运动合成分解的进阶应用

JQX/进取芯 席明纳第28期（2026.03.26）

运动合成分解的进阶应用

JQX|Jin
一、受空气阻力的抛体运动分析
例题：一小球在距地面高度$h$处以初速度$v_0$沿水平抛出，空气阻力大小与速度成正比，方向与速度相反经$t$时间后落地，落地时速度方向与水平夹角为$\theta$，重力加速度为$g$，求落地速度和水平位移。
本题的关键在于阻力也可以分解为水平竖直两个方向，且两个方向的阻力大小依然就两个方向速度成正比。
（1）落地速度
对竖直方向动量定理分析，向下为正。
$mv_0\sin\theta – 0 = mgt – \sum kv_y\Delta t = mgt – kh$ 即可解出速度。
（2）水平位移
$mv\cos\theta – mv_0 = -\sum kv_x\Delta t = -kx$ 即可解出水平位移。
这里qiusir补充了一个很帅的例题：
[湖南2025高考9题]如图，关于$x$轴对称的光滑导轨固定在水平面内，导轨形状为抛物线，顶点位于$O$点。一足够长的金属杆初始位置与$y$轴重合，金属杆的质量为$m$，单位长度的电阻为$r_0$。整个空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为$B$。现给金属杆一沿$x$轴正方向的初速度$v_0$，金属杆运动过程中始终与$y$轴平行，且与电阻不计的导轨接触良好。下列说法正确的是（　　）

A．金属杆沿$x$轴正方向运动过程中，金属杆中电流沿$y$轴负方向
B．金属杆可以在沿$x$轴正方向的恒力作用下做匀速直线运动
C．金属杆停止运动时，与导轨围成的面积为$\frac{mv_0r_0}{B^2}$
D．若金属杆的初速度减半，则金属杆停止运动时经过的距离小于原来的一半
这里我们分析C选项。
水平方向列动量定理$-\sum BIL\Delta t = 0 – mv_0$
带入电流表达式$-\sum B \cdot \frac{BLv}{r_0 \cdot L} \cdot L\Delta t = -mv_0$
求和可得$\sum \frac{B^2L\Delta x}{r_0} = mv_0$ 这里长度随位移是变量，与小段位移求和即为面积。
即$\frac{B^2S}{r_0} = mv_0$，解得$S = \frac{mv_0r_0}{B^2}$
二、靠墙斜杆中点的运动分析
[2025-2026学年度12月份T8考试]一轻质杆AB，初始时紧靠在光滑的竖直墙面上竖直静止放置，杆长为$2l$，在其中点C处固定一个质量为$m$的小球，现使A端不脱离墙面，B端沿着光滑地面以速度$v$向右匀速运动，当杆与地面成$\alpha$角时，则

