JQX/进取芯 席明纳第30期（2026.04.10）一道高考改编题中对能量分配的探究
JQX|Xiao
[题目]：如图，坚硬的水平地面上放置一木料，木料上有一个竖直方向的方孔，方孔各侧壁完全相同。木栓材质坚硬，形状为正四棱台，上下底面均为正方形，四个侧面完全相同且与上底面（水平面）的夹角均为 $\theta = 53^\circ$。木栓质量为 $m = 2 \text{ kg}$，与方孔侧壁的动摩擦因数为 $\mu = 0.75$，最大静摩擦力约等于滑动摩擦力。
将木栓对准方孔，接触但无挤压，此时木料形变为零。锤子以极短时间撞击木栓后反弹，已知锤子对木栓冲量大小为 $I = 8 \text{ N}\cdot\text{s}$，方向竖直向下。木栓在竖直方向前进了位移 $x = 0.1 \text{ m}$ 后速度减为零，未到达方孔底部。重力加速度 $g = 10 \text{ m/s}^2$（已知 $\sin 53^\circ = 0.8$，$\cos 53^\circ = 0.6$）。求在此进入过程中：(1) 木料对木栓的平均阻力大小；
(2) 木栓机械能的损失量；
(3) 木栓前进 $x$ 后，木料对木栓一个侧面的最大滑动摩擦力大小；
(4) 假设方孔侧壁仅发生垂直于侧壁的弹性形变（法向弹簧模型），摩擦力对木栓和木料分别做了多少功？
(5) 支持力对木栓和木料分别做了多少功？
(6) 系统产生的热量是多少？
(7) 支持力对系统做的总功是多少？
(8) 木料获得的弹性势能是多少？
(9) [拓展思考]若假设木料侧壁并非发生法向形变，而是发生整体水平向外的弹性形变（横向膨胀模型），以上（4）至（8）问的结论将如何改变？请计算此模型下摩擦力对木料的做功、系统产生的热量与木料最终获得的弹性势能。
[解析][总体物理图像与运动分析]
锤子撞击木栓后，根据动量定理 $I = m v_0$，木栓初速度 $v_0 = 4 \text{ m/s}$。木栓初动能 $E_{k0} = \frac{1}{2} m v_0^2 = 16 \text{ J}$。下落过程中重力做正功 $W_G = mgx = 2 \text{ J}$。系统输入的总机械能 $E_{总} = E_{k0} + W_G = 18 \text{ J}$。
1）木料对木栓的平均阻力大小
设木料对木栓竖直向上的总阻力为 $\bar{F}_y$。对木栓单体由动能定理得：$W_G – \bar{F}_y x = 0 – E_{k0}$。代入数据得 $2 – \bar{F}_y \times 0.1 = -16$，解得平均阻力大小 $\bar{F}_y = 180 \text{ N}$。
2）木栓机械能的损失量
木栓损失的机械能等于克服除重力外所有力做的功：$\Delta E_{栓损} = \bar{F}_y x = 180 \times 0.1 \text{ J} = 18 \text{ J}$。
3）最大静摩擦力大小
因形变从零开始且弹力呈线性变化，总阻力与位移成正比。末端位移 $x = 0.1 \text{ m}$ 处总阻力最大：$F_{y,\max} = 2\bar{F}_y = 360 \text{ N}$。设此时一个侧面的最大弹力为 $N_{\max}$，最大静摩擦力 $f_{\max} = \mu N_{\max}$。四个面的竖直受力平衡：$F_{y,\max} = 4N_{\max} \cos 53^\circ + 4f_{\max} \sin 53^\circ$。代入得 $360 = 4\frac{f_{\max}}{0.75} \times 0.6 + 4f_{\max} \times 0.8 = 6.4f_{\max}$。解得 $f_{\max} = 56.25 \text{ N}$。
4）摩擦力对木栓和木料分别做功（法向模型）
摩擦力沿斜面方向。木栓竖直向下位移为 $x$，其在斜面方向的分位移为 $x \sin 53^\circ$。
