JQX/进取芯 席明纳第38期（2026.10.22）三星问题
JQX|Xiao
一、问题背景
在木星轨道前方和后方有上万颗已经发现的特洛伊小行星群群，它们分别由希腊阵营和特洛伊阵营的英雄命名，轨道的公转周期与木星相同。在两个大质量星体组成的系统中，存在五个特殊位置，在这些位置放置一个小行星，能在公转系统中达到引力平衡。1760年，欧拉发现了与两个星体共线的三个引力平衡点；拉格朗日在1772年发现了另外两个等边三角形平衡点。欧拉发现的三个点：$L_1$、$L_2$、$L_3$ 是鞍点；拉格朗日发现的 $L_4$、$L_5$ 是不稳定平衡点。那么这三个星体为什么刚好构成等边三角形，又为什么是不稳定平衡点却能聚集特洛伊行星群，以上是本期讨论的内容。
设空间中有三颗星体，质量分别为 $m_1$、$m_2$、$m_3$，系统总质量为 $M = m_1 + m_2 + m_3$。三颗星体在彼此的万有引力作用下绕共同的圆心 $O$ 以相同角速度 $\omega$ 做匀速圆周运动。设各星体相对于公转圆心 $O$ 的位置矢量分别为 $\vec{r}_1$、$\vec{r}_2$、$\vec{r}_3$。
二、公转圆心与质心
每颗星体做圆周运动所需的向心力，全部由另外两颗星体对其的万有引力提供。根据牛顿第二定律，星体 1 的运动方程为：$\vec{F}_{21} + \vec{F}_{31} = m_1 \omega^2 \vec{r}_1$；星体 2 的运动方程为：$\vec{F}_{12} + \vec{F}_{32} = m_2 \omega^2 \vec{r}_2$；星体 3 的运动方程为：$\vec{F}_{13} + \vec{F}_{23} = m_3 \omega^2 \vec{r}_3$。
将三颗星体的向心力矢量相加：$(\vec{F}_{21} + \vec{F}_{12}) + (\vec{F}_{31} + \vec{F}_{13}) + (\vec{F}_{32} + \vec{F}_{23}) = m_1 \omega^2 \vec{r}_1 + m_2 \omega^2 \vec{r}_2 + m_3 \omega^2 \vec{r}_3$。根据牛顿第三定律，星体间引力互为作用力与反作用力，因此等式左边六个内力的合力为零，从而得到：$m_1 \omega^2 \vec{r}_1 + m_2 \omega^2 \vec{r}_2 + m_3 \omega^2 \vec{r}_3 = 0$。
由于角速度 $\omega \neq 0$，等式两边同除以 $\omega^2$，可得：$m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2 + m_3 \vec{r}_3 = 0$。再根据质心矢量的定义式：$\vec{r}_C = \frac与系统的质心 $C$ 重合，三颗星体均以系统质心为圆心做匀速圆周运动。
三、等边三角形
以系统质心 $C$ 为原点，定义星体 1 指向星体 2 的边矢量为 $\vec{r}_{12} = \vec{r}_2 – \vec{r}_1$，星体 1 指向星体 3 的边矢量为 $\vec{r}_{13} = \vec{r}_3 – \vec{r}_1$。代入质心关系式中将星体 1 受到的向心力在两个边上进行分解：$m_1 \vec{r}_1 + m_2(\vec{r}_1 + \vec{r}_{12}) + m_3(\vec{r}_1 + \vec{r}_{13}) = 0$，整理得到 $\vec{r}_1 = -\frac{m_2 \vec{r}_{12} + m_3 \vec{r}_{13}}{M}$。
因此，星体 1 所需的指向质心的向心力矢量为：$\vec{F}_{1} = -m_1 \omega^2 \vec{r}_1 = \frac{m_1 m_2 \omega^2}{M}\vec{r}_{12} + \frac{m_1 m_3 \omega^2}{M}\vec{r}_{13}$。而星体 1 实际受到的两颗星的万有引力合力为：$\vec{F}_{21} + \vec{F}_{31} = \frac{G m_1 m_2}{r_{12}^3}\vec{r}_{12} + \frac{G m_1 m_3}{r_{13}^3}\vec{r}_{13}$。
