E S$。
高斯面内包围电荷量为 $Q = \sigma S$，由高斯定理 $\Phi = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ 得 $2 E S = \frac{\sigma S}{\varepsilon_0}$，化简得 $E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$。这表明无限大均匀带电平面两侧电场为匀强电场，方向垂直于平面向外（正电荷）或向内（负电荷）。
【讨论】类比例1的方法二，利用投影的方法，能否可以把无限大平面投影到半球上？

这种等效法是把均匀带电平面上的面元在球心产生的电场强度沿轴线方向的分量与均匀带电半球面上的面元在球心产生的电场强度的大小（不考虑方向）进行等效，但此时的平面与半球面并不完全等效。从矢量叠加效果而言，均匀带电无限大平面在空间某点产生的场强大小并不等于以该点为球心且与平面相切的均匀带电的半球面在球心产生的场强大小。
下面我们来求解均匀带电的半球面在球心产生的场强大小。

如图所示，设半径为 $R$ 的均匀带电的半球面电荷面密度为 $\sigma(\sigma>0)$，球心为 $O$ 点。
在球面上任意取一点 $P$，选一图中面元 $\Delta S$，半径 $OP$ 与对称轴的夹角为 $\theta$，面元 $\Delta S$ 所带电荷量为 $\Delta q=\sigma\Delta S$，当 $\Delta S$ 足够小时，$\Delta q$ 可视为点电荷。
设 $\Delta q$ 在球心处产生的场强为 $\Delta E$，则 $\Delta E=k\frac{\sigma\Delta S}{R^{2}}$。
由对称性可知，只有 $\Delta E$ 沿对称轴方向的分量对球心处的合场强有贡献，其大小为 $\Delta E_{y}=k\frac{\sigma\Delta S}{R^{2}}\cos\theta$。
因 $\Delta S \cdot \cos\theta$ 是 $\Delta S$ 在半球面端面方向上的投影面积，设为 $\Delta S'$，则 $\Delta E_{y}=k\frac{\sigma\Delta S'}{R^{2}}$。
这个表面上的电荷在球心处的场强即该面上所有 $\Delta S$ 上电荷在球心场强的叠加，所以得$E = \sum\Delta E_{y} = \sum k\frac{\sigma\Delta S'}{R^{2}} = k\frac{\sigma}{R^{2}}\sum\Delta S'$
而 $\sum\Delta S'$ 表示半球面在端面上的投影的面积即端面的面积，$\sum\Delta S'=\pi R^{2}$。
所以均匀带电半球面在球心产生的场强大小为 $E=k\pi\sigma=\frac{\sigma}{4\varepsilon_{0}}$，而无限大平面产生的场强大小为 $E=2k\pi\sigma=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$，二者结果相差二倍。[1]
三）均匀带电球壳的电场
例3 一半径为 $R$ 的均匀带电球壳，总电荷量为 $Q$，计算球壳内外电场。
当计算求外电场（$r > R$）时，我们选取半径为 $r$ 的同心球面作为高斯面，由对称性知电场沿径向且在球面上大小处处相等，电通量 $\Phi = 4\pi r^2 E$。包围电荷为 $Q$，由高斯定理得 $E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$，等效于点电荷电场。
当计算球内电场（$r < R$）时，高斯面内无电荷，故 $E = 0$。这表明均匀带电球壳内部场强为零，外部场强分布与点电荷相同。
四）均匀带电实心球体的电场
例4 一半径为 $R$ 的均匀带电实心球体，电荷体密度为 $\rho$，总电荷量为 $Q$，计算球内外电场。
当计算球外电场（$r > R$）时，选取半径为 $r$ 的同心球面作为高斯面，由球对称性可知电场沿径向且在球面上大小处处相等，电通量 $\Phi = 4\pi r^2 E$。高斯面内包围电荷量为 $Q$，由高斯定理得 $E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$，等效于点电荷电场。
当计算球内电场（$r < R$）时，高斯面内包围电荷量为 $Q' = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{Q r^3}{R^3}$，代入高斯定理得 $4\pi r^2 E = \frac{Q r^3}{\varepsilon_0 R^3}$，化简得 $E = \frac{Q r}{4\pi \varepsilon_0 R^3}$。
这表明均匀带电实心球体内部电场随距离线性增大，方向沿径向向外（正电荷）或向内（负电荷），而在球外则等效于全部电荷集中于球心的点电荷电场，整体呈现球对称性。
五）平行板电容器决定式的推导
设两平行金属板带等量异种电荷，电荷量为 $Q$。我们可以取一个长方体高斯面，包裹住其中一个金属板。
由高斯定理得可得 $\Phi = S E = \frac{Q}{\varepsilon_0}$，其中包围的电荷量为 $Q$，且 $U = E d$，结合 $C = \frac{Q}{U}$，代入得 $C = \frac{\varepsilon_0 S}{d} = \frac{S}{4\pi k d}$。
如果有介质填充，则电容变为 $C = \varepsilon_r \varepsilon_0 \frac{S}{d} = \varepsilon_r \frac{S}{4\pi k d}$。
六）均匀带电球体，中间挖空，求挖空部分的电场强度
这个题目的结论很有趣：匀强电场，场强与两球球心连线为半径的带电球产生的电场相同。

设球体单位体积带电荷量为 $\rho$，挖去小球后该带电体可等效为一个带电荷量为 $Q_1 = \frac{4\pi R_1^3 \rho}{3}$ 的带负电大球和一个带电荷量为 $Q_2 = \frac{4\pi R_2^3 \rho}{3}$ 的带正电小球，空腔内任一点的场强就是这两个带电球在该点产生的场强的矢量和，如图所示。
设等效大球在 $c$ 点产生的电场强度大小 $E_1 = k \frac{Q_1 R_{O_1c}}{R_1^3} = k \frac{4\pi \rho}{3} R_{O_1c}$，方向由 $c$ 指向 $O_1$；同理，等效小球 $O_2$ 在 $c$ 点产生的电场强度大小 $E_2 = k \frac{Q_2 R_{O_2c}}{R_2^3} = k \frac{4\pi \rho}{3} R_{O_2c}$，方向由 $O_2$ 指向 $c$。
由矢量运算法则与三角形相似，可得 $c$ 点的电场强度方向由 $O_2$ 指向 $O_1$，$c$ 点电场强度 $E_c = k \frac{4\pi \rho}{3} R_{O_2O_1}$。
综上分析可知：空腔内各点电场强度大小相等、方向相同（由 $O_2$ 指向 $O_1$），即为匀强电场。
七）带电球壳，求其中一小块处的场强

根据静电屏蔽，其他部分和这小块在此处产生的总电场为0，所以求解这一块产生的电场即可。

选取与小块面积相同底面积的小圆柱为高斯面，由于对称性，圆柱侧面没有电场线穿过，外底面有电场穿过，内底面电场为0，根据高斯定理：$E S = \frac{\sigma S}{\varepsilon_0}$

可求得这一小块电场强度为：$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$

【参考文献】[1]郑金.均匀带电无限大平面与半球面电场的等效问题[J].物理教师,2013,34(06):19-20.

【下期预告】光速是怎么推出来的？与波动方程是什么关系？下起我们共同探讨由麦克斯韦方程组推导出波动方程。