对木栓做功：滑动摩擦力始终阻碍木栓相对运动，做负功。结合后续力学几何比例可知，摩擦力竖直分力所做的总功为 $9 \text{ J}$，故摩擦力对木栓做功 $W_{f,栓} = -9 \text{ J}$。
对木料做功：法向模型下，木料仅有垂直斜面向里的位移，沿斜面切向位移为 $0$。力与位移垂直，故摩擦力对木料做功 $W_{f,料} = 0 \text{ J}$。
5）支持力对木栓和木料分别做功（法向模型）
对木栓做功：支持力斜向上，阻碍木栓下落。由于阻力总功为 $-18 \text{ J}$，摩擦力分担了 $-9 \text{ J}$，故支持力对木栓做功 $W_{N,栓} = -9 \text{ J}$。
对木料做功：木料在法向向里发生退让位移 $d_{法向} = x \cos 53^\circ$。支持力方向与位移方向相同，做正功。根据作用力与反作用力做功特性，位移在力方向投影相等，故 $W_{N,料} = +9 \text{ J}$。
6）系统产生的热量
系统产生的热量等于一对摩擦力做功的代数和的绝对值：$Q = |W_{f,栓} + W_{f,料}| = |-9 + 0| \text{ J} = 9 \text{ J}$。
7）支持力对系统做的总功
$W_{N,总} = W_{N,栓} + W_{N,料} = -9 \text{ J} + 9 \text{ J} = 0 \text{ J}$。（注：一对不发生脱离的接触面间的弹力，对系统做功之和永远为零）。
8）木料获得的弹性势能
木料动能未变，根据动能定理，木料吸收的总功转化为弹性势能：$E_p = W_{N,料} + W_{f,料} = 9 \text{ J} + 0 \text{ J} = 9 \text{ J}$。（亦可由系统能量守恒验证：$E_{总} = E_p + Q \implies 18 \text{ J} = E_p + 9 \text{ J}$，故 $E_p = 9 \text{ J}$）。
木栓共减少18焦耳的机械能，减少的能量有两个流向，通过克服摩檫力做功产生9J热量，支持力充当了搬运工的角色，对木栓做负功，对木块做正功，将木栓剩下的9J的机械能转移到木料的弹性势能中，能量流动如下图所示：
9）[教研拓展]横向膨胀模型下的真实能量分配
若木料发生整体水平向外的膨胀，则几何位移发生根本改变。木料水平向外位移 $d_{平} = x \cot 53^\circ = 0.075 \text{ m}$。在此模型下，弹力和摩擦力依然必须提供共计 $180 \text{ N}$ 的平均竖直阻力。
摩擦力对木料做功：摩擦力斜向下，具有水平向内的分力，阻碍木料向外膨胀，做负功。$W_{f,料} = \bar{f}_{总} \cos 53^\circ \times (-d_{平}) = -5.0625 \text{ J}$。
支持力对木料做功：$W_{N,料} = \bar{N}_{总} \sin 53^\circ \times d_{平} = +9 \text{ J}$。（弹力正功在此模型下依然为 $9 \text{ J}$）。
系统产生的热量 $Q$：$Q = |W_{f,栓} + W_{f,料}| = |-9 \text{ J} + (-5.0625 \text{ J})| = 14.0625 \text{ J}$。
木料获得的弹性势能 $E_p$：$E_p = W_{N,料} + W_{f,料} = 9 \text{ J} – 5.0625 \text{ J} = 3.9375 \text{ J}$。
结论：在横向膨胀模型中，由于摩擦力对木料做负功，消耗了弹力做的一部分正功，导致最终转化成的弹性势能减少（$3.9375 \text{J}$），而摩擦生热因为相对滑动路程变长而增加（$14.0625 \text{J}$）。能量总和 $14.0625 + 3.9375 = 18 \text{J}$，系统能量依然守恒。能量流动如下图所示：