A．小球的速度大小为$\frac{v}{2\cos\alpha}$
B．小球做匀速圆周运动
C．当$\alpha=45^\circ$时，杆对小球的作用力大小为$\frac{mv^2}{2l}$
D．当$\alpha=45^\circ$时，杆对小球做的功为$\frac{mv^2}{4}$
（1）求小球的速度
法1：由于中点到O点的距离始终不变，所以运动的路径是圆周，速度方向时刻垂直于与O点连线。根据速度关联，沿杆速度为$v\cos\alpha$，由图中几何关系得，小球在 $C$ 点速度方向与杆的夹角为 $|2\alpha-90^\circ|$，沿杆方向的分速度为 $v_C\cos|2\alpha-90^\circ|$，则有 $v\cos\alpha=v_C\cos|2\alpha-90^\circ|$ 解得 $v_C=\dfrac{v}{2\sin\alpha}$
法2：瞬心法
刚体平面运动中，某一瞬时速度为零的点，称为刚体在该瞬时的转动瞬心（瞬时速度中心，简称瞬心）。对做平面运动的杆来说，它的运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动；而瞬心的本质，是在这一瞬间，整个杆可以被看作纯绕瞬心做定轴转动。
这里需要注意的是瞬心是一个不断变化的 “瞬时” 点，会随着运动进行位置的改变的。
杆上各点的速度方向，都垂直于该点到瞬心，连线杆上任意一点的速度大小为 $v=\omega \cdot r$（$r$ 是该点到瞬心的距离，$\omega$ 是杆的角速度），方向与连线垂直，指向转动方向。
那么，我们该如何判断瞬心的位置呢？
求瞬心法1：两点速度垂线法
已知杆上两点 A、B 的速度 $v_A$、$v_B$ 方向，分别过 A、B 作速度方向的垂线，两条垂线的交点就是该瞬时的瞬心 P。若 $v_A$、$v_B$ 平行且大小相等：杆此时做瞬时平动，角速度 $\omega=0$，没有有限位置的瞬心（可认为瞬心在无穷远处）。
求瞬心法2：速度分解法
以杆上任意一点为基点（比如 A），杆上另一点 B 的速度满足：$v_B = v_A + v_{B相对A}$，其中 $v_{B相对A}$ 是 B 绕 A 转动的速度，方向垂直于杆。通过矢量合成找到速度为零的点，即为瞬心。
那么，本题中瞬心为黑板中O’点，
对应的角速度$\omega = \frac{v}{L \cdot \sin\alpha}$
可求中点的瞬时速度 $v = \omega \cdot \frac{L}{2} = \frac{v}{2\sin\alpha}$
法3：速度比例法
在水平方向上，中点C的位置永远是B点的一半，那么水平速度永远是B点速度的一半。
同理，在竖直方向上，中点C的位置永远是A点的一半，那么竖直速度永远是A点速度（根据速度关联可求）的一半。
那么，我们就可以通过水平竖直的运动合成求出速度大小。
（2）求杆对球的作用力
根据上一问法3分析，小球水平方向匀速，可得杆对小球的作用力必须沿着竖直方向，由指向圆心的合外力提供向心力，即
$F_N – mg = m\frac{v_C^2}{l}$ 得 $F_N = mg + m\frac{v^2}{4l\cos^2\alpha}$
（3）求整个杆上速度最小的点
法1：沿杆速度为$v\cos\alpha$，当垂直杆速度为0时，总速度最小。
法2：定义瞬心后，杆上所有点对瞬心角速度相同，所以过瞬心对杆做垂线，垂足处速度最小。
三、伸缩架上点的运动分析
例题：如图所示，伸缩架由两个光滑铰接的正方形组成，左侧正方形边长为 $2l$，右侧正方形边长为 $l$。桁架的左端点固定在 O 点，在最右端 D 点施加恒定水平拉力，使 D 点速度保持为 $v$。某时刻桁架所有内角均为直角，求此时 A 点的速度 $v_A$ 和 B 点的速度 $v_B$ 的大小与方向。

（1）A 点的速度 $v_A$
两个正方形的公共铰接点为 C，外力作用点为右端点 D。
由几何关系，此时 O 到 C 的水平距离 $x_C = \frac{2}{3}x_D$，对时间求导可得：
$v_C = \frac{2}{3}v$
A 点绕 O 点做圆周运动，因此速度方向必然垂直于杆 OA。
沿杆方向的分速度为：
$v_{C\parallel} = v_C \cos45^\circ = \frac{2}{3}v \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}v$
A 点的速度 $v_A$ 垂直于杆 OA，其沿杆 AC 方向的分速度等于 $v_{C\parallel}$，因此：
$v_A = \frac{v_{C\parallel}}{\cos45^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{3}v}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{3}v = \frac{\sqrt{2}}{3}v$
方向：垂直于杆 OA，斜向左上方（与水平方向夹角 $135^\circ$）。
（2）B 点的速度 $v_B$
法一：
B点同时属于杆CB和杆BD，需两次利用“杆两端速度沿杆分量相等”的约束关系：
C点速度$v_C$水平向右，与CB杆夹角为$45^\circ$，其沿CB杆的分量为：
$v_{C\parallel} = v_C \cos45^\circ = \frac{2}{3}v \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}v$
因此B点速度沿CB杆的分量为：
$v_1 = v_{C\parallel} = \frac{\sqrt{2}}{3}v$

