JQX/进取芯 席明纳第26期（2026.03.04）
一、一些光学结论和公式
折射率的表达式为 $n = \sin\theta_i / \sin\theta_r$
如果两个介质均为非真空，则有 $n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$；
光速之比 $v_1/v_2 = \frac{c/n_1}{c/n_2} = \frac{n_2}{n_1}$，
波长之比 $\lambda_1/\lambda_2 = \frac{v_1/f}{v_2/f} = v_1/v_2 = \frac{n_2}{n_1}$。
二、全反射
1.例题
光纤直径为 $d$，绕半径为 $r$ 的圆柱转弯，如图所示，若光纤介质折射率为 $n$，能令光线在光纤中连续全反射的最小圆柱半径为多大（设光纤周围为空气）？
如图，沿着 AB行进的光，入射角最小，最不易发生全反射。
故光线AB 在 $B$ 处产生全反射的条件为极值：
$n \times \sin \theta \geq 1 \times \sin 90^\circ \implies n \sin \theta \geq 1$
根据几何关系，$\sin \theta = \frac{r}{r+d}$ 代入上式
则 $n \times \frac{r}{r+d} \geq 1 \implies r \geq \frac{d}{n-1}$
2.海市蜃楼和沙漠蜃景
首先是海市蜃楼，其成因源于近地面空气层温度梯度导致的折射率连续变化：海面温度较低、密度较大，折射率较高；而上层空气温度升高，折射率逐渐减小。这一折射率梯度使光线轨迹呈向上凸的曲线，当来自远处物体的光线自下而上射入该梯度场时，路径发生连续弯曲，最终以大于临界角的角度入射至低折射率层，触发全反射，使观察者看到位于上方的虚像
相比之下，沙漠蜃景则呈现在下方的虚像：此时地表温度极高，下层空气折射率显著低于上层，光线自下而上穿过梯度介质时向下弯曲，在观察者眼中反向延长线汇聚于地面之下，形成如水洼般的虚像。我们乘坐汽车时常于前挡风玻璃下方观察到路面“积水”幻影，其本质正是沙漠蜃景的典型表现——光线在近地表高温薄层中发生全反射所致。
三、透镜
3.透镜的成像公式是 $\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v}$，这个公式中 $v$ 和 $f$ 可以有正负，这取决于透镜的类型与光路方向。
例题：试求 $u+v$ 的最小值。
我们可以用权方和不等式（一种柯西不等式的推广形式）来证明。
权方和不等式（对于正数）的一种常见形式是： $\frac{a^2}{x} + \frac{b^2}{y} \ge \frac{(a+b)^2}{x+y}$，当且仅当 $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$ 时取等。
已知 $\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}$，且 $u, v, f > 0$。
由权方和不等式，取 $a = 1, b = 1$，则$\frac{1^2}{u} + \frac{1^2}{v} \ge \frac{(1+1)^2}{u+v}$
即 $\frac{1}{u} + \frac{1}{v} \ge \frac{4}{u+v}$
代入已知条件 $\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}$，得 $\frac{1}{f} \ge \frac{4}{u+v}$可得 $u+v \ge 4f$
等号成立当且仅当 $\frac{1}{u} = \frac{1}{v}$，即 $u = v$。故 $u = 2f$，从而 $v = 2f$。
因此，$u+v$ 的最小值为 $4f$，当且仅当 $u = v = 2f$ 时取到。
关于权方和不等式的应用，还可以证明异种电荷间电场的极小值点位置。
例题：设两个点电荷带电量分别为 $+4Q$ 和 $-Q$，相距 $d$，求两电荷间电场的极小值点位置。
在它们连线上取一点 $P$，到正电荷的距离为 $x$，则到负电荷的距离为 $d-x$（$0 < x < d$）。在两点电荷之间，电场方向相同，合场强大小为
$E = k\left( \frac{4Q}{x^2} + \frac{Q}{(d-x)^2} \right) = kQ\left( \frac{4}{x^2} + \frac{1}{(d-x)^2} \right)$，
