JQX/进取芯 席明纳第17期（2025.10.23）
JQX|Jin
一、小物块在光滑半圆形轨道上运动
半圆光滑槽质量为 \( M \)，半径为 \( R \)，置于光滑水平地面上。一个质量为 \( m \) 的小滑块在槽内左上角由静止释放。求：
(1) \( m \) 滑到最低点时的速度；
(2) \( m \) 滑到最低点时所受支持力的大小；
(3) \( m \) 对地的运动轨迹在最低点的曲率半径；
(4) \( m \) 对地的轨迹方程；
参考解析
(1)根据动量守恒：\( m v_1 = M v_2 \)。机械能守恒：\( m g R = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} M v_2^2 \)
联立解得：$$v_1 = \sqrt{\frac{2 M g R}{M + m}}, \quad v_2 = \frac{m}{M} \sqrt{\frac{2 M g R}{M + m}}$$
(2)以槽为参考系，最低点时沿半径方向受支持力和重力：$$ F_{N} – mg = m\frac{(v_{1} + v_{2})^{2}}{R}$$
(3)当研究轨迹为一般曲线时，利用曲率半径的概念：$$ F_{N} – mg = m\frac{v^{2}}{\rho} \quad (\rho < R) $$
(4)以半圆轨道圆心为坐标原点建立直角坐标系，设小物块的横坐标为 \( x \)，半圆轨道向左发生的位移为 \( \Delta x \)，此时圆的方程为 \( (x + \Delta x)^2 + y^2 = R^2 \)。
由系统水平方向动量守恒：\( M \Delta x = m(R + x) \)，得 \( \Delta x = \frac{m(R + x)}{M} \)。
将 \( \Delta x \) 代入移动后的圆方程得：$$\left(x + \frac{m(R + x)}{M}\right)^2 + y^2 = R^2 $$，为椭圆。
二、小物块在光滑斜面上运动
将质量为 \( m \) 的小滑块沿倾角为 \( \theta \) 的光滑三角形斜面静止释放，整个装置置于光滑水平地面上，求滑块落地时间。
为了解决这个问题，需要明确运动为匀变速直线运动（方法三可证明）。
方法一：
思路：根据人船模型，我们可以明确物体运动的初末位置，得到运动的位移。再求出物体运动的末速度，结合运动学公式求出时间。
根据人船模型：\( x_1 = \frac{M}{M + m} \cdot L \cdot \cos\theta \)
下落高度：\( h = L \cdot \sin\theta \)
几何关系：\( x^{2}=x_{1}^{2}+h^{2} \)
系统机械能守恒：\( mgh = \frac{1}{2}mV_1^2 + \frac{1}{2}MV_2^2 \)
水平方向动量守恒：\( m \cdot V_1 \cos\alpha = M \cdot V_2 \)
速度方向与位移方向关系：\( \cos\alpha = \frac{x_1}{x} \)
匀变速直线运动平均速度公式：\( \frac{V_1 + 0}{2} \cdot t = x \)
解得：\( t = L \cdot \sqrt{\frac{M^2 \cos^2\theta + (M+m)^2 \sin^2\theta}{2 g (M+m) \sin\theta}} \)
方法二：
思路：得到运动的位移后，可以明确加速度的方向为位移方向，由矢量合成求出加速度大小，结合运动学公式求出时间。
根据上一个方法的 \( x_1 \) 和 \( h \)，我们可以求出实际轨迹的倾角 \( \alpha \)，
根据加速度方向与轨迹方向一致和牛二的矢量三角形（见黑板中部左侧），可得：$$\frac{ma}{\sin\theta} = \frac{mg}{\sin\left( \frac{\pi}{2} + \alpha – \theta \right)}$$
再根据 \( x=\frac{1}{2}at^{2} \) 可求出时间。
方法三（K2304吴尚达）：
思路：以斜面为参考系，滑块运动即为匀加速直线运动，引入惯性力列方程组求解。
对斜面，水平方向（换系引入惯性力 \( Ma \) 后平衡）列式：\( Ma = N \cdot \sin\theta \)
对物块，垂直斜面方向（换系引入惯性力 \( Ma \)，垂直斜面方向平衡）列式：\( N + ma \cdot \sin\theta = mg \cos\theta \)
联立方程，可解得：$$N = \dfrac{Mmg \cos\theta}{M + m \sin^2\theta}$$ $$a = \dfrac{mg \sin\theta \cos\theta}{M + m \sin^2\theta}$$
可见 \( N \) 于 \( a \) 都是定值，可证运动是匀加速直线运动。
再结合斜面的对地位移，可求时间。
三、光滑圆柱在双斜面上运动（K2304吴尚达）
吴同学在分析斜面问题后，由提出了带有速度关联关系的双斜面问题，并提出了两种解法：
四、小物块在斜面、抛物线轨道的轨迹方程
与求半圆轨道模型类似，当小物块移动 \( \Delta x \) 时，轨道会相应移动 \( \Delta x \cdot m/M \) 的位移，也就意味着，小物块在原有轨道的轨迹被进行了压缩。
所以，直线轨道压缩后，轨迹方程为斜率更大的直线，抛物线轨迹被压缩后，轨迹方程依然为抛物线，而圆形轨道轨迹方程被压缩后为椭圆。
而且，这个求解的方法，只需要水平方向动量守恒，对初速度、轨道内部是否粗糙都没有要求，也就是说轨迹方程都不变。
【下期预告】
初探变分法，运用变分法重新审视最速降线问题，并证明摆线的等时性。