D点速度$v$水平向右，与BD杆夹角为$45^\circ$，其沿BD杆的分量为：
$v_{D\parallel} = v \cos45^\circ = v \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}v$
因此B点速度沿BD杆的分量为：
$v_2 = v_{D\parallel} = \frac{\sqrt{2}}{2}v$

由于CB杆与BD杆互相垂直，分量$v_1$与$v_2$互相垂直，因此B点的合速度大小为：
$v_B = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$
代入$v_1 = \frac{\sqrt{2}}{3}v$、$v_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}v$：
$v_B = \frac{\sqrt{26}}{6}v$
速度方向：与CB杆方向的夹角$\theta$满足$\tan\theta = \frac{v_2}{v_1} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}v}{\frac{\sqrt{2}}{3}v} = \frac{3}{2}$，即$\theta = \arctan\frac{3}{2}$。
[思考]法1能直接合成的原因，是本题两个方向速度互相垂直。如果本题末态两个杆不再垂直，能否根据运动的矢量进行合成？
不能。计算的两个分速度，是实际运动在两个杆上的投影，应该做两个速度的垂线，交点即为实际速度末端点（肖老师补充，很帅）。
这里qiusir补充了一个场力下，已知沿两个斜面运动小球的加速度（也可以理解为两次投影的加速度），同样的不能直接把加速度进行矢量合成，可以做垂线合成。
法2：以C为参考系
以C为参考系，则B绕C做圆周运动，方法与求A速度相同。最后要记得把换系的速度加回。

四、弹性绳末端的运动分析
这道题来源于2025-2026学年度12月份T8考试
如图，光滑的竖直墙面上A处和B处各有一个钉子，二者处于同一水平高度，间距为$l$，有一轻质弹性绳，原长为$l$，劲度系数为$k$，一端由A处钉固定，另一端系有一质量为$m$的小球，其中$g$为重力加速度，B处钉恰好处于弹性绳下面，钉子和小球都可视为质点，现将小球水平向右拉伸到与A处钉距离为$2l$的C点，将小球由静止释放，则下列说法正确的是（　　）

A．小球在水平和竖直两个方向的分运动均为简谐运动
B．小球将与B处钉发生碰撞
C．小球的运动轨迹为一条直线
D．当小球第一次运动至B处钉的正下方时，其速度方向水平向左

A选项：以B点为原点，向右为$x$轴正方向，向下为$y$轴正方向，对小球在水平方向的受力为$F_x = -k(x + \frac{l}{2})$，竖直方向的受力为$F_y = -ky + mg$，
两个力均满足简谐运动的表达式，水平简谐分运动的平衡位置在$x = -\frac{l}{2}$处，竖直简谐分运动的平衡位置在$y = \frac{mg}{k}$处。
C选项：根据简谐运动，可知小球的水平位置坐标可表示为$x = \frac{3l}{2}\cos(\omega t) – \frac{l}{2}$，竖直位置坐标可表示为$y = -\frac{mg}{k}\cos(\omega t) + \frac{mg}{k}$
运动轨迹所满足的方程为$y = -\frac{mg}{k} \cdot \frac{x + \frac{l}{2}}{\frac{3l}{2}} + \frac{mg}{k} = -\frac{2mg}{3kl}(x + \frac{l}{2}) + \frac{mg}{k}$，是一次函数，图像为直线。
这个小球的运动，是以$(0, \frac{mg}{k})$坐标为平衡位置的简谐运动，出发点就是最远点。
这里发现一个有趣的结论：一个简谐运动沿正交分解，两个分运动依然是简谐运动。
一个简谐运动沿斜交分解，两个分运动依然是简谐运动。

【下期预告】下一期，K2304班张耘铭同学带来近期的个人研究成果：匀变速曲线运动中平均速度的应用