其中 $k$ 为静电力常量。令 $u = x$，$v = d – x$，则 $u + v = d$，且
$E = kQ\left( \frac{4}{u^2} + \frac{1}{v^2} \right)$。
利用权方和不等式（$p=2$ 的情形）：对于正数 $a, b, u, v$，
有$\frac{a^3}{u^2} + \frac{b^3}{v^2} \ge \frac{(a+b)^3}{(u+v)^2}$，当且仅当 $\frac{a}{u} = \frac{b}{v}$等号成立。
取 $a = \sqrt[3]{4}$，$b = 1$，则$\frac{4}{u^2} + \frac{1}{v^2} = \frac{(\sqrt[3]{4})^3}{u^2} + \frac{1^3}{v^2} \ge \frac{(\sqrt[3]{4} + 1)^3}{(u+v)^2} = \frac{(1+\sqrt[3]{4})^3}{d^2}$。
因此$E \ge kQ \cdot \frac{(1+\sqrt[3]{4})^3}{d^2}$。
等号成立时 $\frac{\sqrt[3]{4}}{u} = \frac{1}{v}$，即 $v = u / \sqrt[3]{4}$，结合 $u+v = d$
解得$u = \frac{\sqrt[3]{4}}{1+\sqrt[3]{4}}\,d,\quad v = \frac{1}{1+\sqrt[3]{4}}\,d$。
此时电场强度取最小值 $E_{\min} = kQ \dfrac{(1+\sqrt[3]{4})^3}{d^2}$。
4.单球面折射成像公式
如图，半径为 $r$ 的玻璃，一近轴光线从光轴上的 $O$ 点出发，经球面折射后交光轴于 $I$ 点。
由折射定律：$n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$
因 $i_1,i_2$ 很小，故 $\sin i_1 \approx i_1$，$\sin i_2 \approx i_2$，得：$n_1 i_1 = n_2 i_2 \tag{1}$
由几何关系：$i_1 = \alpha + \theta,\quad i_2 = \theta – \beta$
可得：$n_1(\alpha + \theta) = n_2(\theta – \beta)$
整理得：$n_1 \alpha + n_2 \beta = (n_2 – n_1)\theta \tag{2}$
近轴条件下 $\delta \ll u,v,r$，根据小角度近似：
$\alpha \approx \tan\alpha = \frac{h}{u+\delta} \approx \frac{h}{u},\quad
\beta \approx \tan\beta = \frac{h}{v},\quad
\theta \approx \tan\theta = \frac{h}{r}$
将 $\alpha,\beta,\theta$ 代入得：$n_1 \cdot \frac{h}{u} + n_2 \cdot \frac{h}{v} = (n_2 – n_1) \cdot \frac{h}{r}$
约去 $h$，得到单球面折射成像公式：${\frac{n_1}{u} + \frac{n_2}{v} = \frac{n_2 – n_1}{r}}$
当物方为空气（$n_1=1$）、像方介质折射率为 $n$（即 $n_2=n$）时，公式简化为：${\frac{1}{u} + \frac{n}{v} = \frac{n – 1}{r}}$
5.薄透镜成像公式
薄透镜（厚度远小于物距、像距及球面曲率半径，两球面顶点近似重合于光心 $O$），
透镜折射率为 $n$，两侧均为空气（折射率 $n_0=1$），光线满足近轴条件（$\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta$），符号约定为实物、实像及球心在出射侧时对应物理量为正。
设物距为 $u$（实物 $u>0$），像距为 $v$（实像 $v>0$），左球面曲率半径为 $R_1$（凸面朝向物方，球心在右侧），右球面曲率半径为 $R_2$（凹面朝向像方，球心在左侧），薄透镜成像可视为光线经左、右两个球面先后折射的叠加过程，具体推导如下：