由于合引力提供向心力，两式相等：$\frac{G m_1 m_2}{r_{12}^3}\vec{r}_{12} + \frac{G m_1 m_3}{r_{13}^3}\vec{r}_{13} = \frac{m_1 m_2 \omega^2}{M}\vec{r}_{12} + \frac{m_1 m_3 \omega^2}{M}\vec{r}_{13}$。沿 $\vec{r}_{12}$ 方向有：$\frac{G m_1 m_2}{r_{12}^3} = \frac{m_1 m_2 \omega^2}{M}$，由此解得 $r_{12}^3 = \frac{GM}{\omega^2}$；沿 $\vec{r}_{13}$ 方向有：$\frac{G m_1 m_3}{r_{13}^3} = \frac{m_1 m_3 \omega^2}{M}$，由此解得 $r_{13}^3 = \frac{GM}{\omega^2}$。同理，对星体 2 或星体 3 进行受力分解，可得到 $r_{23}^3 = \frac{GM}{\omega^2}$。
因此：$r_{12} = r_{23} = r_{31} = L = (\frac{GM}{\omega^2})^{1/3}$。三颗星体之间的距离全部相等，只能构成正三角形。
四、开普勒第三定律的普适性
由周期与角速度关系 $\omega = \frac{2\pi}{T}$，将上述结果代入可得：$\frac{L^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2}$。
1. 单星环绕模型：轨道半径为 $R$，中心天体质量为 $M_0$，满足公式 $\frac{R^3}{T^2} = \frac{GM_0}{4\pi^2}$。
2. 双星运动模型：星体间距为 $L$，系统总质量为 $M = m_1 + m_2$，满足公式 $\frac{L^3}{T^2} = \frac{G(m_1 + m_2)}{4\pi^2}$。
3. 三星正三角形模型：三角形边长为 $L$，系统总质量为 $M = m_1 + m_2 + m_3$，满足公式 $\frac{L^3}{T^2} = \frac{G(m_1 + m_2 + m_3)}{4\pi^2}$。
由此可见，无论是单星、双星还是等边三角形三星系统，开普勒第三定律的表达形式完全一致。
五、有效势能
物体在转动参考系中受到真实的万有引力和由于转动效应产生的离心力与科里奥利力三种力，万有引力对应引力势能（$V_g = -\frac{G M m}{r}$），离心力对应离心式能（$V_{\text{离}} = -\int \vec{F}_{\text{离}} \cdot d\vec{r} = -\int m \omega^2 r \, dr = -\frac{1}{2} m \omega^2 r^2$），而科里奥利力永远与速度垂直不做功，因此没有对应势能。将引力势能与离心势能结合在一起称为有效势能：$V_{\text{eff}} = V_g + V_{\text{离}} = -\frac{G M m}{r} – \frac{1}{2} m \omega^2 r^2$。在两个主天体（质量分别为 $m_1$、$m_2$，公转角速度为 $\omega$）构成的公转平面上，第三个微小天体（质量为 $m$）的有效势能可写为： $\Phi_{\text{eff}}(x, y) = -\frac{G m_1}{r_1} – \frac{G m_2}{r_2} – \frac{1}{2} \omega^2 (x^2 + y^2)$ 其中 $r_1$、$r_2$ 分别是小天体到两主星的距离，$x^2 + y^2$ 为小天体到系统转轴（质心）距离的平方。其实对引力势能求导，五个驻点分别对应拉格朗日点。与两个星体共线的三个点是鞍点，在垂直两主星连线上是势能极小值，在沿两主星连线方向是势能极大值。构成等边三角形的两个点是势能极大值的不稳定平衡点。
六、科里奥利力与平衡
$L_4$、$L_5$ 是不稳定平衡点，为什么却能保持稳定的平衡状态呢？在转动参考系中，物体在旋转平面内存在径向速度和切向速度时会受到科里奥利力，大小为：$\vec{F}_c = -2m (\vec{\omega} \times \vec{v}_r)$，假设特洛伊小行星在一个微扰后获得一个小的速度，在有效势能曲面上我们可以讲速度分解为轴向（与角速度方向相同），径向与切向，轴向的分速度与角速度方向相同，不会产生科里奥利力，径向速度会产生一个切向的科里奥利力，这个力会拉着物体获得一个切向的速度，而切向速度会产生一个指向圆心的径向分力，正式这个径向的科里奥利力提供一个向心力，使物体可以获得一个稳定的运动。而对于鞍点，由于这个径向的分力不足以让小行星越过有效势能曲面，因此不能获得稳定的速度，只能沿着势能曲面走向最低点。
下期预告：金师从一道高三力学模拟题入手，例举柯尼希定理的具体应用。