首先，物点 $A$ 发出的光线经左球面（空气→玻璃）发生第一次折射，物方介质为空气（$n_1=1$），像方介质为玻璃（$n_2=n$），
根据单球面折射公式 $\frac{n_1}{u} + \frac{n_2}{v_1} = \frac{n_2 – n_1}{R_1}$，代入 $n_1=1$、$n_2=n$，
可得 $\frac{1}{u} + \frac{n}{v_1} = \frac{n-1}{R_1}$，
其中 $v_1$ 为第一次折射在玻璃中的像距，若无右球面，光线将在玻璃中会聚于 $v_1$ 处。
接着进行第二次折射，即光线经右球面（玻璃→空气）的折射，此时第一次折射所成的像成为右球面的物，因透镜极薄，右球面的物距为 $-u_2=-v_1$（虚物，物在右球面像方一侧，故物距为负），右球面物方介质为玻璃（$n_1=n$），像方介质为空气（$n_2=1$），
代入单球面折射公式 $\frac{n_1}{u_2} + \frac{n_2}{v} = \frac{n_2 – n_1}{R_2}$，可得 $\frac{n}{-v_1} + \frac{1}{v} = \frac{1 – n}{R_2}$。
将两次折射的公式左右分别相加，中间项 $\frac{n}{v_1}$ 与 $-\frac{n}{v_1}$ 相互抵消，整理后得到 $\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{n-1}{R_1} + \frac{1 – n}{R_2}$，
进一步化简为 $\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = (n-1)\left( \frac{1}{R_1} – \frac{1}{R_2} \right)$。
当物在无穷远（$u \to \infty$，平行光入射）时，像成在透镜焦点 $F$ 处，此时像距 $v=f$（焦距），代入上式，因 $\frac{1}{\infty}=0$，可得焦距公式 $\frac{1}{f} = (n-1)\left( \frac{1}{R_1} – \frac{1}{R_2} \right)$，
因此薄透镜物像公式可简化为更简洁的高斯公式 $\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}$。
四、虹和霓的形成
6.虹（光在水珠中的一次反射后出射）
太阳光为平行光，入射到球形水滴（水的折射率 $n \approx 1.331$），设入射角为 $i$，折射角为 $r$，法线为水滴球心与入射点的连线。光线从空气（折射率 $n_1=1$）入射到水滴（折射率 $n_2=n$），由折射定律可知 $\frac{\sin i}{\sin r} = n$，即 $\sin i = n \sin r$。
光线在水滴内经历一次折射、一次内反射、一次出射折射，第一次折射时光线偏折 $i – r$，水滴内反射时偏折 $\pi – 2r$，第二次出射折射时偏折 $i – r$，
总偏向角为这三次偏折之和，即 $\delta = (i – r) + (\pi – 2r) + (i – r) = 2i – 4r + \pi$。
我们观测到的彩虹仰角 $\theta$，是出射光线与入射太阳光的夹角，也就是总偏向角的补角，化简后可得 $\theta = 4r – 2i$。
太阳光包含各种入射角的平行光，只有当总偏向角取极小值时，大量光线会汇聚形成高亮度的彩虹，因此我们只需找到总偏向角取极小值时的角度即可。
对总偏向角关于入射角 $i$ 求导并令导数为0，可得 $\frac{d\delta}{di} = 2 – 4\frac{dr}{di} = 0$，进一步得出 $\frac{dr}{di} = \frac{1}{2}$。
对 $\sin i = n \sin r$ 两边关于 $i$ 求导，得到 $\cos i = n \cos r \cdot \frac{dr}{di}$，将 $\frac{dr}{di} = \frac{1}{2}$ 代入，可推出 $\cos i = \frac{n}{2} \cos r$。
联立 $\sin i = n \sin r$ 与 $\cos i = \frac{n}{2} \cos r$，将两式平方相加，利用 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$，代入 $\sin^2 r = 1 – \cos^2 r$ 化简后，
可解出 $\cos r = 2\sqrt{\frac{n^2 – 1}{3n^2}}$。
将水的折射率 $n \approx 1.331$ 代入上式，计算得出 $\cos r \approx 0.7648$，进而求得 $r \approx 40.1^\circ$；再根据 $\sin i = n \sin r$，
可算出 $\sin i \approx 0.8573$，即 $i \approx 58.9^\circ$。
最后将 $i$ 和 $r$ 代入仰角公式 $\theta = 4r – 2i$，计算可得 $\theta \approx 42.6^\circ$，约为42°。
由此可见，彩虹仰角仅由水的折射率决定，是固定值。
太阳光作为复色光，在水滴中传播时发生色散现象，不同色光的折射率 $n$ 不同，导致最终出射的仰角 $\theta$ 不同，形成固定的颜色顺序。
计算得仰角约为 $42.6^\circ$；紫光波长最短，折射率最大（约 $n_{\text{紫}} \approx 1.342$），计算得仰角约为 $40.7^\circ$。
由于仰角越大，对应的色光在彩虹上的位置越靠外，因此主虹呈现外红内紫的颜色顺序，这是由不同色光的折射率差异导致的仰角分化决定的。
7.霓（副虹，光在水珠中的两次反射后出射）
副虹由光线在水滴内经历两次内反射形成，其光路为：入射折射 $\to$ 第一次内反射 $\to$ 第二次内反射 $\to$ 出射折射。
设入射角为 $i$，折射角为 $r$，每次折射的偏折角为 $i-r$，每次内反射的偏折角为 $\pi-2r$，
则总偏向角 $\delta$ 为各阶段偏折角之和，即 $\delta = (i-r) + 2(\pi-2r) + (i-r) = 2\pi + 2i – 6r$。
观测到的副虹仰角 $\theta$ 为入射光线与出射光线的夹角，满足 $\theta = \delta – \pi = \pi + 2i – 6r$。
与主虹推导逻辑一致，副虹的可见性源于偏向角取极值，对 $\delta$ 关于 $i$ 求导并令导数为0，可得 $\frac{d\delta}{di} = 2 – 6\frac{dr}{di} = 0$，
即 $\frac{dr}{di} = \frac{1}{3}$。
对斯涅尔定律 $\sin i = n \sin r$ 两边求导，得 $\cos i = n \cos r \cdot \frac{dr}{di}$，代入极值条件得 $\cos i = \frac{n}{3} \cos r$。
联立 $\sin i = n \sin r$ 与 $\cos i = \frac{n}{3} \cos r$，平方相加后化简得 $\cos r = \sqrt{\frac{9(n^2-1)}{8n^2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}\frac{\sqrt{n^2-1}}{n}$。
代入水的折射率 $n \approx 1.33$ 计算，可得 $r \approx 45.6^\circ$，$i \approx 71.9^\circ$，再代入仰角公式 $\theta = \pi + 2i – 6r$，
计算得副虹仰角约为 $50.1^\circ \sim 53.4^\circ$（不同色光略有差异），这就是副虹的固定观测角度。
从仰角公式的本质来看，主虹仰角 $\theta_1 = 4r – 2i$，副虹仰角 $\theta_2 = 6r – 2i – \pi$。
结合折射率与角度的关系可知，主虹中折射率越小的红光（$n$ 小），仰角越大（位于外侧）；而副虹的仰角公式结构与主虹互补，折射率越小的红光，计算出的仰角反而越小（位于内侧），因此副虹呈现外紫内红的色序，与主虹完全相反。
副虹因经历两次内反射，光能损失更多，亮度显著低于主虹，且其仰角范围与主虹存在重叠区域，共同构成了双彩虹景观。
从公式层面也可证明，只有当水滴折射率满足一定条件时，主、副虹的极值角度才会同时存在，这就是我们能观测到虹与霓相伴出现的物理依据。
这里有一个模拟动画，模拟了不同色光在不同入射高度的出射光路，可以参考：https://assets.qiusir.com/rainbow4.html
JQX|Jin
【下期预告】
假设地球有一个贯穿的洞，从洞的上空下落一个小球完成一次完整周期需要多久时间？从简谐振动到开普勒方程求小球的运动周期。